绝对值与相反数（提高）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数 －数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．
(0)||0
(0)(0)a a a a a a >??==??-
4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若
1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a
b
<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【典型例题】 类型一、相反数的概念
1．若m 与n 互为相反数，则|m+n ﹣2|= ． 【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知0m n +=，代入上式可得：|m+n ﹣2|=|0﹣2|=2．
【总结升华】若,m n 互为相反数，则0m n +=或m n =-． 举一反三：
【变式】若|x ﹣2|与（y+3）2
互为相反数，则x+y= ． 【答案】-1.
∵|x ﹣2|与（y+3）2
互为相反数， ∴|x ﹣2|+（y+3）2=0， ∴x ﹣2=0，y+3=0， 解得x=2，y=﹣3， ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数．
①(6)--； ②(6)-+； ③ [(6)]--+；④{[(6)]}---+；⑤{[(6)]}---- 【答案】①6； ②6-；③6；④-6；⑤6
【解析】①(6)--表示-6的相反数，所以(6)6--=； ②(6)-+表示+6的相反数，所以(6)6-+=-；
③ [(6)]--+前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以[(6)]6--+=； ④{[(6)]}---+中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以{[(6)]}---+=-6；
⑤{[(6)]}----中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以{[(6)]}6----= 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 类型三、绝对值的概念
3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论． 【答案与解析】因为|x|＝6，所以x ＝6或x ＝-6； 因为|y|＝4，所以y ＝4或y ＝-4；
由于x ＜y ，故x 只能是-6，因此x ＝-6，y ＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x ＝-6，y ＝±4，就是x ＝-6，y ＝4或x ＝-6，y ＝-4． 举一反三：
【变式】如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．
如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；
如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ． 【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3 类型四、比较大小
4． 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)4
5
-
与34--；(4)π-与| 3.14|--．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．
【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5． 因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0． (3)化简得：3344--
=-．这是两个负数比较大小，因为4416
5520
-==
，
33154420-
==，且1615
2020
>．所以4354-<--．
(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 类型五、含有字母的绝对值的化简
5．若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x ﹣4|= ．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ； 当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x ﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【答案】2x ﹣3． 【解析】
解：原式=x+1﹣（﹣x+4）， =x+1+x ﹣4， =2x ﹣3.
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x ﹣4的正负性． 举一反三：
【变式】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：
化简：
【答案】由图所示，可得．
∴ 30a c ->，，
，
∵
．
∴ 原式
．
类型六、绝对值非负性的应用
6． 已知a 、b 为有理数，且满足：1
2
，则a =_______，b =________．
【答案与解析】由
，
，
，
可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三：
【变式】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求
的值．
【答案】 由题意得 ∴
所以，2b a
类型七、绝对值的实际应用
7．一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案与解析】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻．
【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.
一.解答题(共12小题) 1已知a为一个有理数，解答下列问题： (1)如果a的相反数是a,求a的值； (2)10a 一定大于a吗？说明你的理由. 2.有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，且 |a|=|b|,化简|c- a|+|c- b|+|a+b|. a0 c I 3.有200个数1 , 2, 3, ???, 199, 200.任意分为两组(每组 100个)，将一组按由小到大的顺序排列，设为a i< a2< ???< a i00,另一组按由大到小的顺序排列，设为b i> b2>??> b ioo,试求代数式|a i - b i|+|a2 - b2|+??+|a99- b99|+|ai oo -b ioo| 的值. i9 99 4.若 a, b, c 为整数，且 |a- b| +|c- a| =i，试计算 |c- a|+|a- b|+|b- c|的值. 5.若 x>0, y< 0,求:|y|+|x-y+2| — |y— x — 3|的值. 6.同学们都知道，|4-( - 2)表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x- 3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索： (1)|4-( - 2) |= _________________ . (2)找出所有符合条件的整数x，使|x- 4|+|x+2|=6成立. (3)由以上探索猜想，对于任何有理数x, |x- 3|+|x- 6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理 由. 7.先阅读下列材料，然后完成下列填空： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨 设 A 点在原点，如图 i|AB|=|OB|=|b|=|b - 0|=|a-b|; 当A、B两点都不在原点时， ①如图 2, A、B 两点都在原点的右边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=b-a=|a- b| ②如图 3, A、B 两点都在原点的左边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=-b -( - a) =|a- b| ③如图 4, A、B 两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+ (- b) =|a- b| 综上所述， (1)_____________________________________________ 上述材料用到的数学思想方法是 (至少写出2个) (2)数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a - b|.回答下列问题：
数轴、相反数、绝对值（习题） ? 巩固练习 1. 下列图形表示数轴正确的是（ ） 01234 A ． B ． C ． D ． 2. 下列说法正确的是（ ） A ．正数和负数统称有理数 B ．正整数和负整数统称为整数 C ．小数3.14不是分数 D ．整数和分数统称为有理数 3. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．( 3.2)--与 3.2- B ．2.3与 2.31- C ．[]( 4.9)-+-与4.9 D ．(1)-+与(1)+- 4. 下列说法正确的是（ ） A ．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线 B ．离原点近的点所对应的有理数较小 C ．任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 D ．原点在数轴的正中间 5. 关于相反数的叙述，错误的是（ ） A ．两数之和为0，则这两个数互为相反数 B ．到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数 C ．符号相反的两个数，一定互为相反数 D ．零的相反数是零 6. 任何一个有理数的绝对值一定（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．不大于0 D ．不小于0 7. 如果a a >，那么a 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 8. 下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于它本身的数是正数 B ．相反数等于它本身的数是负数 C ．相反数等于它本身的数是0 D ．任意一个数小于它的绝对值
