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Prof. Xianfeng Gu (https://www.doczj.com/doc/0b333743.html,/~gu/).
计算共形几何
张威应用数学11006059
1引言
共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展的研究领域.
近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造.
共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实:
?共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因此共形几何算法非常普遍.
?共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息.
?共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个6维空间,因此只要固定3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在曲面匹配和比较中非常有价值.
?共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用.
?所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距类形成一个难以分析处理的无穷维流形.
计算共形几何
?计算共形几何算法是以椭圆偏微分方程为基础的,而椭圆偏微分方程又是容易求解而且稳定的,因此计算共形几何方法对于实际工程应用非常有用.
?共形几何中,所有单连通曲面都能共形变换成某种标准空间:球面、平面、双曲空间.
也就是说,任何曲面都具有三种标准几何(球几何、欧式几何、双曲几何)中的一种.
这样大部分三维数字几何处理任务都能转化成二维标准空间中的任务.
历史上,计算共形几何方法已经广泛应用于许多工程领域,然而绝大部分应用都基于平面区域的共形映射.最近,随着数学理论的发展和计算能力的提升,计算共形几何方法已经从平面区域推广到具有任意拓扑的曲面.
1.1共形变换和共形结构
图1:共形映射保持角度
(a)Circle packing(b)Checkboard
图2:共形映射
根据Fleix Klein的Erlangen纲领,几何就是研究在特定的变换群下保持不变的空间性质.共形几何就是研究保角变换群下的不变量.它介乎于拓扑和黎曼几何之间.
计算共形几何
共形映射就是保角映射,如图1所示.在无穷小邻域,共形映射就是放缩变换.它保持局部形状,比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周.如图2所示,这个bunny曲面通过一个共形映射映到平面.如果平面有一个circle packing,则通过拉回得到bunny曲面上的一个circle packing.如果给平面铺上棋盘格,则同样得到bunny曲面的棋盘格修饰,其中直角和正方形都是保持的.
曲面上的两个黎曼度量是共形的,如果它们定义的角度是相同的.共形结构就是指曲面上度量的共形等价类,而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面.因此在黎曼曲面上,我们可以度量角度,但不能度量长度.每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲面.
如果两个黎曼曲面之间存在共形映射,则称它们是共形等价的.显然,共形等价是黎曼曲面间的一个自然的等价关系.共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面进行分类,这就是所谓的模空间问题.给定一张光滑曲面,考察它上面的所有共形结构在共形等价下的模,这个集合被称为曲面的模空间.对于具有正亏格的封闭曲面,模空间是正维数的有限维空间.
1.2基本任务
下面的问题是计算共形几何最基本的一些任务.这些问题是相互依赖的:
1.共形结构
给定一张带有黎曼度量的曲面,计算它的内蕴共形结构的不同表示.一种方法是计算它的Abelian微分群,另一种方法是计算标准的黎曼度量.
2.共形模
完全共形不变量称为黎曼曲面的共形模.正如前面所讲的,理论上存在一组有限的数完全决定了黎曼曲面,这些称为黎曼曲面的共形模.一个比较难的问题是显式计算任意给定曲面的共形模.
3.标准黎曼度量
黎曼曲面的uniformization定理揭示了每一个黎曼度量都共形等价于一个常Gauss 曲率度量.除了球面和环面外,这个度量是唯一的.计算这个度量在计算共形几何中具有基本的重要性.
4.共形映射
计算共形几何
计算两个共形等价的曲面之间的共形映射可以简化为计算它们到标准形状空间(球面、平面、双曲空间中的圆域)之间的共形映射.
5.拟共形映射
大部分微分同胚都不是共形的,它们将无穷小圆周映成无穷小椭圆.如果这些椭圆的长短轴比一致有界,那么就称为拟共形映射.拟共形映射的微分是由所谓的Beltrami微分刻画的,Beltrami微分记录了长轴方向和长短轴比.有一个基本定理是说通过Beltrami微分可以恢复拟共形映射.而至于怎样通过Beltrami微分计算拟共形映射,则是一个具有很多应用价值的重要问题.
6.共形镶嵌
粘合带边黎曼曲面并研究缝曲线形状和粘合样式之间的关系.这与拟共形映射问题紧密相关.
