解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1
解析：易知故
在中，
则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上，
延长F1M交PF2的延长线于N，
则，
即
在
故点M的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用
例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3
解析：易知抛物线的准线l：，
作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线的最短距离为2
故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用
例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
图4
②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，
而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|
即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝
故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点
长轴长为2的椭圆。应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；
②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
图5
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点
实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为；
②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点
长轴长为28的椭圆，其方程为。
［练习］
1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且，则e ＝__________。
答案：
2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。
答案：
圆锥曲线中的方法与运算
1.
(与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,
使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.
分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.
我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围.
解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即
0k =可取.若0k ≠,
则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,
21,
y x m k
y x ?
=-+???=-?
可得,22210y y kb +-+=.
∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴ 244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则12
02
y y y k +=
=-, ∴ 212
0(
)()2
y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得,
21k m k
-=,
∴ 2
12k k -+2
1k k
-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<.
综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.
2.
(与名师对话第51练)已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线
22x y =交于,A B 两点,
O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:11
22
OP OA OB =+.
（1）求点P 的轨迹C 的方程;
（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的 距离为a ,求a 的取值范围.
分析：由1122
OP OA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹.
解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为:
1y k x =-（）
,由方程组212y k x x y =-??=?（
），，
消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,
∴ 12
2
p x x x k +=
=, 21p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为: 2y x x =-.
∵ 2480k k ->, ∴ 0k <或2k >,
∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线
2y x x =-上的一段弧.
分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.
解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,
则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -], ∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,
∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,
∴ 211210x x λλλ-+-=,
方法(一) 11x =
=3λ>),
∴ 11(3)a x λ==>,
∴ a ∈(1,1)3-
(1,13
?+. 方法(二) 211
(1)x λ
-=, (3λ>),
∴ 1
103λ<
<, 0<21(1)x -1
3
<, ∴ 11x ≠且11133x -<<+
∴ a ∈(1,1)3-
(1,13
?+.
3.
(与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过
点M (0,)m 且倾斜角
为θ(0<θ<2
π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-.
（1）求m 的值;
（2）若点M 分AB 所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式. 分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<
2
π
)的直线的方程为y kx m =+.
由方程组22y kx m x py =+??=?，
，
消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则
122x x pm =-,
∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2
p m =. 分析: 由2p m =
可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2
π
)的直线为2
p y kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式.
解(2): ∵ 关于θ的函数关系式, ∴
AM MB
λ=,
1122(0,)(,)[(,)(0,)]22
p p
x y x y λ-=-,
1212,
(),22
x x p p y y λλ=-???-=-??
由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,
由方程组1212212,
2,,
x x x x pk x x p λ?=-?+=??=-?可消去12,,x x p 得,22
2(21)10k λλ-++=.
∵ 0<θ<2
π
, ∴ 1λ<, 故
2
2
2121k k k λ=+-+=22
2
2
(1sin )2tan 12tan tan 1cos θθθθθ-+-+==1sin 1sin θ
θ
-+. 4.
(与名师对话第51练) 已知方向向量为(1,3)v =的直线l 过点
(0,-2)和椭圆C:22
221x y a b
+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心
关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （1）求椭圆C 的方程;
（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ?=
463
cot MON ∠ 0(O ≠为原点) 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请
说明理由.
6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为
22
1189
x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，
O 为坐标原点.
(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;
(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.
解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知
,F(-) 则11333
x y
x y -=
=，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴ OFM 的重心G 的轨迹方程为2
2112
x y ++=（）
(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆2
2112x y ++=（）
的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆2
2112
x y ++=（）
的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大.
方法(一) 用椭圆的定义
设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.
在
MOP
?中
,
2122
22
12r r OP r r OGP COS -+=
∠=212
22
124r r r r -+=2
12
1221224)(r r r r r r --+
=
2
1
2 1
2 2
2 4
)2
2(
r r
r r -
-=
2
1
4
2
r r
+
-≥
4
)
(
4
2
2
2
1
r
r+
+
- (当且仅当2
1
r
r=时,等于
号成立)
=0
∴当
2
1
r
r=,即点M与短轴的端点重合时张角OGP
∠最大, 最大角为0
90,这时点M的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.
方法(二) 用椭圆的焦半径公式
将椭圆22
1
1
2
x
y
+
+=
（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程
为221
2
x
y
+=,原张角OGP
∠就是在点P处的两条焦半径的夹角.设点P
的坐标为(
00
x y
，),则
22
00
12
00
22
24
22
cos
22
222
22
x x
F PF
x x
++--
∠=
+-
（2）（）
（）（）
=22
02
11
[02]
121
2
22
22
x
x
x
x
=?∈
--
2
，
（）
当
x=时,12
cos0
F PF
∠=, 当2002]
x∈（，时, 12
cos01]
F PF
∠∈（，,
故
12
cos[01]
F PF
∠∈，, 12
F PF
∠的最大值为0
90,这时相应点P的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P的坐标为(-1,±1).
7.(与名师对话第52练21) 已知动点P与双曲线
22
123
x y -=的两个焦点12F F ，的距 离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19
-.