9. 如图，若点A ，B ，C 所对应的数为a ，b ，c ，则下列大小关系 错误的是（ ） C B A ．b c a << B ．a b c -<< C ．b c a <-< D ．a c b <<- 10. 有如下一些数：-3，3.14，-20，0，6.8，0.34，1 2 -，9-， 其中是非正整数的有____________________________． 11. 在数轴上点A 表示-1，点B 表示-0.5，则离原点较近的是点 __________． 12. 在数轴上距离原点为2的点所对应的数为________，它们互为 _____________． 13. 数轴上-1所对应的点为A ，将点A 向右移4个单位再向左移6个 单位，则此时点A 到原点的距离为__________． 14. 绝对值最小的数是________；绝对值越小，则该数在数轴上 所对应的点离原点越________． 15. 若0x >，则x --=_______；若m n >，则n m -=________． 16. 填空： （1）43=__________________；----= （2）21=____________----=； （3）32_____________-?-=?=； （4）33 =___________________________42 -÷-÷=?=．
绝对值与相反数（提高）巩固精练 【巩固练习】 一、选择题 1.（漳州）﹣13的相反数是（ ） A . 13 B .- 13 C .-3 D .3 2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）． A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ②④ 3．满足|x |＝-x 的数有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 4．已知1|3|a =-，则a 的值是( )． A ．3 B ．-3 C ．13 D ．13+或13 - 5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b |＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )． A ．b ＜-a ＜a ＜-b B ．-a ＜b ＜a ＜-b C ．-b ＜a ＜-a ＜b D ．-a ＜a ＜-b ＜b 6．下列推理：①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ．其中正确的个数为( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 二、填空题 7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=． 8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ． 9．（广饶县校级月考）1的相反数是 ； 的相反数是它本身． 10．绝对值不大于11的整数有 个． 11．（江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m +n ﹣2016|= ．
板块一、正数、负数、有理数 正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1-、 3.12-、175 -、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数. 一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号. 正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()???????????????????? 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数分数负分数 ()()???????????????正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 针对性练习： ⑴ 如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 . ⑵ 高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 . ⑶ 某地区5月平均温度为20C ?，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷向南走200-米，表示 .
（5）珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为 （6）饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±” 是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ， 627mL ，问抽查产品的容量是否合格？ （7）下列个数中：1330.70125 ---，，，，，中负分数有 个；负整数有 个； 自然数有 （8）下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？ 4.5-，6，0，2.4 ，π，12 -，0.313- ，3.14，11- 属于负数的有： 属于非正数的有： 属于正分数的有： 属于非负有理数的有： （9）下列说法中正确的个数是( ) ①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （10） 若a -是负数，则a （11）下列说法正确的个数是（ ） ①互为相反数的两个数一定是一正一负 ②0没有倒数 ③如果a 是有理数，那么a +一定是正数，a -一定是负数 ④一个数的相反数一定比原数小 ⑤a 一定不是负数 ⑥有最小的正数，没有最小的负数 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 （12）下列说法正确的是（ ） A ．a -表示负有理数 B ．一个数的绝对值一定不是负数 D ．绝对值相等的两个有理数相等
绝对值与相反数（提高） 【学习目标】 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小． 3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??-
第三讲绝对值 1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的 绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即： 3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数． 二典型例题分析: 例1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？请写在题后的横线上。 (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；； (3)｜a-b｜=｜b-a｜；； (4)若｜a｜=b，则a=b；； （5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。例2、设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3、a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜ 例4、若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
一).填空题: 1.a ＞0时，|2a|=________；(2)当a ＞1时，|a-1|=________； 2. 已知130a b ++-=，则__________a b 3. 如果a>0，b<0，b a <，则a ，b ，—a ，—b 这4个数从小到大的顺序是__________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><，，那么xyz =______0． 5.上山的速度为a 千米/时，下山的速度为b 千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米/时 (二).选择题: 6.值大于3且小于5的所有整数的和是（ ）A. 7 B. －7 C. 0 D. 5 7.知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) Ａ．0既不是正数,也不是负数 B ．0不是自然数 C ．0的相反数是零 D ．0的绝对值是0 9.列说法中正确的是（ ） A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10.x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11.a<0时，化简a a 等于（ ）A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12.若ab ab =，则必有（ ）A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13.已知：x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14.a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 15..若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值.
