平面直角坐标系中的面积法
1. 已知如图，矩形OABC的长OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－4
3
x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
2．已知：二次函数y=ax 2
-x+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴
交于点C ，对称轴是直线x=
2
1
，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O. （1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC 的外接圆圆心D 的坐标及⊙D 的半径； （3）设⊙D 的面积为S,在抛物线上是否存在点M ，使得S △ACM =
12
5S
，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．如图，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，－3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），已知点H （0，－1）．问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC ＝S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （－2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF ＝∠BDF ，求线段PE 的长．
图（2）
图（1）
4. 已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12)两点，且对称轴为直线x =4. 设顶点为
点P ，与x 轴的另一交点为点B .
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出
点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度
的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN ∥x 轴，交PB 于点N.将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN. 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒. 求S 关于t 的函数关系式.
O P
C B
A
x
y
图1
平面直角坐标系（提高） 【学习目标】 1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】 要点一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点诠释： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O 是原点(如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标 在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点诠释： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 要点三、坐标平面 1.象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限，如下图． 要点诠释： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2.坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 要点四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积 ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一直接利用面积公式求图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是() A．2 B．4 C．8 D．6 第1题图第2题图 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________． ◆类型二利用分割法求图形的面积 3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积． ◆类型三利用补形法求图形的面积 4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积． ◆类型四探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性
5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)． (1)求S 四边形ABCO ； (2)连接AC ，求S △ABC ； (3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0. (1)求a 、b 、c 的值； (2)如果在第二象限内有一点P ? ???m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析 1．B 2.7.5 3．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S 四边形ABCD ＝S △CDE ＋S 梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15. 4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2. 方法一：S △ABC ＝S 长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12 BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法二：S △ABC ＝S 梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12 ×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292 . 方法三：S △ABC ＝S 梯形CAEF －S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积． 5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO ＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12 ×1×4＝11； (2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12 ×2×4＝7； (3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12 ×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)． 6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4； (2)∵P ? ???m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12 ×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；
一、横断面面积计算 路基的填挖断面面积，是指断面图中原地面线与路基设计线所包围的面积，高于地面线者为填，低于地面线者为挖，两者应分别计算。通常采用积距法和坐标法。 1.积距法：如图4-4将断面按单位横宽划分为若干个梯形和三角形，每个小条块的面积近似按每个小条块中心高度与单位宽度的乘积：Ai=b h i 则横断面面积： A =b h 1+b h 2 +b h 3 +… +b h n =b∑ h i 当 b = 1m 时，则 A 在数值上就等于各小条块平均高度之和∑ h i 。 2.坐标法：如图4-5已知断面图上各转折点坐标（xi,yi）, 则断面面积为： A = [∑（x i y i+1 -x i+1 y i ) ] 1/2 坐标法的计算精度较高，适宜用计算机计算。
