第3章 平面任意力系
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。 ( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。 ( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。 ( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。 ( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。 ( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。 ( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R
'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力，
且合力通过简化中心。 ( √ )
8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。
( × )
9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。
( × )
10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。
( √ )
11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。
( × ) 二、填空题
1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。 2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。 3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。
4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O O
M M =
∑F F ，
称之为合力矩定理。
5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。
6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。 7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。 8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。 三、选择题
1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。以下四种说法，哪一个是正确的？( D )
(A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠
图3.18
2．如图3.19所示平面内一力系13F F =，24F F =，此力系简化的最后结果为( C )。
(A) 作用线过点B 的合力 (B) 一个力偶
(C) 作用线过点O 的合力 (D) 力系平衡
3．如图3.20所示刚体在一个平面任意力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的( B )。
(A)
0x
F =∑，0F ξ=∑，()0A
M =∑F
(B) ()0O M =∑F ，()0A
M =∑F ，()0B
M =∑F (C) ()0O
M =∑F ，()0C
M =∑F ，0y
F =∑ (D) 0x F =∑，0y F =∑，()0O
M =∑F
图3.19 图3.20
4．如图3.21所示的四种结构中，各杆重忽略不计，其中哪一种结构是静定的( c )。
(b)
(c)
(a)
图3.21
5．如图3.22所示的四种结构中，梁、直角刚架和T 形刚杆的自重均忽略不计，其中哪一种结构是静不定的。( b )
6．平面任意力系向一点简化得到一个力和一个力偶，这个力作用在( D )。 (A) x 轴上 (B) y 轴上 (C) 坐标系原点 (D) 简化中心
(d)
(c)
(b)
(a)
图3.22
7．重量为W 的均匀杆EF 放在光滑的水平面上，在两端沿其轴线方向作用拉力P 和Q 如图3.23所示，且P Q >。如将杆在A 、B 、C 三个截面处均分四段，则在A 、B 、C 三处截面的张力的关系为( B )。
(A) A B C S S S == (B) C B A S S S <<
(C) A B C S S S <<
(D) C A B S S S <<
图3.23
8．如图3.24所示三种受力情况，关于对支座A 、B 约束反力大小正确的答案是( B )。
(A) 三种情况相同，4A B F F F ==
(B) 三种情况相同，2
A B F F F == (C) 三种情况相同，A B F F F == (D) 三种情况不相同
(b) (a)
(c)
图3.24
9．矩形ABCD 平板受力图如图3.25所示。(A)、(B)、(C)、(D)为其四组平衡方程，其中只有( B )组是
独立的方程。
(A) ()0()00
A B x M M F ?=??
=??=??∑∑∑F F
(B) ()0
()00
A D x M M F ?=??
=??=??∑∑∑F F
(C) ()0()0()0B E C
M M M ?=?
=??=?∑∑∑F F F
(D) ()0()0
()0()0A B C
D M M M M ?=?
=??=??=?
∑∑∑∑F F F F
10．某平面平行力系，已知1234510N 4N 8N 10N F F F F F =====，，，，受力情况如图3.26
所示，尺寸单位为cm ，试问此力系简化的结果是否与简化中心的位置有关？ ( A )
(A) 无关 (B) 有关
(C) 若简化中心在Ox 轴上，则与简化中心无关 (D) 若简化中心在Oy 轴上，则与简化中心无关
y
A
B C
E Dx
F F
x
D
Dy F A F
M
图3.25 图3.26
四、计算题
3-1 重物悬挂如图3.27所示，已知G =1.8kN ，其他重量不计。求铰链A 的约束反力和杆BC 所受的力。
解：选AB 和滑轮D 组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
∑=0x
F
045cos o =--D B Ax F F F
∑=0y
F 045sin o
=-+G F F B
Ay
∑=0)(F A
M 03.01.06.
045sin o
=?-?+?G F F D
B
图3.27
其中：kN 8.1==G F D 联立求解，可得：
N 2400=Ax F ，N 1200=Ay F ，N 5.848=B F
3-2 求如图3.28所示平面力系的合成结果，长度单位为m 。
解：平面力系向简化中心O 点简化，有
N 05
4
500400'=?
