舒城中学2017—2018学年度第二学期第一次统考
高二理数
时间：120分钟 满分：150分
命题： 审题：
一、选择题。本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．数列{}n a 为等差数列，321,,a a a 成等比数列，15=a ，则=10a
( )
A ．5
B ．－1
C ．0
D ．1
2. 已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f
( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
3. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
( )
A ．321+
B ．318+
C ．21
D ．18
4. 函数)(x f y =的图象在点5=x 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+等于 ( ) A ．1
B ．2
C ．0
D.12 5. 下列命题正确的个数为
（ ）
①“R x ∈?都有02
≥x ”的否定是“R x ∈?0使得02
0≤x ”;
②“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件; ③命题“若2
1≤
m ，则方程0222
=++x m x 有实数根”的否命题
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6．若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）] A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 7．正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点，点F 为AD 中点，则异面直线AE
与CF 所成角的余弦值( ) A.13
B.1
2
C.23
D.
63
8．双曲线12
2
=-a
y x 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则a =
( )
A. 2
B.4
C.－2
D.－4
9．已知点P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，点F 为椭圆的右焦点，PF 的最大值与最
小值的比为2,则这个椭圆的离心率为
（ ） Ａ．
12
Ｂ．1
3
Ｃ.
1
4
Ｄ．
22
10．已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PA PB 、是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为
（ ）
A.3
B.
2
1
2 C.22
D.2
11．直线l 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p
( )
A ．2
B ．
3
4
C ．
3
8
D ． 4
12．已知边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，沿对角线BD 折成二面角
A BD C --为120 的四面体A
B
C
D ，则四面体的外接球的表面积为
（ ）
A ．25π
B ．26π
C ．27π
D ．28π
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上
13．已知方程
)(1312
2R k k
y k x ∈=-++表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ．
14. 若命题："01,"2
<--∈?kx kx R x 是真命题，则实数k 的取值范围是 ．
15.如右图，抛物线px y C 2:2
1=和圆:2C 222
()24
p p x y -+=，其中0>p ,
直线l 经过1C 的焦点，依次交21,C C 于D C B A ,,,四点，则CD AB ?的值为 .
16．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =， ()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）
已知函数ax e x f x
-=)((a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线)(x f y =在点A 处的切线斜率为1-
(1)求a 的值及函数)(x f 的极值；
(2)证明：当0>x 时，x
e x <2
18.(12分)已知过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
))(,(),,(212211x x y x B y x A <两点，且9=AB .
(1)求该抛物线的方程；
(2) O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
19．(12分)如图甲，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，
2,5,1,2=====AD AB BC DC DB ．将（图甲）沿直线BD 折起，使二面角C BD A --为o 60（如图乙）．
（1）求证：AE ⊥平面BDC （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20．(12分) 如图，在底面为正方形的四棱锥ABCD P -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
DC PD =，点E 是线段PC 的中点．
（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；
（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角B DE F --的正弦值为
3
3
，求PB PF 的值．
21. (12分) 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆
A
B
C
D F P
E
（第20题）
2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （1）求k 的取值范围；
（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量
OP OQ + 与AB
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
22．(12分) 已知函数()()2
ln f x kx x k R =-∈.
（1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：()4444ln 2ln 3ln 4ln 1...2,2342n n n N n e
*
++++<≥∈.
2017-2018学年度第二学期寒假作业检测考试
高二数学（理）答案
一、选择题 DCABB CCBBD CD
二、填空题： 13． 1 2 p 16． ()0,+∞ 三、解答题： 17．（10分） 解 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2. 当x (2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22??? ?x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝ 5p 4 . 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC → ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3， 所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2. 19．(12分) （Ⅰ）证明：如图4，取BD 中点M ，连接AM ，ME . 因为AB=AD =2，所以AM ⊥BD ， 因为DB =2，DC =1，BC =5，满足：DB 2+DC 2=BC 2， 所以△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形，BD ⊥DC ，因为E 是BC 的中点，所以ME 为△BCD 的中位线，∴ME ∥12CD ，∴ME ⊥BD ，ME =12 ∴∠AME 是二面角A -BD -C 的平面角，AM E ∴∠=60°. AM BD ⊥ ，ME BD ⊥且AM 、ME 是平面AME 内两条相交于点M 的直线， BD AEM ∴⊥平面，AE ? 平面AEM ，BD AE ∴⊥. 2AB AD == ，2DB =，ABD ∴△为等腰直角三角形，1 12 AM BD ∴==，在△AME 中， 由余弦定理得： 2223 2cos 2AE AM ME AM ME AME AE =+-??∠∴= ， 2221AE ME AM AE ME ∴+==∴⊥，， BD ME M BD BDC ME BDC =?? ，平面，平面，AE BDC ∴⊥平面. （Ⅱ）解法一：等体积法. 解法二：如图5，以M 为原点，MB 所在直线为x 轴，ME 所在直线为y 轴， 平行于EA 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则由（Ⅰ）及已知条件可知B (1，0，0)，1002E ?? ???，，，13022A ?? ? ?? ?，，，D (100)-，，，C (110)-，，.则131(010)22AB CD ??=--=- ? ??? ，，，，，， 13122AD ?? =--- ? ??? ，，，设平面ACD 的法向量为n =()x y z ，，， 则13·0022 ·00n AD x y z n CD y ? ?=---=?????=??? -=? ，，，令3x =，则z =-2，(302)n ∴=- ，，， 记点B 到平面ACD 的距离为d ，则 AB n d n ?= ，所以d 2230322173)0(2) ++==++-(. 图4 图5
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