图4-4 横断面面积计算(积距法) h 4 h 1 h 2 h 3 h n A 图4-5 横断面面积计算(坐标法) 5,y 5) 二、 土石方数量计算 路基土石方计算工作量较大，加之路基填挖变化的不规则性，要精确计算土石方体积是十分困难的。在工程上通常采用近似计算。即假定相邻断面间为一棱 柱体，则其体积为： V=（A 1+A 2） 2 L 式中：V — 体积，即土石方数量（m 3）； A 1、A 2 — 分别为相邻两断面的面积（m 2）；
L —相邻断面之间的距离（m ）。 此种方法称为平均断面法，如图4-5。用平均断面法计算土石方体积简便、实用，是公路上常采用的方法。但其精度较差，只有当A1、A2相差不大时才较准确。当A1、A2相差较大时，则按棱台体公式计算更为接近，其公式如下： V=31(A 1+A 2) L (1+m m 1) 式中：m = A 1 / A 2 ，其中A 1 ＜A 2 。 图4-5 平均断面法 第二种的方法精度较高，应尽量采用，特别适用计算机计算。 用上述方法计算的土石方体积中，是包含了路面体积的。若所设计的纵断面 有填有挖基本平衡，则填方断面中多计算的路面面积与挖方断面中少计算的路面面积相互抵消，其总体积与实施体积相差不大。但若路基是以填方为主或以挖方为主，则最好是在计算断面面积时将路面部分计入。也就是填方要扣除、挖方要增加路面所占的那一部分面积。特别是路面厚度较大时更不能忽略。 计算路基土石方数量时，应扣除大、中桥及隧道所占路线长度的体积；桥头引道的土石方，可视需要全部或部分列入桥梁工程项目中，但应注意不要遗漏或重复；小桥涵所占的体积一般可不扣除。 路基工程中的挖方按天然密实方体积计算，填方按压实后的体积计算，各级公路各类土石方与天然密实方换算系数如表4—6所示，土石方调配时注意换算。 表 4—6 路基土石方换算系数
《平面直角坐标系》章节复习 知识点1：点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、在平面直角坐标系中，点P(－2，2x＋1)所在的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、若点P（a，a-2）在第四象限，则a的取值范围是（）． A．-2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a ＜0 4、点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（） A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 5、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12) -- ，在第四象限，则实数x的取值范 A x x 围是． 7、对任意实数x，点2 ，一定不在 - (2) P x x x ．．（）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四 象限. 9、已知点A (1，b)在第一象限，则点B （1 – b ，1）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D ．第四象限 10、点M (x ，y )在第二象限，且| x | – 2 = 0，y 2 – 4 = 0，则点M 的坐标是( ) A （– 2 ，2) B ．( 2 ，– 2 ) C ．(—2， 2 ) D 、（2，– 2 ） 11、若0＜a ＜1，则点M (a – 1，a )在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D ．第四象限 12、已知点P (3k – 2，2k – 3 )在第四象限．那么k 的取值范围是（ ） A 、23 ＜k ＜ 32 B 、k ＜23 C 、k ＞32 D 、都不对 13. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （-2，3） 14. 点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ）
第六章 平面直角坐标系 一 平面直角坐标系. 1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 要求：画平面直角坐标系时，χ轴、y 轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。 1 2 3 -1 -2 -3 y x 1 2 3 -1 -2 -3 - 4 O 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系.
二．各个象限内点的特征: 第一象限：（＋，＋）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0； 第二象限：（－，＋）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＞0； 第三象限：（－，－）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＜0； 第四象限：（＋，－）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＜0； 练习 1.已知点A(a,0)在x 轴正半轴上,点B(0,b)在y 轴负半轴上,那么点C(-a, b)在第_____象限. 2..如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第_____象限 3.若点A 的坐标为(a2+1, -2–b2),则点A 在第____ 象限. 第四象限 1 2 3 -1 -2 -3 y x 1 2 3 -1 -2 -3 - 4 O 若点P （x ，y ）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0 若点P （x ，y ）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0 第一象限 第三象限 第二象限
平面直角坐标系中的面积计算 一、 例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)，B(1，0)，C(6，0). 求△ABC的面积. 例2：平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积. x 变式1.若A、B两点的坐标和△ABC的面积均保持不变，且C点坐标为（2，y）,求y. 变式2.若A、B两点的坐标保持不变，△ABC的面积为9，且C点坐标为(x，1),求x的值. 二、 例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积. x
三、 变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3–4 1 23–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B x y –1–2–3–4 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B x y –1–2–3–4 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B 变式2.保持A 、C 不动，再次改变点B 的位置：B (3，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3 1 23–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2，1) B （3，-3） x y –1–2–3 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2，1) B （3，-3） 例4：在平面直角坐标系中，已知A(-5, 4)，B(-2, -2)，C(0, 2).若点P 在坐标y 轴上， 且△PBC 和△ABC 的面积相等.求点P 的坐标.