-==∑xi
Rx F F N 05
3
500100200'=?---==∑yi
Ry
F
F
主矢为
N 02'2''=+=Ry Rx R F F F
主矩为
m N 2606.25
3
50021008.0400)
(?=??+?-?-==
∑i O O F M
M
3-3求如图3.29(a)、(b)所示平行分布力的合力和对于点A 之矩。
(b)
(a)
q
图3.29
解：（a ）平行分布力的合力为：
qa F R =' ( ← )
对于点A 之矩的矩为
2
2
1qa M A =
( ) （b ）平行分布力的合力为：
ql F R 2
1
'=
( ↓ ) 对于点A 之矩的矩为
图3.28
2
3
1ql M A =
(
) 3-4静定多跨梁的荷载及尺寸如图3.30(a)、(b)所示，长度单位为m ，求支座约束反力。
(a)
20kN /m
(b)
图3.30
20kN /m
C
20kN /m
C
解：(a) 分别选整体和杆BC 为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F 030sin o
=-C
Ax
F F
∑=0y F 062030cos o
=?-+C
Ay F F
∑=0)(F A M 0662040930cos o
=??--?+C
A F M
杆BC ： ∑=0)(F B M 03620630cos o
=??-?C
F
联立求解，可得：
kN 320=Ax F ，N 60k F Ay =，m kN 220?=A M ，kN 340=C F
(b) 分别选整体和杆CD 为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F 0=Ax
F
∑=0y F 045.25=?--++Dy
By Ay F F F
∑=0)(F A M 05445.21582=-??-?-?+?Dy
By F F
2.5kN/m
Dy
Dy
杆CD ： ∑=0)(F C M
05125.24=-??-?Cy F
联立求解，可得：
0=Ax F ，N 5.2k F Ay -=，kN 15=By F ，kN 5.2=Dy F
3-5 均质圆柱体O 重为P ，半径为r ，放在墙与板BC 之间，如图3.31所示，板长BC =L ，其与墙AC 的夹角为α，板的B 端用水平细绳BA 拉住，C 端与墙面间为光滑铰链。不计板与绳子自重，问α角多大时，绳子AB 的拉力为最小。
解：分别选圆柱体O 和板BC 为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
圆柱体O ：
∑=0y
F
0sin 2=-P F N α
解得：α
sin 2P
F N =
板BC ：
∑=0)
(F C M
0cos 2
tan
/'
2=?+?-αα
L F r F B N
其中：2'
2N N F F =-，解得
α
αα
ααcos )cos 1(Pr
2
tan
cos sin -=
?=
L L r P F B
引入αααcos )cos 1()(-=f ，下面求)(αf 的最大值。由于0sin cos 2sin )('=+-=ααααf ，有
2
1cos =
α，即o 60=α，此时，)(αf 有极大值，而B F 有极小值，其值为L F B Pr 4min =。
3-6 求图3.32所示悬臂梁的固定端的约束反力。已知2
M qa =。
解：选悬臂梁AB 为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
图
3.31 2N
图3.32
q F M
∑=0x
F 0=Ax
F
∑=0y F 02=?-a q F Ay
∑=0)(F A M 02=??-+a a q M M A
其中2M qa =。联立求解，可得：
0=Ax F ，qa F Ay 2=，2qa M A =
3-7 如图3.33(a)、(b)所示承重架，不计各杆与滑轮的重量。A 、B 、C 、D 处均为铰接。已知AB =BC =AD =250mm ，滑轮半径R =100mm ，重物重W =1000N 。求铰链A 、D 处的约束反力。
(b)
(a)
图3.33
解：(a) 分别选整体和BD 杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F
0=+Dx Ax F F
∑=0y
F 0=-+W F F Dy
Ay
∑=0)(F A
M 06.025.0=?-?-W F Dx
杆BD ： ∑=0)(F B M 01.025.025
.0=?-?-?-T F F Dy
Dx
其中：N W T 1000==，联立求解，可得：
N 2400=Ax F ，N 1000-=Ay F ，N 2400-=Dx F ，N 2000=Dy F
(b) 分别选整体和DE 杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F 0=+Dx
Ax
F F
∑=0y F 0=-+W F F Dy
Ay
∑=0)(F A M 06.025.0=?-?W F Dx
杆DE ： ∑=0)(F B M 01.025.025.0=?-?-?E
Dy Dx F
F F
其中：N W F E 1000==，联立求解，可得：
N 2400-=Ax F ，N 1000-=Ay F ，N 2400=Dx F ，N 2000=Dy F
3-8 如图3.34所示结构中，110kN P =，212kN P =，2kN m q /=，求平衡时支座A 、B 的约束反力。
解：分别选整体和BC 杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F
060cos 4o
1=-?++P q F F Bx Ax
∑=0y
F 060sin 2
o
1
=--+P P F F By
Ay
∑=0)(F A M 0244260sin 460cos 62
o
1
o
1
=??-?-?+?+?q P P P F By 杆BC ： ∑=0)(F C M 02442
=?-?+?P F F By Bx
W
图3.34
图3.35
kN 3)31(5+-
=Ax F ，kN 3
3
2014+=Ay F ， kN 3354+-=
Bx F ， kN 3
3
522-=By F
3-9 如图3.35所示构架，轮重为P ，半径为r ，BDE 为直角弯杆，BCA 为一杆。A 、B 、点E 为铰链，点D 为光滑接触，/2BC CA L ==，求：点A 、B 、D 约束反力和轮压ACB 杆的压力。
解：分别选整体和BA 杆为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F
0=+Ax D F F ∑=0y
F
0=-P F Ay
∑
=0)(F A M 02
=?
+?-L
P r F D 杆BC ：
∑=0x
F
0=+Ax Bx F F ∑=0y
F
0=-+C Ay By F F F
∑
=0)(F A M 02
=?
+?-L
F L F C By
By
By
Ay Ay
r PL F Ax 2-
=，P F Ay =，r PL F Bx 2=， P F By =，r
PL