1.3共形几何在工程应用中的优点
计算共形几何已经被证实在许多工程领域中有重要应用.下面是一些主要理由:
1.标准区域
所有带度量的曲面都能共形地映成球面、平面或双曲圆盘中的标准区域.这可以帮助我们将三维几何处理问题转化为二维问题.
2.通过曲率设计度量
每一个共形结构都有一个常Gauss曲率的标准度量,这个度量在很多几何应用中非常有价值.例如在双曲度量下,每一个非平凡同伦类都有一个闭测地线代表元.
此外,我们可以根据预先给定的曲率设计黎曼度量,这在几何建模中非常有用.
3.一般几何结构
共形几何方法能够用来构造其他几何结构,比如仿射结构、射影结构等等.这些结构在几何建模应用中是关键的.
4.微分同胚的构造
共形映照和拟共形映照可以被用来构造曲面间的微分同胚.可以应用于曲面注册和比较这些计算机视觉和医学图像中最基本的问题.
计算共形几何
5.等温坐标
共形结构可以被当作曲面上的等温坐标图册.在这种坐标下,度量的表达式最简单,因此所有的微分算子,比如Laplace-Beltrami算子,具有很简洁的表达式.这可以用来简化偏微分方程.等温坐标保持局部形状,对于可视化和纹理映射是非常完美的.
2已有工作
图3:基本群的多边形表示
图4:四种类型的图.(a)A cut graph但不是system of loops.(b)A system of loops.(c)基本群的基但不是system of loops.(d)同调基,但既不是同伦基也不是cut graph.
计算共形几何已经有比较长的历史了,起初大部分共形几何方法都是针对平面区域或拓扑圆盘的.直到近些年来才推广到具有复杂拓扑的曲面上,这与当前研究热点计算拓扑的发展是紧密相关的.有相当一部分计算共形算法是依赖于计算拓扑算法的.
计算共形几何
图5:从左到右:输入模型,handle(绿)和tunnel(红)环,handle特征
2.1计算拓扑
计算拓扑的研究对象主要是单纯复形,比如三角网格曲面就是一种二维单纯复形.计算拓扑的一些基本问题就是计算曲面单纯复形的cut graph,同调群和基本群.知道了cut graph,就能将曲面剪开成拓扑圆盘,这对于参数化和纹理映照是非常有用的.知道了基本群,就能完全确定封闭曲面的拓扑分类.通常基本群是用多边形表示的,其中有约化多边形表示、标准多边形表示等一些特殊的多边形表示,见图3.
Vegter和Yap[1]给出了计算标准多边形表示的算法,Lazarus等[2]简化了Vegter和Yap的算法,复杂度为O(gn),其中n,g分别为曲面的大小和亏格.标准多边形表示由2g 个具有公共点的环组成,令人不满意的是它们可能具有公共边.在大部分应用中,标准多边形表示不是必须的,只需要知道cut graph就足够了.cut graph是指三角网格曲面上的一族边集使得曲面去掉这些边后变成拓扑圆盘,如图4所示.Dey和Schipper[3]使用cut graph得到了检验曲线是否可缩或两曲线是否同伦的快速算法.2002年,Erickson等[4]第一次提出了最优cut graph的问题:给每一条边赋一个权,求权最小的cut graph.这篇文章证明了最小cut graph问题是NP难的,并给出了计算近似最小cut graph的贪婪算法,该算法复杂度为O(g2n log n),精度为O(log2g).de Verdière和Lazarus[5]研究了一种称为"systerm of loops"的特殊cut graph,每一个systerm of loops都由具有公共基点的2g个环组成,如图4所示.Erickson等[6]给出了一个简单的贪婪算法来计算基本群和第一同调群的生成元,这同时也解决了de Verdière和Lazarus提出了最短systerm of loops问题.
计算共形几何
曲面上一些与特征紧密相关的环,比如handles和tunnels,在诸如拓扑修复、曲面参数化和特征识别等应用中非常有用,如图5所示.Dey等[7--9]给出了计算handles和tunnels的算法.Yin等[10]提出了使用universal covering space来计算最短非平凡环的算法.de Verdière[11]使用最优pants分解来找同伦类中的最短环.Xin等[12]研究了高亏格曲面上的测地环.关于曲面上的非平凡环,还有许多文章[13--19],目前仍是一个热点问题.
