江西省宜春市重点高中2021届高三上学期第一次月考
数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．集合{}3M x x k k Z ==∈，，{}31P x x k k Z ==+∈，，{}31Q x x k k Z ==-∈，， 若a M ∈，b P ∈，c Q ∈，则a b c +-∈（ ） A ．M
P B ．P
C ．Q
D ．M
2．若集合{}2|
0,|121x A x B x x x +??
=≤=-<
，则A B =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-
C ．()11-，
D ．()1
2-， 3．命题“3[0,),0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 （ ）
A ．()3
,0,0x x x ?∈-∞+<
B ．()3
,0,0x x x ?∈-∞+≥
C ．[)3
0000,,0x x x ?∈+∞+< D ．[)3
0000,,0x x x ?∈+∞+≥
4．已知命题:p x R ?∈，使sin x ；命题:q x R ?∈，都有210x x ++>.给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧?”是假命题 ③命题“p q ?∨”是真命题 ④命题“p q ?∨?”是假命题 其中正确的是（ ） A ．①②③
B ．②③
C ．②④
D ．③④
5．设x y R ∈、，则"1x ≥且1"y ≥是22"2"x y +≥的（ ）
A ．既不充分也不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．充分不必要条件
6．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤
B ．3a ≤-
C ．1a ≥-
D ．1a ≥
7．在260
202
x y x y x y --≤??
-+≥??+≥?条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的
最小值是（ ）
A ．74
B ．
94
C ．
52
D ．2
8．关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范国是（ ）
[2,1)(3,4]A --． (2,1)(3,4)B --． (3,4]C ．
(3,4)D ．
9．已知实数0a >，0b >，11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ） A
．B
．C ．3 D ．2
10．若不等式()()2
20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11.已知正数,,x y z 满足236x y z ==，给出下列不等式：①4x y z +>；②24xy z >；③
2x z >，
其中正确的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知函数()()2
ln 1f x x x =++，若对于[]1,2x ∈-，()
22229ln 4f x ax a +-<+恒成
立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a -<<
B ．11a -<<
C ．a >
或a <
D ．
a <<
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知命题p ：2R 0，－x x a ?∈≥，命题q ：0002
R,220x x ax a ?∈++-=.若命题
“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________． 14．设集合24
{|
0},{|(2)(1)0}1
x A x B x x a x a x -=≤=---<+，若A B =?,则实数a 的取值范围是____________； 15．下列四种说法：
①命题“x R ?∈，231x x >+”的否定是“x R ?∈，231x x <+”；
②若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为
()(),15,-∞-+∞；
③对于x R ?∈，22421ax x x +-恒成立，则实数a 的取值范围是[)6,+∞； ④已知p ：
132x ，q ：2
110x a x a ??-++ ??
?（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，
则实数a 的取值范围是[)10,3,3??
+∞ ?
??
其中正确的是________.
16．若关于x 的不等式2
222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分） 设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分） 已知2:60p x x --+≤，q ：3
|1|2
x m +-
≤． （1）若p ?是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
（2）当1m=时，若()p q ?∨为真，()p q ?∧为假，求实数x 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为424x cos y sin θ
θ?=-??=+??
（θ为参数），直线
l
的参数方程为x m
y ?=-??=??（m 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）直线l 与曲线C 相交于,M N
两点，若()
P -，求2
211
||PN PM
+
的值．
20．（本小题满分12分）
十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的
农民平均每户收入将为()33050x a a ??-> ??
?万元.
（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.
21．（本小题满分10分）
如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π
∠=
，1
22
AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3
π
？若
存在，求
CM
CP
的值；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分12分）
美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A 、B 、C 对某“AI 芯片”作技术攻关，一年内，A 能攻克的
概率是34，B 能攻克的概率是23，C 能攻克的概率是12.
（1）求这一技术难题能被攻克的概率；
（2）现假设一年后这一技术难题已被攻克，上级决定奖励m 万元，规则如下：若只有一个机构攻克，则获得全部奖金；若有两个机构攻克，则奖金奖给这两个机构平分；若三个机构均攻克，则奖金奖给这三个机构平分.设A 、B 两个机构得到的奖金数的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
2021届高三年级第一次月考数学（理科）答案
一、选择题 题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答
案 C C C B D D B A B D D A
13、(],2-∞-14、{1}[2,)-+∞ 15、②③④ 16、5,22??