苏教版七年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 绝对值与相反数（基础） 【学习目标】 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??==??-
] 知识点整合 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： # ①(0) 0(0)(0) a a a a a a >?? ==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222 ||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， ： 例题精讲 【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2 2a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则（ ） A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是（ ） A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥- { ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是（ ） A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围． 【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2 120a b ++-=，分别求a b ，的值 【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围_______________________ 【例4】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、 e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． ^ 【例5】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的 最小值为 【例6】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【例7】 已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简 227a b a b +--- a-b a+b —
2.2相反数与绝对值（导学案） 青岛版七年级数学（上） 学习目标：1.了解相反数的意义；会求已知数的相反数； 2.了解绝对值的含义；会求有理数的绝对值； 3.会利用绝对值比较两个负数的大小。 重点：会求有理数的相反数和绝对值。 难点：能正确理解绝对值在数轴上表示的意义。 教材分析：相反数和绝对值是数学中的重要概念，它们的应用十分广泛。我们不仅要深入理解这两个概念，灵活运用它们来解题，而且在应用过程中要学会其中的思想方法。教学过程中借助数轴理解绝对值的意义，并会求绝对值。明确绝对值和数轴的联系，并会利用绝对值比较有理数的大小。初学绝对值用语言叙述的定义，便于学生记忆和运用，以后逐步改用解析式表示绝对值的定义，在教学中突出一种定义即可。 教学准备：学案导学 课前案：（有学生提前完成并由老师批阅，了解情况） 一相关知识链接： 1.指出数轴上各点分别表示什么数： A B C D 2. 在所给数轴上标出表示下列各数的点： 2.5, -2.5;3, -3; 二新知预习： 1) 叫做相反数； 2）叫做绝对值； 3）一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。 4）两个负数，绝对值大的。 课堂实录 I 导入语 师:同学们好,看了大家做的“课前案”中的内容，老师感到很是欣慰.看来同学们都做了很充分的预习，今天这节课我就跟同学们一起共同来进一步的探讨一下“相反数与绝对值”（板书课题）请大家看“学案” 生：阅读学习目标。 II 结合学案进行新知学习 课中案
（一）知识点一相反数的认识1.自主探究: （1）观察以下几组数:像-5和5, 3.5和-3.5, — 1 1 5 和 1 1 5 .它们是只有不同的两 个数. （2）请你将以上三组数表示在下面的数轴上。 2.归纳总结： 师：我们把只有符号不同的两个数，叫做互为相反数；0的相反数是 0 ； 【点拨引导：（1）互为相反数中的“相反”表示只有符号相反，如5与-5互为相反数，也就是说两个数性质符号不同，符号不同的意思是说一正一负，除了符号不同以外完全相同。）（2）“0的相反数是0”也是相反数定义的一部分，不能把它漏掉。（3）在数轴上，表示护卫相反数的两个点分别在原点的两旁，并且到原点的距离相等。】 生，记住相反数的定义 3.有效训练：（口答） （1）分别说出6.9， -12，-4/5，0 的相反数。 （2）分别说出-（+20），-（-0.09），-(+3 8 )各是哪些数的相反数。 （3）小游戏：同位之间互相配合，一个同学说出一个数，另一个同学说出他的相反数。（通过练习，理解相反数的定义。） （二）知识点二：绝对值的认识 1、观察 A B C D 图中的A和D；B和C.所表示的数有什么相同点和不同点？. 生：A表示-4， D表示+4，它们只有符号不同，是互为相反数； B表示-2， C表示+2，它们也只有符号不同，也是互为相反数。 师：继续观察，它们到原点的距离是？ 生：A点和D点到原点的距离都是4；B点和C点到原点的距离都是3. 2、继续探究：9到原点的距离是，—9到原点的距离也是； 到原点的距离等于9的数有个，它们的关系是一对 . 3、归纳总结： 师：我们把4叫做4和-4的绝对值；2叫做2和-2的绝对值；9叫做9和-9的绝对值； 那么0是的绝对值？ 生：0是0的绝对值。 师：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。我们通常把有理数a的绝对值记作：∣a∣（学生记住） 4、例题解析：求8， -5.6 ， 0， -3，－3 4 的绝对值。（教师演示）
绝对值相反数经典习 题11644
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 相反数与绝对值练习 一、选择题： (1)a 的相反数是( ) (A)-a (B)1a (C)-1a (D)a-1 (2)一个数的相反数小于原数，这个数是( ) (A)正数 (B)负数 (C)零 (D)正分数 (3)一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是( ) (A)-2 (B)2 (C)52 (D)-52 (4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为 12单位长，则这个数是( ) (A)12或-12 (B)14或-14 (C)12或-14 (D)-12或14 1．已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b 等于( ) (A)+5 (B)-5 (C)0 (D)+5或-5 2．一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m ，则这个数的绝对值为( ) (A)-m (B)m (C)±m (D)2m 3．绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( ) (A)+8或- 8 (B)+4或-4 (C)-4或+8 (D)-8或+4 4．