(a)调和1形式(b)共轭的调和1形式
图6:调和1形式
2.2平面区域
传统的数值复分析方法集中在平面区域的共形映射.[20--25]作了详尽总结. Schwarz-Christoffel映射已经被广泛应用于计算共形映射[26,27].[28--30]研究了多连通区域的Schwarz-Christoffel映射.[31]给出了一种基于交比和Delaunay三角化的鲁棒算法.最近,Marshall等[32]引进了基于迭代简单映射的geodesic zippper算法,Bishop[33]提出了基于双曲几何的线性复杂度的共形映射算法.
2.3亏格为0的曲面
[34]利用余切公式构造了离散调和映射,Lévy等[35]引进了Cauchy-Riemann方程的一阶有限元逼近.2002年,Desbrun等[36]最小化Dirichlet能量得到了离散内蕴参数化. Floater[37]引进平均值坐标来计算广义调和映射.[38,39]对拓扑球面的共形映射进行了研究.在CG领域,[40,41]对拓扑圆盘和球面上的共形映射进行了详尽地总结.
计算共形几何
2.4高亏格曲面
高亏格曲面上共形结构的计算有两个主要方法:全纯微分方法和离散曲率流方法.
图7:全纯1形式
2.4.1全纯微分
离散全纯微分方法是由Gu和Yau[42,43]提出的,用来计算高亏格曲面上的共形结构.这个方法基于Hodge理论,使用热扩散方法来计算每一个上同调类中的调和形式,见图6(a)和6(b).然后利用Hodge星算子构造全纯形式,见图7.所有计算都是在离散多边形曲面上进行的.Pinkall等[34]定义了一种不同的离散Hodge星算子来计算极小曲面. Mercat[44]通过离散Cauchy-Riemann方程来构造离散全纯映射,不过这个方法要求曲面是四边形网格.2003年,Hirani在他的博士论文[45]中详细介绍了离散外微分方法.
Gortler等[46,47]使用离散1形式来对亏格为1的曲面进行参数化.Tong等[48]推广到带有锥奇点的1形式方法,并用来进行remeshing和tiling.2009年,Zeng等[49,50]将全纯微分方法应用于计算带多个边界的亏格为0的曲面上的共形映射,以及拟共形映射.
2.4.2Ricci Flow
Ricci流是由Hamilton[51]在Princeton的讨论班上引进的.Ricci流对曲面和三维流形的几何研究产生了革命性的影响,是当前几何研究中极为活跃的方向.特别地,
计算共形几何
它导致了三维Poincaré猜测的证明.Hamilton[52]使用2维Ricci流给出了正亏格曲面uniformization定理的证明.这表明了它在CG领域中有极大的潜在应用价值.
图8:Circle packing
存在很多方法离散光滑曲面,其中与共形映射离散特别相关的是由Thurston[53]引进的circle packing度量.circle packing这个概念首先是由Koebe提出的,Thurston猜测平面Jordan区域的circle packing离散序列收敛于Riemann映射,见图8.这个猜测被Rodin 和Sullivan[54]所证明.
Colin de Verdière[55]建立了circle packing的第一变分原理,然后证明了Thurston的circle packing度量存在性.这为实现计算circle packing度量的快速算法铺平了道路,比如Collins和Stephenson[56]就给出了一个算法.Chow和Luo[57]推广了Colin de Verdière 的工作,并引进了曲面上的离散Ricci流和离散Ricci能量.它们证明了离散Ricci流的一般存在性和收敛性定理,同时证明了Ricci能量的凸的.基于此,Jin[58]在2008年给出了离散Ricci流的算法实现.
另外一个相关的离散方法是circle pattern,它同时考虑网格曲面的组合与几何信息,可以看成是circle packing的变种.Circle pattern是由Bowers和Hurdal[59]提出的,已经被证明是Bobenko和Springborn[60]提出的凸能量的极小元.2006年,Kharevych等[61]给出了一个有效的circle pattern算法.