《平面直角坐标系》章节复习 考点1:考点的坐标与象限的关系 知识解析:各个象限的点的坐标符号特征如下: （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.) １、在平面直角坐标中，点Ｍ(-2,3)在（） A．第一象限Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限 D.第四象限２、在平面直角坐标系中,点P(-2,2x＋1)所在的象限是（) A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限Ｄ．第四象限3、若点Ｐ（a，a-2)在第四象限，则a的取值范围是（）．A．-２<ａ<0 B.0
初中数学平面直角坐标 系教案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
第七章平面直角坐标系 ．1有序数对 教学目标：1、理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 2、培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣. 教学重点:有序数对及平面内确定点的方法. 教学难点:利用有序数对表示平面内的点. 教学过程 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬°，东经°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每个座位在影院中的位置， 观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。
复习：求下列条件下线段AB 的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x 1，0)，B(x 2，0). 5）A(0，y 1)，B(0 ，y 2 ). 一、有一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上 的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则 D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542 1=??. 三、三边均不与坐标轴平行
第七章平面直角坐标系单元检测试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1、下列各点中，在第二象限的点是（） A、（2，3） B、（2，-3） C、（-2，3） D、（-2，-3） 2、已知点P（x，y）在第四象限，且│x│=3，│y│=5，则点P的坐标是（） A．（-3，5）B．（5，-3）C．（3，-5）D．（-5，3） 3、已知坐标平面内点M（a，b）在第三象限，那么点N（b,-a）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4、若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（） A、（3，0） B、（0，3） C、（3，0）或（-3，0） D、（0，3）或（0，-3） 5、点P位于x轴下方y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P 的坐标是（） A、（4，2） B、（-2，-4） C、（-4，-2） D、（2，4） 6、点P（m+3，m+1）在直角坐标系得x轴上，则点P坐标为（） A、（0，-2） B、（2，0） C、（4，0） D、（0，-4） 7、三角形A’B’C’是由三角形ABC平移得到的，点A（－1，－4）的对应点为A’（1，－1），则点B（1，1）的对应点B’、点C（－1，4）的对应点C’的坐标分别为（） A、（2，2）（3，4） B、（3，4）（1，7） C、（－2，2）（1，7） D、（3，4）（2，－2） 8、已知三角形的三个顶点坐标分别是（-1，4）、（1，1）、（-4，-1），现将这三个点先向右平 移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A、（-2，2），（3，4），（1，7）B、（-2，2），（4，3），（1，7） C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，-2），（3，3），（1，7） 9、若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（） A、（3，0） B、（3，0）或（–3，0） C、（0，3） D、（0，3）或（0，–3） 10、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－1，－1），（－1，2），（3，－1）， 则第四个顶点的坐标为（） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3）
第六章 平面直角坐标系 一、知识结构图 有序数对 平面直角坐标系 平面直角坐标系 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置 用坐标表示平移 二、知识定义 有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记做（a,b ） 1、原点O 的坐标是 ，x 轴上的点的坐标的特点是 ，y 轴上的点的坐标的特点是 ；点M （a ，0）在 轴上。 2.若点B(a ，b)在第三象限，则点C(-a,-b) 在第 象限。 3.如果点M （x+3，2x －4）在第四象限内，那么x 的取值范围是 。 4.若点P(m,n)在第二象限，则下列关系正确的是（ ） A 0>mn B 0 特殊点的坐标： 例：1.已知AB∥x轴，A（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为。 2、已知AB∥y轴，A（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为。 3、A（– 3，– 2）、B（2，– 2）、C（– 2，1）、D（3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB与CD的关系是。 4.在直角坐标系内顺次连结下列各点，不能得到正方形的是（） A、(-2，2) （2，2） (2，-2) (-2，-2) (-2，2)； B、(0，0) (2，0) (2，2) (0，2) (0，0)； C、(0，0) (0，2) (2，-2) (-2，0) (0，0)； D、(-1，-1) (-1，1) (1，1) (1，-1) (-1，-1)。 角平分线 设点P(a,b)，若在第一，三象限的角平分线，则（填a,b的关系）若在第二，四象限的角平分线，则（填a,b的关系）例1.已知点A（－3+a，2a+9）在第二象限的角平分线上，则a的值是。点到坐标轴的距离 点P（a,b）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。例：1.点Ａ（２，３）到x轴的距离为；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为； 2.点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是（，）。 3.在Y轴上且到点A（0，－3）的线段长度是4的点B的坐标为。 