给出下面说法： <1>互为相反数的两数的绝对值相等； <2>一个数的绝对值等于本身， 这个数不是负数； <3>若|m|>m,则m<0； <4>若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有( ) (A)<1><2><3>； (B)<1><2<4>； (C)<1><3><4>； (D)<2><3><4> 5．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是( ) (A)正数和零； (B)负数或零； (C)一切正数； (D)所有负数 6．已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) (A)a>b (B)a|π|>|-3.3|; (B) 103 ->|-3.3|>|π|; (C)|π|>103- >|-3.3|; (D) 103->|π|>|-3.3| 8．若|a|>-a,则( ) (A)a>0 (B)a<0 (C)a<-1 (D)1 初一数学绝对值提高篇 1?若x y 3与x y 1999互为相反数，求—y的值。 x y 变形：已知ab 2与b 1互为相反数，设法求代数 式 2. a+ b v 0,化简 | a+b-1 | - | 3-a-b 3. 若x y + y 3 =0，求2x+y 的值. 4. 当b为何值时，5- 2b 1有最大值，最大值是多少？ 2 5. 已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3 a+2c) =0. 求式子；ab2C的值? a c 4 6. 若a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1，试计算 | c-a | + | a-b | + | b-c | 的值. 7. 若 | x | =3 , | y | =2，且 | x-y | =y-x，求x+y 的值. 8. 化简：| 3x+1 | + | 2x-1 | . 9. 已知y= | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 |，求y 的最大值. 10. 设a v b v c v d，求 | x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d | 的最小值. I 2001 12.若a, b, c为整数，且a b 13.若a 19, b 97 ,且a b a b ，那么a b = ________ 1 1 ab (a 1)(b 1 ) 1 (a 2)(b 2) 的值. (a 1999)(b 1999) 11. a 1 0，求a .2001 b + a .2000 b +…a 2 b +a b 14.已知a 5, b 3且a b a b，求a b的值。 15.化简 1 2004 1 2003 1 1 1003 1002 16.已知a、 b、 a c是非零有理数，且a+ b + c=0,求一 a b c abc 77硕的值。 17.有理数a、b、c均不为0，且a+ b + c=0,试求ab ab bc bc ca 的值。 ca 2001 c a 1，计算c a a b b c的值. 绝对值与相反数（基础） 【学习目标】 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边 的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小． 3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??- 北京海纳教育——相反数与绝对值基础知识点 一、相反数 1、相反数的概念：分别分布在原点的两侧，而且到原点的距离相等的两点表示的数中，一个数叫做另一个数的相反数，或说它们互为相反数。 2、相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0. 注意： （1）若两个数互为相反数，则它们的和为0. （2）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 （3）相反数等于它本身的数只有0. （4）相反数是成对出现的，不能单独存在。例如，-3和+3互为相反数，是说-3是+3的相反数，同时+3也是-3的相反数，单独的一个数不能说是相反数。 （5）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同（也就是绝对值相同）。不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数。例如-2和-3，符号不同，但它们不互为相反数。 （6）要把“相反数”与“相反意义的量”区别开来。“相反数”不但数的符号相反，而且要求符号后面的数相同，如+5与-5；而“具有相反意义的量”只要符号相反即可，如+2与-3. 3、多重符号的化简：一个数的相反数仅有一个，-a的实质就是a的相反数。一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把负号全部去掉；一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号。即“奇负偶正”，最后结果的正号一般省略不写。 二、绝对值 1、绝对值的意义 （1）几何意义：一个数的绝对值，就是数轴上表示数a的点到原点的距离。数a的绝对值表示为a，绝对值不可能是负数，即对于任何一个有理数a,总有a 0. （2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 用数学式子表示数a的绝对值： (完整版)绝对值提高 专项练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值 1、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求 y x y x -+的值。 2、a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 3、若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 4、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 5、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子 4422++-+c a c ab 的值. 6、若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 7、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 8、02b 1=++-a ，求()2001b a ++()2000b a ++…()2 b a ++=+b a ． 9、已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式 .) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 10、 已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 11、 a 与b 互为相反数，且54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 12、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 13、（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是______。 