2.4.3Yamabe Flow
Yamabe问题目的是为紧Riemann流形找到具有常标量曲率的共形度量.Yamabe[62]给出了第一个带有漏洞的证明,之后被一些包括Trudinger[63],Aubin[64]和Schoen[65]在内的研究者所更正.关于这个问题的详细总结可以参看Lee和Parker的文章[66].
2004年,Luo[67]研究了曲面上的离散Yamabe流.他引进了多边形度量的离散共形
计算共形几何
变换概念,这在研究离散Yamabe流和相应的变分原理方面具有关键性的作用.基于离散共形类和几何方面的考虑,Luo定义离散Yamabe能量为微分1形式的积分,然后证明了这个能量是一个局部凸函数.他还从这得出Yamabe流下的曲率发展是一个热方程.
最近,Springborn等[68]的一个非常漂亮的工作表明可以将Yamabe能量和Milnor-Lobachevsky函数等同起来,将曲率发展的热方程和余切Laplace方程等同起来.近期Gu 等[69]使用离散Yamabe能量构造了一个计算离散共形度量的有效算法.Bobenko等[70]讨论了离散双曲Yamabe流,它被Zeng等[71]用来计算双曲结构和标准同伦群生成元.
图9:全局共形的纹理映照
图10:使用特殊的平坦度量设计向量场
2.5应用
2.5.1图形学
共形几何方法广泛应用于CG中.等温坐标对于全局共形参数化来说是很自然的[42].因为共形映照不会扭曲局部形状,所以它对于纹理映照来说是非常理想的.图9显示了一个使用全纯微分进行纹理映照的例子.特殊的平坦度量对于设计曲面上的向量场是非常有价值的,图10显示了使用曲率流方法设计的向量场.
计算共形几何
图11:流形样条框架
2.5.2几何建模
几何建模中的一个最基本的问题就是将传统的欧式区域上的样条系统地推广到流形区域上,这与曲面上的一般几何结构关系紧密,见图11和12.
传统的样条方案是建立在仿射不变量上的,如果流形具有仿射结构,那么传统的样条也能直接推广到流形上.然而由于拓扑障碍,一般的流形不具有仿射结构.但是删去一些奇点后,曲面上允许存在仿射结构.详细的讨论请参考Gu等[72].
仿射结构可以通过共形几何方法显式计算.比如可以通过曲率流和全纯微分方法来计算仿射结构,图13显示的是用曲率流方法构造的仿射结构.与其他的方法比较起来,比如基于平凡联络的方法[73],这些方法的优点是它能给出样条曲面的全局共形参数化,即等温坐标.在这种坐标下,微分算子,比如梯度算子和Laplace-Beltrami算子,具有最简单的形式.
2.5.3医学成像
共形几何在医学成像的很多领域都有应用.比如在脑电图中,不同部分的大脑皮层曲面片的注册是关键性的.大脑表面高度卷曲,而且不同的人的大脑有不同的解剖结构,
计算共形几何
图12:流形样条
图13:仿射结构
因此在大脑皮层曲面片之间找到好的匹配是非常有挑战性的任务.图14演示了一个解决方案[39],先通过用标准方式将大脑表面映到球面,然后找到球面的自同构,这样曲面片的注册就很容易建立了.
2.5.4视觉
曲面匹配在计算机视觉中是一个基本问题.图15演示了曲面匹配的基本框架.图16演示了同一个人的不同表情的人脸匹配的例子,细节可参考[74--76].Teichmüller理论可以应用于曲面分类[77,78].通过使用Ricci曲率流,我们可以计算双曲uniformization度量.然后我们使用测地线进行pants分解并计算Fenchel-Nielsen坐标.图17演示了万有覆盖空间在双曲空间中的一个有限部分的计算,图18演示了计算Teichmüller坐标的流程.
计算共形几何
图14:大脑表面的共形映照
图15:曲面匹配框架
2.5.5计算几何
在计算几何中,同伦检测是一个重要的问题.可以使用Ricci流计算双曲uniformiza-tion度量[71].根据Gauss-Bonnet定理,每一个同伦类中有唯一的闭测地线.给定一个环,我们可以计算这个环的同伦类对应的M?bius变换,这个变换的轴就是双曲度量下的闭测地线.如图19所示,同伦的环的标准代表元是相同的.
