微积分综合练习题及参考答案
综合练习题1(函
数、极限与连续部分)
1.填空题 (1)函数
)
2ln(1)(-=
x x f 的定义域
是 . 答案:2>x 且3≠x .
(2)函数
2
4)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域
是 .答案:]2,1()1,2(-?--
(3)函数7
4)2(2
++=+x x
x f ,则=)(x f . 答
案:3
)(2
+=x
x f
(4)若函数
??
???
≥<+=0,0,13sin )(x k x x
x x f 在0=x 处连续,
则=k .答案:1=k (5)函数x
x
x f 2)1(2
-=-,则=)(x f .答案:
1)(2
-=x x f
(6)函数
1
322+--=
x x x y 的间断点
是 .答案:1-=x
(7)=∞
→x
x x 1sin lim .答案:1 (8)若2sin 4sin lim 0
=→kx
x
x ,则=k .答案:2
=k
2.单项选择题
(1)设函数
2
e e x x y +=
-,则该函数是( ).
A .奇函数
B .偶函数
C .非奇非偶函数
D .既奇又偶函数 答案:B
(2)下列函数中为奇函数是( ). A .x x sin B .2
e e x
x +- C .)
1ln(2x x ++
D .2
x x +
答案:C
(3)函数)5ln(4
+++=x x x
y 的定义域为( ). A .
5
->x B .
4
-≠x C .
5
->x 且
≠x
D .5->x 且4-≠x 答案:D (4)设1
)1(2
-=+x
x f ,则=)(x f ( )
A .)1(+x x
B .2
x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 答案:C
(5)当=k ( )时,函数??
?=≠+=0,
,2)(x k x e x f x 在0
=x 处连续.
A .0
B .1
C .2
D .3 答案:D
(6)当=k ( )时,函数??
?=≠+=0,
0,1)(2x k x x x f ,
在0=x 处连续.
A .0
B .1
C .2
D .1- 答案:B (7)函数2
33
)(2
+--=x x
x x f 的间断点是( )
A .2,1==x x
B .3=x
C .3,2,1===x x x
D .无间断点 答案:A 3.计算题 (1)
4
23lim 222-+-→x x x x .
解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x
(2)3
29lim 2
23---→x x x x
解:2
34613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x
(3)
4
586lim 2
24+-+-→x x x x x
解:3
212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x
综合练习题2
(导数与微分部分)
1.填空题 (1)曲线1
)(+=
x x f 在
)
2,1(点的切斜率
是 .
答案:21 (2)曲线
x
x f e )(=在
)
1,0(点的切线方程
是 . 答案:1+=x y (
3)
已
知x
x x f 3)(3+=,则
)
3(f '= . 答案:3
ln 33)(2
x x
x f +=' )
3(f '=27()3ln 1+
(
4)已
知
x
x f ln )(=,则
)
(x f ''= .
答案:x x f 1)(=',)(x f ''=2
1
x
- (5)若x
x x f -=e )(,则='')0(f .
答案:x
x
x x f --+-=''e e
2)(
='')0(f 2- 2.单项选择题
(1)若x
x f x
cos e
)(-=,则)0(f '=( ).
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
因)(cos e cos )e ()cos e
()('
+'='='---x x x x f x x x
)
sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---
所以)0(f '1
)0sin 0(cos e
-=+-=-
答案:C
(2)设y x =lg2,则d y =( ).
A .12d x x
B .1d x x ln10
C .ln10x x d
D .1
d x x 答案:B (3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ). A .x x f d )2(cos 2' B .x x x f d22sin )2(cos ' C .x x x f d 2sin )2(cos 2' D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D
(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则=
'')(x f ( ). A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin -
D .x cos 答案:C
3.计算题
(1)设x
x y 1
2
e =,求y '.
解:
)1
(e e 2212
1x
x x y x
x -+=')
12(e 1
-=x x
(2)设x x y 3
cos 4sin +=,求y '.
解:)sin (cos 34cos 42
x x x y -+='
x x x 2
cos sin 34cos 4-=
(3)设x
y x 2e 1
+
=+,求y '.
解:2
1
21
(21e
x x y x -+='+
(4)设x
x x y cos ln +=,求y '.
解:
)
sin (cos 12321
x x
x y -+='
x x tan 2
3
21
-=
综合练习题3(导数
应用部分)
1.填空题 (1)函数y x =-312
()的单调增加区间
是 .
答案:),1(+∞ (2)函数1
)(2
+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,
则a 应满足 .
答案:0>a
2.单项选择题
(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( )
A .单调增加
B .单调减少
C .先增后减
D .先减后增 答案:D
(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的
( ).
A .极值点
B .最值点
C .驻点
D . 间断点 答案:C
(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导.
C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D .函数的极值点一定发生在不可导点
上.
答案: B
(4)下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).
A .x sin
B .x
e C .2
x
D .x -3
答案:B
3.应用题(以几何应用为主)
(1)欲做一个底为正方形,容积为108m 3的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设底边的边长为x m ,高为h m ,容器的表面积为y m 2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知
22108
,108x
h h x ==
所以 x x x x x xh x y 432108442
2
22+=?+=+= 令 0432
22=-
='x
x y ,解得唯一驻点6=x 。 因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以6=x 是函数的极小值点也
是最小值点。故当6=x m ,36
108
2==h m 时用料最省.
