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高考数学二轮复习函数概念与性质

2008高考数学二轮复习函数概念与性质

一、考点、要点、疑点：

考点：1、理解函数的有关概念；2、理解函数的有关性质。

要点：

（一）函数的有关概念：

1、传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x 、y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确

定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，

那么y 就是x 的函数，记作y ＝f (x )

近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.

2、函数的三要素：

函数是由定义域．．．、值域．．以及从定义域到值域的对应法则．．．．

三部分组成的特殊映射。 ① 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域的主要依据是：

(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零；

(3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1。

② 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。

3、函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。

（二）函数的有关性质：

1、函数的单调性：

① 一般地，设函数f (x )的定义域为 I ，

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x , 2x ，

当1x ＜2x 时，都有f (1x ) ＜ f (2x )，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

当1x ＜2x 时，都有f (1x ) ＞ f (2x )，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数2

x y =，当x ∈),0[+∞时是增函数，当x ∈]0,(-∞时是减函数。

② 单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

③ 用定义证明函数单调性的步骤

(1) 取值：对任意1x , 2x ∈M ，且1x ＜2x ； (2) 作差：f (1x ) － f (2x )；

(3) 判定差的正负； (4) 根据判定的结果作出相应的结论。

④ 导数方法判断函数的单调性

2、函数的奇偶性：

① 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性

② 一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数

③ 函数奇偶性判断方法步骤：

(1) 根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶

函数；若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0

(2) 借助函数图像也能帮助判断函数的奇偶性。

3、周期性：

① 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，

f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T 叫这个函数的周期

② 所有周期中的最小正数叫最小正周期

③ 周期函数的图像特征

疑点：

1、在判断几个函数是否为同一函数时，一看函数定义域，二看函数对应法则，当且仅当函数定义域与对应法则都相同时它们才是同一函数；

2、已知f(x)的定义域为A ，求函数f [g (x )]的定义域，实际上是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即u ∈A ，即g(x)∈A ，求自变量x 的取值范围。

3、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负)

如何运用导数研究函数单调性？

4、你知道函数()0,0>>+=b a x b a x y 的单调区间吗？（该函数在(,-∞)+∞

上单调递增；在[，上单调递减，求导易证）这可是一个应用广泛的函数！请你注意复习它的特例：x

x y 1+= 5、切记定义在R 上的奇函数y ＝f (x )必定过原点，即0)0(=f 。

6、抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。同时，要领会借助函数单调性利用不等关系证明等式的一个重要方法：

f (a )≥b 且f (a )≤b ? f (a )＝b 。

7、如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，

那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数；

8、如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()a x f a x f -=+，

那么函数()x f y =是周期函数，T ＝2a

二、课前热身：

1、定义域为｛－2，－1，0，1，2｝的函数f (x )满足f (±2)＝1，f (±1)＝2，f (0)＝0 给出下列说法：① f (x ) 无最值；② f (x ) 是偶函数；③ f (x )是增函数；

则正确的说法有；

2、定义域为R 的函数y = f(x)的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f(x+a)的值域为：

3、记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ，则M ∩N ＝

4、函数)2()(x x x f -=的单调增区间为：；

5、设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，则)(x f ＝

6、设函数f (x ) (x ∈R)是以3为周期的奇函数，且f (1)＝1，则f (2)＝

三、典型例题解析：

例1、设函数)(x f ＝,22

ax x x ++其中a 为实数. 若)(x f 的定义域为R ，则a 的取值范围是。

例2、设()???<≥=1

,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是

例3、在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f 在区间[]1,2--上是函数，区间[]4,3上是函数（填“增”或“减”）

例4、(07上海)已知函数()),0(2

R a x x

a x x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

例5、（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．

（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．

四、课堂练习：

1、若函数()1222-=

--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围。 2、设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。

3、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=

，若()15,f =- 则()()5f

f =__________。

参考解答：课前热身： 1、② 2、],[b a 3、),3[+∞ 4、]1,(-∞ 5、x - 6、－1 例题解析： 1、（0，4） 2、),0(+∞ 3、增，减

4、（1）当0=a 时，)(x f 是偶函数；当0≠a 时，)(x f 不是奇函数，也不是偶函数

（2）]16,(-∞

5、（1）22)(2x r r x S -+=，定义域为),0(r （2）

2233r 课堂练习： 1、 ]0,1[-； 2、－1 3、－

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

2015高考数学专题复习：函数零点

2015高考数学专题复习：函数零点函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是（） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是（） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______

高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是（-2，2）．例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中（1）当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2）求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