F D 2=，P F C 2= 3-10 构架由ABC 、CDE 、BD 三杆组成，尺寸如图3.36所示。B 、C 、D 、E 处均为铰链。各杆重不计，已知均布载荷q ，求点E 反力和杆BD 所受力。
解：分别选整体和AC 杆为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F 0=Ex F
∑=0)(F D M 02
3=?
+?a
qa a F Ey 杆BC ：
∑
=0)(F C M 02
45sin o =?
+?-a
qa a F BD 联立求解，可得：
0=Ex F ，23qa F Ey -
=，qa F BD 2
2
=
q
图3.36
图3.37 a
q
q
3-11 如图3.37所示的构架，由杆AB 和BC 所组成，重物M 重P =2kN 。已知AB=AC =2m ，D 为杆AB 中点，定滑轮半径R = 0.3m ，不计滑轮及杆的自重，求支座A 、C 处的约束反力。
解：分别选整体和BC 杆为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0x
F 0=+Cx
Ax
F F
∑=0y F 0=-+P F F Cy
Ay ∑=0)(F A M 03.22=?-?P F Cx
杆BC ： ∑=0)(F B M 03.122=?-?-?E
Cy Cx F
F F
其中：2kN E F P ==，联立求解，可得：
kN 3.2-=-=Cx Ax F F ，kN 1==Cy Ay F F
3-12 已知力P ，用截面法求如图3.38所示各桁架中杆AC 、杆EF 和杆BD 的内力。
解：用截面法求解桁架中杆AC 、杆EF 和杆BD 的内力。用图示截面mm 假想地将桁架截断，取截面mm 以上部分为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
∑=0x
F
0=FE F
∑=0y
F
0=---P F F DB CA
B By 图3.38
∑=0)(F F M
02=?-?a F a F DB CA
联立求解，可得：
3P F CA -
=，0=FE F ，3
2P F DB -= 3-13 桁架如图3.39所示，已知力F 和尺寸l ，试求杆件BC 、DE 的内力。
解：选取整体为研究对象，受力分析如图所示。然后用截面法求解桁架中杆件BC 、DE 的内力。用图示截面mm 假想地将桁架截断，取截面mm 以右部分为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
∑=0)(F A
M 032=?-?l F l F By
截面mm 以右部分： ∑=0x F 0=+--F F F ED
BC
∑=0)(F C M 033=?-?+?l F l F l F ED
By
联立求解，可得：
2F F BC =
，2
F F ED =
F
m
图3.39
第三章 习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是：
平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题3－3．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核：
结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题3－4．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
《工程力学》第三章平面一般力系试卷 一、单项选择题 1.(2 分)A 2.(2 分)B 3.(2 分)D 4.(2 分)C 5.(2 分)D 6.(2 分)B 7.(2 分)C 8.(2 分)B 9.(2 分)C 10.(2 分)C 二、判断题 11.(2 分)错误 12.(2 分)正确 13.(2 分)正确 14.(2 分)正确 15.(2 分)错误 16.(2 分)错误 17.(2 分)错误 18.(2 分)错误 19.(2 分)错误 20.(2 分)正确
三、填空题 21.答案：相互垂直；均为零；任意点；代数和也等于零(4 分) 22.答案：平面平行(1 分) 23.答案：二个；两个(2 分) 24.答案：A．B．C三点不在同一直线上(1 分) 25.答案：未知力；未知力(2 分) 四、简答题 26.(10 分)由F R=F1+F2+ … +F n可知: 平面汇交力系简化结果为一合力,此合力的作用线通过简化中心O,其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和。 27.(10 分)不能在杆的B点加上一个力使它平衡。还须加上一个力偶才能使它平衡。 五、计算题 28.(10 分)解题方法分析:取杠杆AOB为研究对象, 由于已知杠杆B端对阀门的作用力为400N, 所以阀门对杠杆B处的反作用力N B也是400N。受力图和坐标建立如图所示,所求未知力为F、R OX、R OY。 列平衡方程 ∑F X=0:R0X-F sin(α-β)=0(1) ∑F Y=0:-R0Y+N B+F cos(α-β)=0(2) ∑m0(F)=0:F·cosα×500-N B×300=0(3) 由式(3)得F===277.13(N)
第三章平面一般力系 教学目的及要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点：对力的平移定理的理解和应用 教学内容： 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。 1．力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。2．基本概念 1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。 2）主矢：平面力系各力的矢量和，即 3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。 注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。 4．固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容： 1．平面力系的简化步骤如下： 1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩：逆正顺负，画在图中 5) 简化结果讨论 2．平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况： 1) 简化为一个力偶的情形： 力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。即： F R′=0，M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。即： F R′≠0，M o=0 3)若F R′≠0，M o≠0 平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
