专题提升(三)数式规律型问题
【经典母题】
观察下列各式：
52＝25；
152＝225；
252＝625；
352＝1 225；
…
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．
解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，
因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．
【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．
【中考变形】
1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2＝1；
8＋7－6－5＝4；
15＋14＋13－12－11－10＝9；
24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；
…
根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C) A．100 B．121 C．120 D．82
【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102
－101，∴左起第1个数是120.
2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)
图Z3－1
A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1
【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n ＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.
3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的(D)
图Z3－2
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
2 017÷4＝504……1，
∴2 017是第505个循环组的第2个数，
∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.
故选D.
4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒
条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿
走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走
⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走
(D)
A．②号棒B．⑦号棒
C．⑧号棒D．⑩号棒
【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．
5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：
图Z3－4
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(D) A．3n B．6n
C．3n＋6 D.3n＋3
【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．
6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．
【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n＝
2 016，得n（n＋1）
2
＝2 016，解得n＝63(负数舍去)．
图Z3－3
7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报? ????11＋1，第2位同学报? ??
??
12＋1，第3
位同学报? ??
??
13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.
【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝3
2，第
3位同学报的数为13＋1＝4
3，…
∴第100位同学报的数为1100＋1＝101
100，
∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101
100＝101.
8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n ＋3__．
图Z3－5
【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n ＋3. 9．观察下列等式：
第一个等式：a 1＝11＋2
＝2－1；
第二个等式：a2＝
1
2＋3
＝3－2；
第三个等式：a3＝
1
3＋2
＝2－3；
第四个等式：a4＝1
2＋5
＝5－2；…
按上述规律，回答以下问题：
(1)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝
1
n＋n＋1
＝n＋1－n ；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝
【解析】a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.
10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．
图Z3－6
【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)．11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．