(1) 求动点P 的轨迹方程;
(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=,求实
数λ的取值范围;
(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =,求直线
MN 的方程.
分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22
123
x y -=的两个焦
点12F F ，为其焦点
的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.
解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22
123
x y -=的两个
焦点12F F ，为其焦点
的椭圆,设其方程为22
221x y a b
+= (0a b >>).
可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值
最小,这时2122222010cos 12a F PF a a -∠==-, ∴ 2
101
19
a -=-, 29a =. ∴ 24
b =,
∴ 动点P 的轨迹方程为22
194
x y +=.
分析: 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表44z 示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.
解法(一): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线. 若直线MN 的斜率不存在,则155
λλ==或.
若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组
22
3,
4936,
y kx x y =+??+=?可得, 22(94)54450k x kx +++=,
设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212
225445
,9494
k x x x x k k -+=
=++. 又由DM DN λ=可得, 12x x λ=,
∴ 12
225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λ
λ=++24594
k +
∴
2(1)λ
λ=+222
59454(9)324324k k k +?=?+. ∵ 22(54)445(94)0k k ?=-?+≥, ∴ 25
9
k ≥.
∴
25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555
λλ<<≠且, 综上所述, 1
55
λ≤≤.
分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.
设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194
x y +=,22
22194x y +
=. ∵ DM DN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,
∴
22
222(33)19
4
x y λλλ-++=, 2222
22294x y λλλ+=. ∴ 22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)
14
y λλλλ-+-=-,
∴ 1λ=或
23(233)14y λλλ-+=+, 2135
22,06y λλλ
--≤=≤>解得
1
55
λ≤≤. 8.
抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，）
(00x ≠)作斜率
为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）.
(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;
(2) 设直线
AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y
轴上;
(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.
分析: 将a 看作常量.
解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a
=<, 故抛物线C 的焦点坐标为(1
04a
，),准线方程为14y a
=-
. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.
解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）
,由方程组1002
y k x x y y ax =-+??=?（），，
可得,211000ax k x k x y -+-=,即22
11000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a =-, 同理 220k
x x a =-, ∵
BM MA
λ=, ∴
21M M x x x x λ-=-（）
,
121M x x x λλ
+=
+=12001k k
x x a a λλ
-+-+（
）（）
∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,
∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:
解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-,
111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,
∴ 21111A k k -++（（），-（））, 2
1111B k k --（，-（））
∴ 1124AB k k =（，）,211122AP k k k =++（，）
, ∵ PAB ∠为钝角, P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ?<即有
1124k k ?
（，）211122k k k ++（，）
<,
112(2)k k ++
21114(2)0
k k k +<,
111(2)(21)0k k k ++<
∴ 111
202
k k <--<<或,
∴ 211(1)y k =+, 111202
k k <--<<或, ∴ 111114
y y <--<<-或.
9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3-（，且方
向向量为25a =-（，的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又
2AM MB =.
(1) 求直线l 的方程;
(2) 求椭圆C的长轴长的取值范围.
解(1): 直线l
的方程为3
y x
=-）
分析: “直线l与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b
，的不等式,
向量等式2
AM MB
=可以转化为一个关于a b
，的等式.
解(2):
由方程
组
222222
3
2
,
y x
b x a y a b
?
=--
?
?
?+=
?
（）
可
得2222222
4
5
b a y y b a b
+-+-=
（）.
设设
1122
(,),(,)
A x y
B x y,
则222
1212
2222
4
55
b a b
y y y y
b a b a
-
+==
++
，.
由2
AM MB
=可知,
12
2
y y
= ,
∴
1
22
5
y
b a
=
+
,
2
22
5
y
b a
=
+
, ∴
2
222
32
5
4
5
b
b a
=
+
（）
222
22
4
5
b a b
b a
-
+
,∴22
2
2
51
40
9
a a
b
a
-
=>
-
（）
∵2222222
4
()4()()0
5
5
b b a b a b
=--+->, ∴22
545
a b
+>,
∴ 2
2
2
225(1)0,9545,a a a a b ?->?-??+>? ∴ 22222
225(1)
0,95(1)55,9a a a a a a a ?->??-?-?+>?-?
219a <<. ∵ 2
2
,b a < ∴ 2
22
22
51449a a b a a -=<-（）, ∴ 2
24199
a a <>或, ∴ 241
19
a <<
, 4113a <<,
∴ 241
223
a <<
,即椭圆C 的长轴长的取值范围为241(2,)3. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线
段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点.
(1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明()PQ AB R λλ=∈.
解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为
20002()y x x x x =-+,
∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =, ∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,
∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).
分析: 即证明AB ∥PQ .
(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(,0)2
,设直线
l 的方程为1
()2
y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .
由方程组21(),2
,
y k x y x ?
=-?
??=?
可得2102x mx m -+=, 故12121
,2
x x m x x m +==.
2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+.
∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=211
1
x x +,131x x = , 同理241x x =,
∴ 21211111
(
)(1,)PQ x x x x =-+=12121212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m
-+-= 由(1,2)AB =可知, 122()
()x x PQ AB R m
λλ-==
∈其中.
11. 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于
点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2
OP OQ OR =?(O 为坐标原点);