南阳市2017年春期高二期中考试
数学（理）试题
一.选择题：
1.复数i i
z 2121-+=
的实部与虚部的和等于（ C ） A ．i 5453+- B ． i 541+ C ．51 D ．59
解析：i i i i z 5
4
535432121+-=+-=-+=
2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( C )
A.m 5.4
B.m 5
C.m 5.5
D.m 6 解析：5.5|)2
3()13(2
12
1
2=+=+=
?
t t dt t S
3.下列命题错误．．
的是( B )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12
131)(2
3+++=
ax ax x x f 至少．．存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．
一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析：a ax x x f ++=2
)('，当042
≤-=?a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极
值点，故B 错误．
4．已知函数x
e x x x
f )2()(3
-=，则x
f x f x ?-?+→?)
1()1(lim 0
的值为（D ）
A ．e -
B ．1
C ．e
D ．0
解析：)1(')
1()1(lim
f x
f x f x =?-?+→?
5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,
2(+π
π处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实数=
a （A ）
A ．－2
B ．2
C ． 1
D ．－1
解析：12cos
2
2
sin
)2
('=+
=π
π
π
πf ，所以，12
)2('-=?a
f π，得2-=a
6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空
心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）.
A. 88
B. 89
C.90
D.91
解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得???+==---111
n n n
n n b a a a b ，
∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a
7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ C ）
8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。易得出答案：A 9.已知定义在R 上的函数13
1)(23
+++=ax x ax x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ D ）
A ．),1()1,(+∞--∞
B ．]1,0()0,1[ -
C ．)1,1(-
D ．)1,0()0,1( -
解析：a x ax x f ++=2)('2
，由题意得：???>-=?≠0
420
2
2a a ，解得：)1,0()0,1( -∈a 10.若2
(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，其中a R ∈，则ai
i
a ++12等于（ B ）
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1或i
解析：由2
(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，得1-=a ，所以
i i
i
ai i a =-+=++1112
2=a 11.已知：函数1ln )(2
+=x x x f ，P 、Q 为其图像上任意两点，则直线PQ 的斜率的最小值为（ B ） A.0B.2
3
2--e
C.2
--e D.2
12-
-e
解析：x x x x f +=ln 2)('，而3ln 2)(''+=x x f ，易得，)('x f 在),0(2
3-e 上单调减少，
在),(2
3
+∞-
e 上单调增加，故2
3
min 2)]('[--=e x f
12.定义在(0,
)2
π
上的函数()f x ，)(x f '是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x > 成立.则有
（ D ） A ．)3()4(2ππf f >B ．)1(1cos 2)6
(3f f ?>π
C
．2()()4
6f π
π<
D
()()63
f ππ
<
解析：由'()()tan f x f x x >
得，0sin )(co s )('>-x x f x x f ，即0]'cos )([>x x f ，亦即函数x x f x F co s )()(=在(0,)2
π
上是单调增加的。故)3()6(ππF F <
二.填空题：
13.?
-=-+1
12
2)1dx x x （ ____________.
2
32π
+ 解析：2321)11
111
2
21
1
2
2π+=-+=
-+???
---dx x dx x dx x x （ 14.已知：)32(sin 2)(2
π
-=x x f ，则)3
('π
f =_________.32 解析：)324cos(1)3
2(sin 2)(2
ππ
-
-=-
=x x x f ,所以)324sin(4)('π-=x x f ，得32)3
('=π
f 15.若函数2
1)0()1()(x x f e f x f x +-'=-，则=')1(f _______．e 2
解析：x f e f x f x 2)0()1(')('1
+-=-，则2)0()1(')1('+-=f f f ，所以，2)0(=f ；
故21
2)1(')(x x e
f x f x +-=-，则有1)1(')0(-=e f f ，得，e f 2)1('=
16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
.4
1
21=S S 推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体ABC P -的内切球体积为1V ，外接球的体积为2V ，则
=2
1
V V .