(2)用钢板焊接一个容积为43m 底为正方形的开口水箱,已知钢板的费用为10元/ m 2,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费用最低?最低总费用是多少?
解:设水箱的底边长为x m ,高为h m ,表面积为S m 2,且有24
x
h =
所以 ,16
4)(22x
x xh x x S +=+=
216
2)(x x x S -='
令 0)(='x S ,得2=x . 因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以当2=x m ,1=h m 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S (元)
(3)欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设底边的边长为x m ,高为h m ,所用材料(容器的表面积)为y m 2。由已知
2232,
32x
h h x =
= 所以 x x x
x x xh x y 12832442
2
22+=?+=+= 令 0128
22
=-
='x x y ,解得唯一驻点4=x 。 因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以4=x 是函数的极小值点也
是最小值点。故当4=x m ,24
32
2==h m 时用料最省.
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。
综合练习题4(一元函数积分部分)
1.填空题 (1)若
)
(x f 的一个原函数为
2
ln x ,则
=
)(x f .
答案:x
2 (2)若?+=c x x x f 2sin d )(,则)(x f . 答案:x 2cos 2 (3)若______________d os ?=x x c 答案:c x +sin (4)=
?-2
de x . 答案:c
x +-2
e
(5)='?x x d )(sin . 答案:c x +sin
(6)若?+=c x F x x f )(d )(,则?=-x x f d )32( . 答案:c x F +-)32(2
1 (7)若?+=c x F x x f )(d )(,则?=
-x x xf d )1(2
.
答案:c
x
F +--)1(212
(8) .
______d )2cos (sin 11
2=+-?
-x x x x x
答案:32- (9)
=+?e
1
2d )1ln(d d x x x .
答案:0 (10)x
x
d e
02?∞
-= .
答案:21
2.单项选择题
(1)下列等式成立的是( ).
A .)(d )(d x f x x f =?
B .)(d )(x f x x f ='?
C .)(d )(d d x f x x f x =?
D .)()(d x f x f =? 答案:C
(2)以下等式成立的是( )
A . )1d(d ln x x x =
B .)(cos d d sin x x x =
C .
x
x x d d = D .
3
ln 3d d 3x
x
x =
答案:D
(3)=''?x x f x d )(( )
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C. c
x f x +')(2
12
D. c x f x +'+)()1(
答案:A
(4)下列定积分中积分值为0的是( ). A .
x
x
x d 2e e 1
1?--- B .
x
x x d 2e e 1
1?--+
C .x
x x d )cos (3?
-+π
π
D .x
x x d )sin (2?
-+π
π
答案:A
(5)设)(x f 是连续的奇函数,则定积分=
?a
a
x x f -d )(( ) A .0 B .?0
-d )(a
x
x f C .?
a
x
x f 0
d )( D .?
-d )(2a
x
x f
答案:A (6)下列无穷积分收敛的是( ).
A .?∞+0
d in x
x s B .?
∞
+1
d 1x
x
C .?
∞
+1
d 1
x x
D .?
∞
+-0
2d e x
x
答案:D
3.计算题 (1)x
x d )12(10
?-
解:c x x x x x +-=--=
-??11
1010
)12(22
1)1d(2)12(21d )12(
(2)x
x
x d 1
sin 2
?
解:c
x x x x x x +=-=??
1cos 1d 1sin d 1
sin
2
(3)c
x d x x
x
x x
+==??e
2e 2d e
(4)x
x x d )e 4(e 22ln 0
+?
解:)
e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 0
22
ln 0
x x x x x ++=+?
?
=
3130)125216(31)e 4(3
1
2ln 0
3=-=+x
(5)x
x
x
d ln 51e
1?+
解
:
27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 511
2
1e
1=-=+=++=+??e
e x x d x x x x
(6)x x x d e 1
?
解:1
e e d e e d e 10
10
10
1
=-=-=??x
x x x x x x x
(7)?
π
20
d sin x
x x
解:1
sin d cos cos d sin 20
20
20
20
==+-=ππππ??
x
x x x x x x x
综合练习题5(积分应用部分) 1.填空题
(1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为
x
1,且曲线过)5,4(,则该曲线的方程是 .
答案:1
2
+=x y
(2)由定积分的几何意义知,
x
x a a
d 0
2
2?
-= . 答案:
4
2
a π
(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案:x
y e =
(4)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案:x
c y 3e -=
(5)微分方程x
y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数
为 . 答案:4
2.单项选择题
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ).
A .y = x 2 + 3
B .y = x 2
+ 4 C .2
2
+=x y D .1
2
+=x
y
答案:A
(2)下列微分方程中,( )是线性微分方程. A .y y yx
'
=+ln 2 B .x
xy
y y e 2
=+'
C .y
y x y e ='+'' D .x
y y x y x
ln e sin ='-''
答案:D
(3)微分方程0='y 的通解为( ). A .Cx y = B .C x y += C .C y =
D .0=y 答案:C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是( )
A. y x x y +=d d ;
B. y xy x y
+=d d ; C. x xy x y sin d d +=; D. )(d d x y x x
y += 答案:B
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0定积分及微积分基本定理练习题及答案