14、若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 15、大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ． 16、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ 绝对值及有理数大小比较和相反数 知识点一：数轴上表示数a 的点与原点的 叫数a 的绝对值，记作 。如－2 到原点的距离是 ，所以－2的绝对值是 ，即｜－2｜＝ 。 知识点二：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0 的绝对值是 。即：如果a > 0，那么｜a ｜＝ ；如果a ＝0，那么｜a ｜＝ ；如果a < 0，那么｜a ｜＝ 。 （注意：由于0的绝对值是0，既可以看作是0本身，也可以看作是0的相反 数，所以绝对值是这个数本身的数包括 和 （即非负数）；绝对值是这个数的相反数的数包括 和 （即非正数）） 例题1：｜－6｜＝ ；｜7｜＝ ；｜0｜＝ ．任意有理数的绝对 值一定是 数，即｜a ｜ 0（即非负性）。 例题2：｜－5｜＝ ；｜5｜＝ 。互为相反数的两个数的绝对值 ； 一个数的绝对值等于正数，这样的数应该有两个，它们互为相反数。 例题3：已知｜a ｜＝4，｜b ｜＝2，且a>b ，求a 、b 的值。 解：因为｜a ｜=4,｜b ｜＝2，所以a =±4,b=±2,但a > b,所以a=4, b=±2. 《绝对值的非负性、双值性都是保证做题全面的关键》 知识点三：有理数比较大小： 方法一：数轴直观法——数轴左边的数小于数轴右边的数。 方法二：法则——两个负数相比较，绝对值大的反而小。正数大于0，0大于负 数，正数大于负数。 例题6：比较－ 65和－7 6的大小： 解：因为｜－65｜＝65＝4235，｜－76｜＝76＝4236，而4235＜4236，所以－65＞－76。 （依据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”法则） 知识点四：只有符号不同的两个数叫互为相反数，它们位于原点 ，且到原点的距 离 。求相反数的方法是在数（正负数均可）前面加个“－”号即可。多重符号化简的方法：只看“－”号的个数，偶数个结果为正，奇数个结果为负。正号可以省略。 例题7：化简：－??????+-)3 1( 解：原式＝+（+31）＝3 1 例题8：－（－3）的相反数是 。（注意：有多重符号求相反数时，应先把符号化 简，再求相反数。） 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0) 0(0)(0) a a a a a a >?? ==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 例题精讲 【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2 2a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则（ ） A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是（ ） A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是（ ） A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值围． 【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2 120a b ++-=，分别求a b ，的值 【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值围_______________________ 【例4】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、 e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例5】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的 最小值为 【例6】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【例7】 已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简 227a b a b +--- a-b a+b 【补充】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++----- --的值． 【例8】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值围. 一、基础定义 1、实数分为有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。 2、有理数分为正有理数，负无理数和0。 3、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。（-2和2；2-和2） 4、 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。0的绝对值是0（|-2|=2） 5、乘积是1的两个数互为倒数。（12 和2；√3和√33，0没有倒数） 6、有理数的乘方：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 7、如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记为√a 。0的算术平方根是0.正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 8、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方。 二、定义拓展 1、2≈ √3≈ √5≈ 2、20以内的平方运算：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 3、一个正数的两个平方根互为相反数。 4、当a ≥0时，√a 才有意义。 5、|m|+√n =0时，m 和n 都等于0. 三、练习题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．如果x 的一个平方根是，那么另一个平方根是________． 3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ； 4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________． 5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 9．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 10．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 11．已知0)3(122=++-b a ，则=33 2ab ； 12．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 13．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．绝对值提高篇专项练习题1
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