第六讲有理数的乘方与混合运算
课标要求：
内容具体要求
有理数的乘方
A．理解乘方的意义；了解近似数的概念；会用科学记数法表示数．
B．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三
步为主）；在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值．
C.能运用的有理数的运算解决简单问题．
有理数的混合运算
A．理解有理数的运算律；
B．能用有理数的运算律简化有理数运算．
教学内容：
一、有理数的乘方
知识点1：有理数乘方的意义
意义
定义求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
记法n个相乘，记作n；在n中，叫做底数，n叫做指数．
读法n ：看作运算时，读作的n次方；看作结果时，读作的n次幂．注1
1.一个数可以看作是自身的一次方，通常指数1省略不写．
2.习惯上，二次方也读作平方，三次方也读作立方．
3.书写负数或分数的乘方时，要先用括号把底数括起来，再在右上角写上指数．【典型例题】
例1 (1) 把(-5)×(-5)×(-5)写成幂的形式是．
(2) (-2)4读作；-24读作．
(3) 计算：(-3)2= ；(-3)3= ；-32= ；-33= ．
练习1 (1)把1
7
1
×1
7
1
×1
7
1
×1
7
1
写成幂的形式是．
（2）式子(-3)5的意义是．
(3) 计算：（
2
1
）2= ；-52= ；
4
32
= ．
知识点2：有理数乘方的符号法则
法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
注2
(1)进行有理数乘方运算时，先确定符号，再计算绝对值．
(2)任何一个数的偶次幂都是非负数．
(3)互为相反数的两个数的奇次幂互为相反数，偶次幂相等．
【典型例题】
例2 (1) 如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数( ).
A.一定是正数
B.是正数或负数
C.一定是负数
D.可以是任意有理数
(2)下列结论正确的是( )
A.若a 2
=b 2
，则a =b B.若a ＞b ，则a 2
＞b 2
C.若a ，b 不全为零，则a 2
+b 2
＞0 D.若a ≠b ，则 a 2
≠b 2
(3)计算： (-1)2013
+(-1)
2014
2×(-3)3 -32×(-2)4
练习2
(1)若x ，y 为有理数，下列各式成立的是（ ）.
A ．(-x )3
=x
3
B ．(-x )4=-x
4
C ．(x -y )3=(y -x )
3
D ．-x 3=(-x )3
(2)下列各数按从小到大的顺序排列正确的是( ). A.(-0.2)3
＜0.54
＜(-0.3)
4 B.-0.54＜0.34＜(-0.2)3
C.-0.54
＜(-0.2)3
＜(-0.3)4
D.0.34
＜-0.54
＜(-0.2)3
(3) 计算 22)3
2(32-- (-1)2013×(-1)2014 -(-2)3×(-3)
2
知识点3：科学记数法与近似数 定义
科学记数法 把一个大于10的数表示成a ×10n
的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数．
近似数 非常接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数． 注3
1.用科学记数法a ×10n
的形式表示一个n 位整数，其中a 的整数位只能有一位，10的指数是n-1．
2.求一个数的近似数一般用四舍五入法，在实际应用中还有去尾法和进一法．
3.求一个数的近似数，应注意题目要求的精确度和实际问题中的现实需求．
【典型例题】
例3 (1)用科学记数法表示下列各数．
1180000= ；567.8= ； -1230= ． (2)下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
1×105
= ； 5.18×103
= ； 7.04×106
= ．
(3)2.953（保留两位小数） ；2.953（保留一位小数） ． 练习3
(1)用科学记数法表示下列各数：
1000000= ； -57000000= ； 961.34= ．
(2)下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
1×105
= ； 3.96×103
= ； -7.80×104
= ． (3)用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值． 0.9541（精确到十分位）
2.5678（精确到0.01） 1495486（精确到万位） 二、有理数的混合运算
知识点1：有理数的混合运算顺序 运算顺序
(1)在没有括号的不同级运算中，先算乘方,再算乘除，最后算加减； (2)在同一级运算中，按照从左向右的顺序依次进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 注1
1. 进行有理数混合运算时，要先观察算式特征，确定好运算顺序，再进行运算．
2. 算式中有乘方的，按照先高级运算，再低级运算的顺序，要先进行乘方运算．
【典型例题】
例1 计算： (-3)×(-5)2
［(-3)×(-5)］2
(-1)4×［2-(-3)2
］
(-4×32
)-(-4×3)2
(-2)2
-(-52
)×(-1)5
+87÷(-3)×(-1)
4
练习1 计算： 25(6)(4)(8)?---÷- 32(6)8(2)(4)5-?----?
1612()(2)472?-÷- 2 2232
[3()2]23
-?-?-- 215[4(10.2)(2)]5---+-?÷-
知识点2：有理数混合运算之简算 运算律
加法交换律： a b b a +=+ 加法结合律： ())(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：ab=ba ；乘法结合律：abc =a (bc )；乘法分配律：a (b+c ) =ab+ac 注2
1.在进行有理数混合运算时，要先观察算式特征，注意运算律的运用．
2.运用交换律时，注意交换时，包括前面的符号；运用分配律时，注意不要漏乘括号内的任何一项． 【典型例题】 例2 计算：
481211876
54
3
????
??-
+- 666(5)(3)(7)(3)12(3)777
-?-+-?-+?-
练习2 计算：??
? ??-÷??? ??+--241121161143 ??? ??-+-÷61413121241
【知识小结】
重点：科学记数法 近似数 混合运算与简算 难点：运算律的应用技巧 易错点：运算顺序 乘法分配律
【模拟试题】
一、选择题
1. 下列说法正确的是（ ）．
A.有理数的平方是正数
B.小于１的数的平方小于原数
C.如果一个数的偶次幂是非负数，那么这个数是任意有理数
D.负数的偶次幂一定大于这个数的相反数
2. 已知0,10a b <-<<，则2a ab ab 、、按从小到大的顺序排列为（ ）．
A.2a ab ab <<
B.2ab a ab <<
C.2ab ab a <<
D.2a ab ab << 3. 下列各组数中，不相等的是（ ）．
A.(-3)2
和-32
B. (-3)3
和-33
C.2
3-和23- D. (-3)2和32
4. 一根长一米的绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如此剪下去，第9次剩下的绳子的长度为（ ）．
A.412?? ???米
B.812?? ???
C.912?? ???
D.10
12?? ?
??
5. (-2)
2014
-5(-2)
2012
的值为（ ）．
A.2
2012
B.-22012
C. 2
2014
D. -2
2014
二、填空题
6．(-５)3
读作 ；其中(-５)叫做 ；3叫做 ． 7．平方后等于259的数是 ；立方后等于27
8
-的数是 ． 8． (-1)
2014 = ； 02014
= ；20141
= ．
9．若21(1)0a b ++-=，则a 2013+b 2014＝ ． 10．2
2012
×3
2013
×7
2014
所得的积的末位数字是 ．
三、解答题
11．计算：(１) 212??- ??? (２) 2
12??- ???
(3) 212-
12．计算：(１) 2
144??-?- ??? (２) 4
2
1533422426
8????-÷---? ? ?
????
13．已知x 2
=4，y 3
=-1，求2014
4y
x 的值．
14． (1) 当a =-3，b =-5，c =4时，求a 2-b 2+c 2- (-a +b -c )2的值
(2) 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求 x 2
-(a +b +cd )x +(a +b )
2013
+(-cd )
2013
值．