计算共形几何
图16:不同表情的人脸匹配
图17:万有覆盖空间在双曲空间中的有限部分
3总结
计算共形几何是一门数学和计算机科学的交叉学科,它对数学理论的掌握要求比较高.很多算法都依赖于拓扑算法,与计算拓扑紧密相关.本文介绍了这个方向的一些基本问题、算法以及应用.目前仍然有很多基本问题没有解决,它们需要更深刻的理解和更强大精确的计算方法.下面列举一些对理论和应用都非常重要的问题.
1.Teichmüller映射
给定两个度量曲面和映射同伦类,计算唯一的angle distortion最小的映射,也就是Teichmüller映射.
计算共形几何
图18:Teichmüller空间中的Fenchel-Nielsen坐标
图19:使用双曲度量进行同伦检测
2.Abel微分
计算不同类型的Abel微分群,特别是全纯的二次微分.
3.组合结构和共形结构之间的关系
给定一个拓扑曲面,每一个三角化都有一个由circle packing决定的自然的共形结构,讨论这两个结构之间的关系.
4.逼近理论
尽管计算共形不变量的算法已经有了,但是逼近的理论结果仍没有建立.对于平面区域的共形映射,不同离散方法的收敛性都已经建立了.但是对于一般曲面而言,收敛性分析仍然是开放的.
5.精度和稳定性
双曲几何计算对于数值误差是非常敏感的.要提高计算精度是非常具有挑战性的.
计算几何中的精确计算方法给出了解决这个问题的方向.在逆距离circle packing
计算共形几何
方法和组合Yamabe流方法中,可接受曲率空间的非凸性造成了算法的不稳定.因此,曲面需要高精度的三角化.在实际应用中,提高三角化精度对这些算法是非常重要的.交角为锐角的circle packing算法更加稳定,全纯微分方法最稳定.
计算共形几何
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第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题（40分，每一题1分） 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋".
五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？
6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。
常见几何体的面积、体积求法与应用 要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式，对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。 由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下个月销售量，若去年平均销售量为y ，设本月权为4，上月权数为1，下月权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y 。这样能准确地确定下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通过推导与实践，对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。 常见几何体的面积、体积统一公式： ) 4(6 )4(621002100S S S h V C C C h A ++= ++= （其中A 为几何体侧面积，C 0为上底面周长，C 1为中间横截面周长，C 2 为下底面周长，V 为几何体体积，S 0为上底面面积，S 1为中间横截面面积，S 2为下底面面积，h 为高，h 0为斜高或母线长。注：中间横截面为上、下底等距离的截面。） 一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式的正确性 1、棱柱： ⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即2 1 C C C ==， 可得： 2020210066 )4(6 C h C h C C C h =?= ++，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。 以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的正确性。 ⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：2 1 S S S ==，即： h S S S S h S S S h V 2222210)4(6 )4(6 =++= ++= 。 2、棱锥 ⑴设底边长为a 2，边数为n ，斜高为h 0，侧面三角形中位线为a 1，则
2020届高考数学（理）热点猜押练一致胜高考必须掌握的 20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值. 2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
数学运算之几何问题专题 面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h （5）圆的面积=πr2＝1/4πd2 （1）等底等高的两个三角形面积相同； （2）等底的两个三角形面积之比等于高之比； （3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3 (3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2 （2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米 【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。 例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。 A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米 【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。 例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
不四 s = —+ 爲Mu = =￡￡sin B 2 2 边形 不四 平边 行形 a. b. c. d —各边长險、爲rsi s -面积右、必一对角线 [H^hY^bh + cH 2 H, 曰-面枳 € _ a￡K abc % 4」戸（尹_&）〔戸 _&）（尹_亡） P-三边和之半 s-三角形囲积 艮-三角形外接圆半径 外 切 角 形 直 角 角 形 尸=匚石一刁 ■S _ 血 P V F P-三边和之半 2 -三角形面积 r -三角形内切圆半径 以=胪亠阱弘b -直角边 c = 3十戸? _斜边 1 , "尹占-面积 c -J/ ■n?十2&曰a'b^ -各边长
隅 角 0 ]073t a s - 面积 d -短轴D - 长轴匸-短 半轴 R -长半轴 扇 形 ISO* -°01745^ 亠二喫 2 360 半径 圆心角= 0.008727r^* 弓-面积
正 六 E 体 正 十 _____ L 面 体 正 多 边 形 (六个正方形 ) 口 -边 数 a - 一边之长 R -外接圆半径 r 内切圆半径 e-巒 财之 1D 心角 顶 用 官-面 积 D -周良 tzFhj u 〔教目） F=6a 2 棱顶点 12 3 丁 = / C 数 目） 稜腆点 30 20 正 立 方 体 截 头 直 锥 （十二个五甬形）爲 柱 卩二 20.6457^ r= 7.663 la 5 F = 6a 2 C L □ -边 长 d-对角线长 = 7^" = 1732^1 。=扌心1 +比） 尸=#餉+宀） + s i 十巧 衍“2 —两端周 围的长 ￡ L-S 2 —两端的 面积 $二gk 十邑+ J 远”叼） C* P -宜截断面周长 F = ^/ + 2s h - 高 V = sh 目-底面积
几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm） 分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可． 解：作AG⊥CB于G， ∵AD、CB分别与圆相切于E、F， ∴EF⊥FG，EF⊥EA， ∴四边形AGFE是矩形， ∴AG=EF 在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°， ∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25. ∴球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在
分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE =，PE=5 55 4×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴ 2 1 ==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=5525 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