4.若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（） A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0） C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3） 三．章节巩固练习 考点1：考点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在面直角坐标中，点M (－2，3)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、若点P （a ，a -2）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）． A ．-2＜a ＜0 B ．0＜a ＜2 C ．a ＞2 D ．a ＜0 4、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（ ） A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 5、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是 ． 7、对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．． （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 x 轴上的点纵坐标为0, y 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 1、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 2、已知点P (m ，2m －1)在y 轴上，则P 点的坐标是 。 考点3：考对称点的坐标 知识解析： 1、关于x 轴对称： A （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为（a ，-b ）。 2、关于y 轴对称： A （a ，b ）关于y 轴对称的点的坐标为（-a ， b ）。 面积比法计算设计断面洪水中面积指数的确定 刘连梅,信增标，王保东,田燕琴(水利部河北水利水电勘测设计研究院,天津3０025０)【摘要】：南水北调中线工程河北段460多ｋm，共与大小河沟20０多条相交,有不少河沟交叉断面设计洪水需要采用面积比法计算。为此，对海河流域部分河流实测降雨洪水资料作了分析，得出了不同时段洪量的面积指数范围,为南水北调中线工程设计提供了依据。 【关键词】: 南水北调中线工程;设计洪水;面积比法;面积指数 1 问题的提出 在设计洪水计算时,当设计断面无实测资料，但其上游或下游建有水文站实测资料,且与设计断面控制流域面积相差不超过3%,区间无人为或天然的 分洪、滞洪设施时,可将水文站实测资料或设计洪水成果直接移用于设计断面;若区间面积超过3%，但小于20％,且全流域暴雨分布较均匀时,常用面积 比法将水文站设计成果进行推算。该方法的关键是面积指数的选取。在海滦河流域以往一般根据经验取值，在只对计算洪峰流量时,面积指数一般选用０．5 ~ ０.7；计算时段洪量时面积指数没有选定范围。南水北调中线工程河北省段460多ｋm，共与大小河沟20０多条相交,有不少河沟交叉断面设计洪水需要采用面积比法计算,为此对海河流域部分河流实测降雨洪水资料作了分析，得出了不同时段洪量的面积指数范围,为中线工程设计提供了依据。 2 河流、水文站及洪水资料的选取２．1 河流及水文站的选取原则 一般讲，一条河的上下游两站流域面积小于20%时，可作为分析对象。但海滦河流域实际上水文站网稀少,因此选取时将区间面积放宽到30%，个别站放宽到３5%。基本满足此条件的河流及水文站见表１所列。 2.２洪水资料的选取 洪水资料的选取应符合以下３条原则：（1）尽量选取较大的洪水资料；(2）选取流域内降雨分布比较均匀的场次洪水；(3）对上游修建大中型水库的河流，应选取建库前的资料。 由于滦河和桑干河流域面积过大,包含了迎风山区、背风山区和高原区,难以出现全流域均匀降雨,未选用洪水资料。其他４条河8个代表站流域面积 《平面直角坐标系》章节复习 考点1：考点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、在平面直角坐标系中，点P(－2，2x＋1)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 ： 3、若点P（a，a-2）在第四象限，则a的取值范围是（）．A．-2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0 4、点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上 5、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12) A x x -- ，在第四象限，则实数x的取值 范围是． 7、对任意实数x，点2 (2) P x x x - ，一定不在 ．．（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 ~ 8、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 x轴上的点纵坐标为0, y轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0）1、点P（m+3，m+1）在x轴上，则P点坐标为（） A．（0，-2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4）2、已知点P(m，2m－1)在y轴上，则P点的坐标是。考点3：考对称点的坐标 知识解析： 1、关于x轴对称：A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）。 | 2、关于y轴对称：A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b）。 3、关于原点对称：A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）。 1、点M（2-，1）关于x轴对称的点的坐标是（）． A．(2-，1-）B．(2，1）C．（2，1-）D．(1，2-） 2、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（）．A．（－3，2）B．（3，－2）C．（－2，3）D．（2， 课题：平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1.平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2.坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1.平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2.坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞 船在空中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出 现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 第七章平面直角坐标系单元备课 七年级数学备课组撰稿人：蔡晓东审核人：郑强周锦华 一、教材分析 本单元的教学内容是平面直角坐标系的有关概念和点与坐标的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容。