第3章 平面任意力系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。 ( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。 ( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。 ( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。 ( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。 ( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。 ( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力， 且合力通过简化中心。 ( √ ) 8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。 ( × ) 9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。 ( × ) 10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。 ( √ ) 11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。 ( × ) 二、填空题 1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。 2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。 3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。 4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O O M M = ∑F F ， 称之为合力矩定理。 5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。 6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。 7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。 8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。 三、选择题 1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。以下四种说法，哪一个是正确的？( D ) (A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
第三章 平面力系 一、填空题 1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ） (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ） (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P （b ）o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
由直角三角形OAB 可知，B 点离0点的距离为: a - COSPt 第三章平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成a 角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有送M jA =0，送M jB = 0 ,且送F iy =0, 2 F i ^ 0。 已知0A = a ，求B 点在x 轴上的位置。 解: 因为M A =2 M iA =0，但S F ix H 0 ,即卩F^Q ，根据平面力系简化结果的 讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作 用线通过简化中心A 。 又因为M B =S M iB=0，但送F ix^O ，即卩F R HQ ，根据平面力系简化结果 的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的 作用线通过简化中心B 0 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为F Ry =5： F iy =0，所以合力F R 与y 轴垂直。 即AB 与y 垂直。 图 3-23
500 ［习题3-2］如图3-24所示，一平面力系（在oxy 平面内）中的各力在X 轴上投影之 代数 和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为 M A =12kN .m, M B =15kN ”m，A 、B 两 点的坐标分别为（2, 3）、（4, 8）,试求该力系的合力（坐标值的单位为m ）。 解：由公式（3-5）可知: M O2 =M O1 中 M O2(F R ) M B =M A +M B (F R ) F R M B =M A +M B (F RX )+ M B (F Ry ) 依题意F RX =0，故有: k*---- C(-6,3) a =8m M B =M A +M B (F Ry ) 15 =12+F Ry>q 4-2) 2F Ry =3 F Ry =1.5(kN) F R =F Ry =1.5kN F R 1.5 故C 点的水平坐标为：X = -6m 。 F R A M B 厂、 F R . M A !' F A (2,3) I 题3-24图 ［习题3--3］某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力 F P = 250 kN,屋顶传来的力F Q = 30kN ，试将该两力向底面中心O 150150 F Q |H ^ n “ B(4,8 ) F P 简化。图中长度单位是mm 。 200 题3-25图
第三章 平面任意力系 一、目的要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 二、基本内容 1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。 2．平面力系的简化 步骤如下： ①选取简化中心O ：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy ③主矢：平面力系各力的矢量和，即 ∑∑∑===+==n i n i n i i R Y X 111'j i F F 其中 ?????∑∑=∑+∑=??????∑=∑=X Y Y X Y X R Ry Rx αtan :)()(:2 2'''方向大小F F F 其中α为F R 与x 轴所夹锐角，所在象限由ΣX 、ΣY 符号确定，并画在简化中心O 上。 主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即 11()()n n o o i i i i i i i M M x Y y X ====-∑∑F 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选