几何计算题 1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ， （1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长； （2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确 ∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2 ∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ， 由翻折可得 AO CO ==90AOE ∠=． ∵在Rt △ABC 中, tan 1BC AB ∠=， 在Rt △AOE 中，tan 1EO AO ∠=. ∴ EO BC AO AB = ， ∴2EO =. 同理：2FO = . EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC == ∴sin 5EH EFC EF ∠= == 2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． D C B A D A B C E F
3、如图7，△ABC 中，AB=AC ， 4 cos ∠(1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. 解：（1）过点 A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A B = ∴B C HC BH 2 1==设x CD AC AB === ∵6=BD ∴6+=x BC ， 2 6+=x BH 在Rt △AHB 中，AB BH ABC =∠cos ，又5 4 cos =∠ABC ∴ 5 426 =+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82 1===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH 在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32 6tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是3 4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°. （2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2 BOC 6048 3603 S ππ?扇形＝ ＝，EOC 1 22 S ??＝∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3
几何计算题中的求线段长度 几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述． 仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类： 一、 用算术方法直接求解 这一类型题目又有不同层次要求． （1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显． 例如： 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长． 分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的 条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移 至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口 ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求 出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以 中位线长为6.5cm ． （2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了． 例如： 如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠ CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若 AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的 长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C O A B O C D E F 图2 图1
考点17 立体几何中的计算问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】 22π 3 【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12 ×22＝22π3 . 2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】 3π 3 【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高． 设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则?????πr 2 ＝π，πrl ＝2π，解得? ????r ＝1， l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积 V ＝13Sh ＝3π 3 . 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3 . 【答案】 3 3 π 【解析】 圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12 ×3＝33π. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3 . 【答案】 54 【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2 －32 ＝6，所以它的体积V ＝32 ×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．
【答案】2 3 【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝1 3 ×(2×3)×3＝2 3. 6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 3 【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2 =,=S rl S r ππ侧底得，2 1=31l ππ???，即=3l ，h == 故该圆锥的体积为2 113π???= .
立体几何中的计算问题 1.求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积. 2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积． 3.(1) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为___ (2)平行四边形ABCD 满足AD=2，AB=4，60BAD ? ∠=,将平行四边形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转一周，由此形 成的几何体是什么？并求出其表面积 4.正三棱锥的棱长为1，侧面等腰三角形的顶角为30度，一只小虫沿从B 出发 ，沿侧面爬行一周后回到B ， 求路径的最短距离. 5.若一个正方体的棱长为a ，则 （1）该正方体外接球的体积为 ；（2）该正方体的内切球的表面积为 . 6. 若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与该球的体积之比是 .
7.已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 8．(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________． 9.已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿 AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 . 10.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,2AB AD cm AA cm ===，则四棱锥11A BB D D -的体积为 3cm 11.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，D 为线段AA 1上的点，则三棱锥B 1－BDC 1的体积为________． 12.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC . (1)求证：PC ⊥AB ； (2)求点C 到平面APB 的距离． 13.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=?，则球O 的表面积为______.