271 高为
33
2=
h ，
解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为
内切球半径
63411==
h r ，外接球半径23
2=r ，则27
1)(32121=
=r r V V 三.解答题：17题，12分。22题，10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。 17.（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：对于任意的*
N n ∈，24
11
21...312111>+++++++n n n n 证明：（1）当1=n 时，左边=24
11
241221>==右边，命题成立；……………………………………2分
（2）假设当k n =（ *
N k ∈）命题成立，即24
1121...312111>+++++++k k k k ；…………4分
当1+=k n 时 左边=
221
12121...413121+++++++++++k k k k k k …………………………6分 =1
1
221121)21...312111(
+-+++++++++++k k k k k k k ………………8分 24
11
)22)(12(12411>+++>
k k 即，当1+=k n 时，命题成立。 ………………………………………………11分 综上所述，对于任意的*
N n ∈，24
1121...312111>+++++++n n n n ………………………12分
18.（本小题满分12分）
已知函数32
()23f x ax x =-，其中0>a ．
（1）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是单调函数； （2）求函数x x f x f x g 6)()()(-'+=的极小值。
（1）证明：)1(666)(2
-=-='ax x x ax x f ．………………………………2分 因为0>a 且0
所以函数)(x f 在区间()0,∞-上是增函数． …………4分
（2）解：由题意x x a ax x 12362)(g 2
3--+=）（， 则)1)(2(6)(g -+='ax x x . 令0)(='x g ，得 a
x x 1
2=
-=或 , ）（0>a …………6分 当2-
当a x 12<
<-时，0)(<'x g , 则函数)(g x 在区间），（a 1
2-上是单调递减函数；
当a x 1>时，0)(>'x g , 则函数)(g x 在区间),1
(+∞a
上是单调递增函数；………9分
所以，函数)(x g 的极小值点为a x 1
=，………10分
故函数)(x g 的极小值是2
21
661)1()(a
a a a a g x g +-=--==极小值………12分 19.（本小题满分12分）
用长为18 m 的钢条围成一个长方体．．．形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高??? ?
?
-=-=
230(m )35.44
1218＜＜x x x
h .……2分
故长方体的体积为).
23
0)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=……………………5分
从而2
()181818(1).V x x x
x x '=-=-
令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. ……………………………………7分 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜
3
2
时，0)(<'x V ， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值.…………………………10分 从而最大体积V ＝3（m 3
），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m 3
.…………12分
20.（本小题满分12分）
已知mx x x x f +=ln )(，3)(2
-+-=ax x x g
（1）若函数)(x f 在),1(+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）若当0=m 时，对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，)1(ln )(m x x f ++='，……………………2分
因为)(x f 在),1(+∞上为单调函数，则方程0)1(ln =++m x 在),1(+∞上无实根。………4分 故01≥+m ，则1-≤m ……………………………………………………6分
（2）3ln 22
-+-≥ax x x x ，则x
x x a 3
ln 2+
+≤，对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分 设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则2
)
1)(3()('x x x x h -+=，
当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减，
当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …………10分
)(x h 在),0(+∞上，有唯一极小值)1(h ，即为最小值.
所以4)1()(min ==h x h ，因为对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立， 故 4≤a ……………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
已知函数,cos sin )(x a x x x f +=且)(x f 在3
π
=x 处的切线的斜率为
6
π
. （1）求a 的值，并讨论)(x f 在??
?
???-
2,2ππ上的单调性； （2）设，0,0,11)1ln(
)(>≥+-++=m x x x mx x g 若对任意[)+∞∈,01x ,总存在，??
?
???∈2,02πx 使得)()(21x f x g ≥成立，求m 的取值范围.
解：(1） 函数,cos sin )(x a x x x f +=且)(x f 在3
π
=
x 处的切线的斜率为
6π，,6)3(π
π='∴f
解得：
1
=a ; ……………2分
此时，
x
x x f cos )(='，当
)
0,2
(π
-
∈x 时，
)(<'x f ，当
)
2,0(π
∈x 时， 0
)(>'x f ，∴函数)(x f 在??????-0,2π上单调递减，在???
???2,0π上单调递增. ………………6分
(2）当??
?
???∈2,
0πx 时，)(x f 单调递增，,1)0()(min ==∴f x f 则只需1)(≥x g 在[)+∞∈,0x 上恒成立即可，……………………8分
),0,0()
1)(1()2
()(2
2>≥++-+
='m x x mx m m x m x g ①当2≥m 时，
0)(,02
≥'∴≥-x g m
m 在[)+∞,0上恒成立，即)(x g 在[)+∞,0上单调递增，又,1)0(=g
1)(≥∴x g 在[)+∞,0上恒成立，故2≥m 时成立.