取有关。 ④简化结果讨论 a. 若 0 ,0'≠=o R M F ：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 b. 若0 ,0'=≠o R M F ：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力F R ，且有F R =F 'R 。 c. 若0 ,0'≠≠o R M F ：平面力系简化结果为一合力F R ，其大小、方向与主矢相同，作用线在距简化中心O 为'R o F M d = 处。 d. 0 ,0'==o R M F ，则该力系为平衡力系。 3．平面力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。 1）基本形式 ?????=∑=∑=∑0)(0 00F M Y X 2）二矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴 3）三矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线 特殊力系的平衡方程 1）共线力系：0=∑i F 2）平面汇交力系：???=∑=∑00Y X
第三章 平面任意力系 一、要求 1、 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力 系简化的结果。 2、 深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、 能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、 本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系 平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、 本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、 力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果 发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、 平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理， 将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、 主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 ∑== n i i F R 1 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即
)(1 i n i o O F m M ∑== 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕O 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、 平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即0'=R ，0=o M 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的'R 和o M 都等于零。用反证法证明，因为，假如0'≠R ，平面任意力系必能简化为一合力，则物体不能平衡；又若0≠o M 、0'=R ，平面任意力系简化为一合力偶，物体也不平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要条件。所谓平衡的充分条件是：如果平面任意力系的'R 和o M 都等于零，则物体平衡。因为平面任意力系向一点简化只有三种可能的结果：合力、合力偶、平衡。0'=R ，0=o M 说明力系既不能简化为一个合力，也不能简化为一个合力偶，故物体必定平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要和充分条件。y （2）平衡方程：三种形式的平衡方程是平面任意力系平衡条件的解析表达式。见下表：
第三章 平面任意力系 一、要求 1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。 2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平
面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点 的主矩都等于零，即 ， 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的 和
第3章 平面力系的平衡条件 3.1平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。 3.1.1 平面汇交力系合成的解析法 设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影 ∑∑====n i yi Ry n i xi Rx F F F F 1 1 y 图3-2 R F = cos Rx R F F α= (3-1) cos Ry R F F β= 式中 α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。 3.1.2 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。 1 0n Rx xi i F F ===∑
1 0n Ry yi i F F == =∑ (3-2) 于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。 3.2平面力偶系的合成与平衡条件 3.2.1 平面力偶系的合成 应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。 ∑==n i i M M 1 (3-3) 3.2.2 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 1 0n i i M M == =∑ (3-4) 3.3平面任意力系的合成与平衡条件 3.3.1工程中的平面任意力系问题 力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。 3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩 如图3-7（a ）所示。在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。 i ′ 图3-7