第2章 2 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13 ，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2 解析： 设另一条边为x ， 则x 2＝22＋32－2×2×3×13 ， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13 ， 则sin θ＝223 . ∴2R ＝3sin θ＝3223 ＝924 . 答案： B 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32 ，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32 ， ∴ac ＝6. ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3. 答案： B 3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边， 则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0， ∴a ＞3；若a 为最大边， 则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0， ∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5. 答案： C 4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为 ( ) A.36 B.336 C ．±36 D ．± 336 解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在 过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′. 在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ， 于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C ， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D ·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝ 1－????362＝336. ∴cos ∠B ＝ 336 ，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 解析： 根据正弦定理的变形 a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ， 故(3b －c )cos A ＝a cos C ， 等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝ 33 . 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．
正方形 面积：边长×边长 周长：边长×4 长方形 面积：长×宽 周长：（长+宽）*2 平行四边形 面积=底边*高/2 周长=（底+高）×2 三角形 面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,为三角形三边 周长c=a+b+c 梯形 面积=｛（上底+下底）×高｝÷2周长=四边之和 圆形 面积=πR2 周长=2πR （R为半径） 椭圆形 面积=A = PI * 半长轴长 * 半短轴长
周长= 4A * SQRT(1-E^SIN^T)的(0 - π/2)积分, 其中A为椭圆长轴,E为离心率精确计算要用到积分或无穷级数的求和 半圆形 周长=2R(丌+1) 面积=(丌R的平方)/2 正多边形 面积： 正多边形内角计算公式与半径无关 要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2) 半径为R 圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方 外切三角形面积公式:3倍根号3 R方 外切正方形:4R方 内接正方形:2R方 五边形以上的就分割成等边三角形再算 内角和公式——（n-2）*180` 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为 |x1 x2 x3| S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]* |1 1 1 | (当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的) 对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有：S(A1,A2,A3，、、、,An) = abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))
专题复习 几何计算题 教学目标：会做一些几何计算题。 教学重难点：用几何、代数方法解决几何计算题 学习过程： 一、课前复习： 1、梳理知识： 2、常用的知识点： 直角三角形——找出所求的线段所在的直角三角形，借助勾股定理、三角函数求解，这类题的关键是通过作辅助线构造直角三角形； 相似三角形——找出所求线段所在的三角形与某个三角形相似，借助比例线段求解。 3、几何计算题运用的范围 问题单纯的几何计算题；与代数结合，与直角坐标系结合，与有关解析式结合。 4、考点训练： （1）（线与角）（2008广州）如图1，∠1=70°，若m ∥n ， 则∠2= （2）（三角形）（2010广州）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC ＝5，则DE 的长是（ ） A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 （3）（相似形）（2009重庆）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D 图1
（4）（解直角三角形）（2010广州）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示， 新电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米） （5）（圆的有关运算）（2009广州）如图10，在⊙O 中， ∠ACB=∠BDC=60°，AC=32 ， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 二、合作探究： .例1、（2009广州）如图6，在 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） （A ）8 （B ）9.5 （C ）10 （D ）11.5 例2、如图，已知直线L 与⊙○相切于点A ，直径AB=6，点P 在L 上移动，连接OP 交⊙○于点C ，连接BC 并延长BC 交直线L 于点D ； （1）若AP=4， 求线段PC 的长； （2）若ΔPAO 与ΔBAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积（答案要求保留根号） 分析：本题是典型的几何计算题，利用了勾股定理、相似三角形、三角形函数等知识。 解： 三、课堂小结：几何计算题是借助于几何的相关定义、定理、公理等来求解有关集合元素的问题. 是处理几何图形的核心问题之一。复习时应注重抓好基础知识的训练，多加分析、勤 45°39°D C E B
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积； ②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ． 动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似． 请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似． 思路点拨 1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ． 2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ． 满分解答 （1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 1,421 3.c b =??-++=-? 解得0,1. b c =??=? 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1． （2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ． 解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =- 所以点A 1．
三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD， α α (1)证明：sin＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 3 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为 ________．
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．例题2.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出 2发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时． (tan θ＝12)5(1)求出发后3小时两船相距多少海里？ (2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？