- ???
三、解答题 17．解
（1）()3,(2)
{4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，
得0x =，4
3x =
，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3
x x x ≤≥或． （2）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，
，
由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->， 解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-?+∞． 18．解 （1）
2:60p x x --+≤，260x x ∴+-≥
3x ∴≤-或2x ≥， ∴p ?:{}|32A x x =-<<
记3
12
x m +-
≤的解集为B . 由3
12
x m +-
≤有 1212m x m ∴--≤≤-+
{}|1212B x m x m ∴=--≤≤-+ 要使p ?是q 的充分不必要条件
12m 12123
122
m
m m --≤-+??
--≤-??-+≥?
， 32m ∴≥ ∴ m 的取值范围是32
m ≥
（2）{}1|31m B x x =∴=-≤≤
∴()p q ?∨为真，()p q ?∧为假 ∴p ?与q 一真一假
当p ?真q 假时，()()1,2R A
C B =；
当p ?假q 真时，(){}3R C A B ?=-
∴综上，实数x 的取值范围(){}1,23?-
19．解：（1）曲线C
的参数方程为4cos (24sin x y θ
θθ
?=-??
=+??为参数），转换为直角坐标方
程为22((2)16x y ++-=
，整理得2240x y y ++-=，
根据222cos sin x y x y ρθ
ρθ
ρ=??
=??=+?
，转换为极坐标方程为24sin cos ρρθθ=-，
即0ρ=
或4sin ρθθ=-（包含0ρ=），
所以曲线C
的极坐标方程为4sin
ρθθ
=-．
（2）直线l
的参数方程为
x m
y
?=-
?
?
=
??
转换为直线的标准参数式为
1
2
(
2
x t
t
y t
?
=-
??
?
?=
??
为参数）
代入圆的直角坐标方程为2120
t--=，
2412600
?=+?=>，设方程两根为12,t t，
所以
12
t t+=1212
t t=-，
所以
2
1212
222222
1212
()2
111112241
||||()124
t t t t
PM PN t t t t
+-+
+=+===．
20解（1）动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()
200310.042003
x x
-??+≥?
??
??，解得0175
x
<≤.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()
3
3200310.04
50
x
a x x x
??
-?≤-??+
??
???
??
，（0175
x
<≤），
化简得
200
0.027
a x
x
≤++，（0
a>）.
由于
200
0.027711
x
x
++≥=，当且仅当
200
0.02100
x x
x
=?=时等号成立，所以011
a
<≤，所以a的最大值为11.
21解（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
且//
AB DC, 2
AB AD
==,
2
ADC
π
∠=,
所以22BD =， 又因为4,4
CD BDC π
=∠=
．根据余弦定理得22,BC =
所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.
又因为BC PD ⊥, PD BD D ?=,且BD ,PD ?平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ?平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD ,
设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==, 所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD 平面PBD BD =，
PE ⊥平面ABCD .
如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM
CP
λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,
易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.
设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM
由00n AB n AM ??=??=?得20(2)(43)20y x y z λλλ=??-+-+=?
，不妨取(2,0,2)n λλ=-.
因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π
12
=，
解得2,23
λλ==-，（不合题意舍去）.
故存在M 点满足条件，且2
3
CM CP =.
22.解（1）
32123111143224
P ??????=----= ???????????
（2）设C 机构得到的奖金数为X ，A 、B 两个机构得到的奖金数的和为ξ
m X ξ∴=-，而0,
,,32
m m
X m =；
(1)(1)(1)(1)(1)
11432432432()2323
24
P m ξ?-?-+-??-+??-===， 32126432()2332324m P ξ??===，321321(1)(1)5432432()23223
24
m P ξ-??+?-?
=== 321(1)(1)1432(0)2323
24
P ξ-?-?
=== ∴ξ的分布列为：
∴()0232233232346
E m ξ=?
+?+?+?=