②当20< 0(m m x -∈，则,0)(<'x g 此时)(x g 单调递减，,1)0()(=<∴g x g 故当20< 综上.2≥m ……………………12分 22.【从下面两小题中任选其一题，若选择做两题只按第一题给分】（本小题满分10分） (1)已知：z y x ,,为互不相等的实数，且x z z y y x 111+=+=+ 求证：12 22 =z y x 解析：根据条件z y y x 11+=+ 可得，yz z y y z y x -=-=-11 ……………………2分 又因为z y x ,,为互不相等的实数，则有y x z y yz --= …………………………5分 同理可得 x z y x xy --= ，z y x z xz --= …………………………………………7分 所以 12 22 =--?--?--= z y x z x z y x y x z y z y x …………………………………………10分 （2）已知：1||≤x ，1||≤y ，求证：1|1| ≤++xy y x 分：证明2..............1)1()(222222--+=+-+y x y x xy y x 分 5.................................).........1)(1(2 2y x --= 1||≤x 由，得1||≤y ，12 ≤x ，分7 (12) ≤y )1)(1(22≤--y x 所以 分 ，得9.....................................)1()(2 2 xy y x +≤+ 分 ：故10............................................1|1|≤++xy y x 2020-2021高二数学上期中试题含答案(5) 一、选择题 1．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数， 1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ） A ．1,4a + B ．1,4a a ++ C ．1,4 D ．1,4a + 2．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10； 若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ） A ．22 1212,x x s s >> B ．22 1212,x x s s >< C ．221212 ,x x s s << D ．221212 ,x x s s <> 3．已知变量,x y 之间满足线性相关关系? 1.31y x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： 则实数m =（ ） A ．0.8 B ．0.6 C ．1.6 D ．1.8 4．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ?）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为 6C ?，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A ．58件 B ．40件 C ．38件 D ．46件 5．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ） A ．42 B ．43 C ．44 D ．45 6．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( ) A ．2018 B ．2019 C ． 12 D ．2 7．已知不等式5 01 x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 23 8．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数 为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 13 B ． 14 C ． 16 D ． 112 9．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） 高中二年级2013—2014学年下学期数学期中测试题B 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1.复数i －2 1＋2i ＝( )． A ．i B ． i - C ．－45－3 5 i D ．－45＋3 5 i 2.已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．3n －1 B ．4n －3 C ．n 2 D ．3 n －1 3.若f (x )＝ln x x ，ef (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该 命题称为“可换命题”。下列四个命题，其中是“可换命题”的 是（） ①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 8.已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数 (1) 3 f i i + + 对应的点在( ) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 9.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线，是凸(n＋1)边形的对角线条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n－2 B．f(n)＋n－1 C．f(n)＋n D．f(n)＋n＋1 10.设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S， 对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S， 有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 ( ) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 二、填空题（每小题6分, 共24分） 高一数学期中检测质量分析 试题总体评价：这次高一数学质量检测试题能依据《数学大纲》、《命题说明》和教材，从试题题量、试卷结构、知识覆盖、“三基”检测、“四能”要求、难度指数、等五方面基本能达到要求。做为阶段性质量检测试题有较好的方向性和指导性。 一、试题试卷特点 检测试题以它的知识性、灵活性描写了一个多姿的数学世界，充分体现了考素质、考基础、考方法、考潜能的测试功能。题目中无偏题、难题、怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素养的方面发展的作用。 1、基础知识考查的力度加大，重点突出，题目更接近课本。 数学质量检测试题有很多试题紧扣概念，定义、定理源于课本的基础知识，侧重了考通性、通法和数学思想的运用。例如选择题和填空题基本通过很简单的计算推理，分析判断，便能得出正确结论，试题注重了对“三基”的考查，强调了对基础知识、基本技能、基本方法的真正理解和掌握。 具体来说：（1）对选择、填空题来说：第1题，本题是一道算法语句题，注重算法中赋值语句的把握，但学生粗心，没有把握赋值语句的特征，是本题的失分点。第2、3、6题考查统计中的样本估计分析和抽样方法，学生基本无错。第4题是对程序语言的理解应用。第5、7、12题是对随机事件概率求解的考察。第8题是对直线回归方程的理解、应用。第9题是对频率直方图的理解应用.第10题是对事件关系的把握考察。第11题是对进位制间转化的应用。对填空题来说,总体上主要考查基础知识、基本方法,考查学生对基本概念、公式的记忆、理解情况。（2）解答题都是算法初步、统计及概率部分常见题型：试题中的第17题考查了算法和程序间的转化；第18考察了算法案例的理解把握；第19、20题考察应用样本估计总体的知识；第21、22题是概率的求解和应用，是概率部分较为常见题型；试题突出了知识主干，不回避知识的重点，可谓是常考常新，重点内容试题中多次出现。 2、突出能力，重视数学思想方法的考查 重视数学思想方法的考查是这次质量检测试题的又一特点，其中一些基本的数学思想和方法以各种不同层次融入试题中，通过考生对数学思想方法的运用来对考生的数学能力进行区分。试题中第7、12、16、21题涉及了正难则反思想方法的考查，第9、20题中考察学生读图能力、转化与化归的数学思想等；对新课程的实施起到了良好的导向作用。 3、贴近高考考试模式，采用题卷分离式考试。 这次检测考试，采用近年来高考考试模式，防止部分考生，错位答卷，作图不规范，答卷超出指定位置等多种多样不合要求的做法，使考生失去了不该失的分数，是考生的一个新失分点。 二、试卷中存在的问题或建议 1、知识点重复或遗漏。 如第6题与第19题都考察了利用样本估计总体的稳定性，第8题与14题都考察了直线回归方程。作为典型的古典概型和几何概型，尤其几何概型没有涉及到考察。 2、作为新课改下的模块检测考试，分值应用百分值测量比较方便，150分分值2020-2021高二数学上期中试题含答案(5)
2020高二数学期中测试题B卷
高中数学期中考试质量分析
(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案