高一数学竞赛试题及答案
时间： 2016/3/18
注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.
1.（本小题满分15分）
设集合{}
()()
{
}
2
2
2
320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈，
（1）若{}2A B =求a 的值； （2）若A
B A =,求a 的取值范围；
（3）若(),U U R A
C B A ==,求a 的取值范围.
2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ?
（2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.
已知函数4
4
4
)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2
,0[π
∈x 有最大值5，
求实数m 的值．
已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．
已知二次函数)0,,(1)(2
>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
（1）如果4221<< 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，12 1 AA BC AC = =，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。 （1） 证明：BC DC ⊥1； （2） 求二面角11C BD A --的大小。 A B C D 1 A 1 B 1 C 7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 8．（本小题满分20分） 设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称， 对任意x 1,x 2∈[0， 21 ]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);4 1 (),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数； （Ⅲ）记),21 2(n n f a n +=求).(ln lim n n a ∞→ 9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2 +-=ax x x f ， R a ∈. （1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式； （2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++?k f k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围. 高一数学竞赛试题参考答案 1、解：{ }2,1=A （1）∵{}2A B = ∴B ∈2 即，0)5(2)1222 2 =-+?+?+a a （ ，解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时， {} {}2044|2 ==+-=x x x B ② 当1-=a 时， {} {}2,204|2 -==-=x x B 综上{}3,1--∈a （2）∵A B A = ∴A B ? ① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0， ∴()[]0)5(4122 2 <-?-+a a ，即3- ② 当φ≠B 时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3-≥a 1. 当3-=a 时，{}2=B 2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2 ∴ )1(221+-=+a ，即2 5- =a 5212 -=?a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a （3）∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A ① 当△<0时，即3-0时，即3->a ，所以只需B B ??21且 将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或 所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、 综上，a 的取值范围为 ()()()()() +∞+-+------ ---∞-,3131,11,3131,33 ， 2、 3、解：4 2 2 2 2 2 )cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+= 4 2 )cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4 sin(2cos sin ∈+ = +=π x x x t ， 则1cos sin 22 -=t x x ，从而12)1()1(2)(2 4 4 2 2 ++-=+--=t t m mt t x f 令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2 ++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； 当01>-m 时，5122)2()(max =+?>≥g u g ，矛盾！ 当01<-m 时，512)(≤+ 4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数， 则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )， ∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上， 证明：（1）若M φ=，显然有;M N ? 若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==???? ，故0x N ∈，所以;M N ? （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M N ?，必存在1,x N ∈ 但1x M ?，因此()11f x x ≠， ① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >????，即()11x f x >，矛盾； ②若()11 f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x 只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数． 若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0，这些f (x )在闭区间[0,7]上， 只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数． 综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x )， f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x )， ∴f (14－x )＝f (4－x )，即f [10＋(x －4)]＝f (4－x ) ∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10. 又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z)， f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z)， 即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z)均是方程f (x )＝0的根． 由－2 011≤1＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个； 由－2 011≤3＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402 个；所以方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个． 5、解：设1)1()()(2 +-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . （1）由0>a 及4221<< ?><0)4(0)2(g g ，即???>-+<-+0 34160 124b a b a ，即 ??? ???? <+?--<-?+,043224,043233a a b a a b 两式相加得 12 b ，所以，10->x ; （2）由a a b x x 4)1()(22 21--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又01 21>=a x x ，所以21,x x 同号. ∴ 21 )1(120 22 12b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1 )1(120)0(0 )2(2b a g g 解之得 41< b 或4 7 >b . 6、【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠= 同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a = ，则1C O = ，111230C D C O C DO ? ==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30? 7、【解答】 (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )； 令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0. (2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程， 故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ， 代入得出E ＝―b ―1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点，证明如下： 假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 20＋y 2 0＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*) 为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 2 ＋2x 0－y 0＝0， 解得????? x 0＝0，y 0＝1或????? x 0＝－2，y 0＝1， 经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此，圆C 过定点． 9、解：（1）6,5lg )11lg()(,5lg )1(==-==a a x f f 所以则因为 所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02 =++-=--= ?? ? ??<++-=>+-=0),106lg(0,00 ),106lg()(22x x x x x x x x f (2)0)14()2()(0>+++?=k f k f R x f a x x 上单调递增，故在，则若等价于 恒成立， 在于是，另),0(01), 0(201422 +∞>+++>=>+++k kt t t t k k x x x 1)(2 +++=k kt t t g 设 （1）0 （2）时0≥?，??? ??><-0 )0(02g k ，解的0>k 综上，222+->k （3）设10)(2 +-=ax x x h , 由题意知，若函数)(x f 的值域为R ，只需 1026,1)(00min <≤≤<>a x h x 解得：时，
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