要求学生理解并掌握点和坐标的对应关系，提高数学思维能力，通过合作交流和小组探讨，发现生活中的数学问题，了解数学的应用价值。 由于学生的年龄特点和认知结构，教师在教学过程中，引导学生回顾数轴知识，然后结合现实生活中的具体位置，让学生直观的感受有序实数对的应用，同时要采用多媒体等教学用具，生动形象地展现知识，让学生在轻松愉快的气氛中，掌握知识，提高技能。 （1）知识点上 ①本章主要研究平面直角坐标系及有关概念，坐标方法的简单应用。本章是今后学习函数图象、函数与方程和不等式的基础，也是用代数方法研究几何问题的有力工具。 ②本章内容与生活密切相关，利用平面直角坐标系可以解决生活中确定位置、平移等实际问题，通过学习可以让学生体会到平面直角坐标系在生活中的作用，培养学生“用数学”的意识。 ⑵思想方法上平面直角坐标系的学习充分体现了数形结合的思想，而坐标方法的简单应用更是从平移及实际应用的角度让学生感受数形结合的思想。 ⑶能力上 掌握点与有序整数对的关系，能建立适当的平面直角坐标系确定点的位置，为今后函数的学习打好基础。 能将实际问题转化为几何问题，能实现几何问题与代数问题的转换建立起数形联系（应用）。 二、教学目标 ■知识与能力 1.理解有序数对，掌握平面直角系的概念 2.掌握平面内的点与有序数对的一一对应关系，能熟练地在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标。 3.了解象限的概念，能根据象限内和坐标轴的特征，熟练地由点的坐标判断点在的象限。 4.在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移和说出坐标变换的平移。 ■过程方法 1.由生活事例引入，师生合作。先从实际中需要确定物体的位置出发，引出有序数对的概念，指出有序数对可以确定物体的位置。 初中精品数学精选精讲 (1)用坐标表示地理位置 (2)用坐标表示平移 13.平面直角坐标系其他公式 (1)坐标平面内的点与有序实数一一对应。 (2) 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 (3)二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 (4)一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 (5)y轴上的点，横坐标为0. (6)x轴上的点，纵坐标为0. (7)坐标轴上的点不属于任何象限。 二、经典例题讲解 【例1】我们常用_________表示平面内某点的位置．在地理上，常用___________表示地理位置． 【例2】下列关于有序数对的说法正确的是（） A．（3，2）与（2，3）表示的位置相同 B．（a,b）与(b, a)表示的位置不同 C．（3，+2）与（+2，3）是表示不同位置的两个有序数对 D．（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置． 【例3】P(x,y)满足xy=0,则点P在_____________-.例5.在平面直角坐标系中,顺次连接A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2), D(3,4)四点,所组成的图形是____. 【例4】若线段AB平行于x轴,AB长为5,若A的坐标为(4,5),则B的坐标为_________ 【例5】若点P（m,1）在第二象限，则点Q（-m,0）在（） A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上 【例6】一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5?点，如果A1求坐标为(3，0)，求点 A5?的坐标。 x 平面直角坐标系知识点归纳 1.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2.坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标； 3.x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0； 坐标轴上的点不属于任何象限； 4.四个象限的点的坐标具有如下特征： 5.在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 （1）点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3）点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a 6.平行直线上的点的坐标特征： a)在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ； b)在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ； 7.对称点的坐标特征： A)点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； B)点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； C)点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数； 8.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： A)若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； B)若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m - =，即横、纵坐标互为相反数； 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 X X P X -X 平面直角坐标系中面积及坐标的求法 1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。 3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。 4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积； 6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积12， 求点C的坐标。 7、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。 8、已知，点A （-2，0）B （4，0）C （2，4） （1）求△ABC 的面积； （2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S = ，试求点P 的坐标。 9、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求点P 的坐标 10、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得1 2 APC ABC S S = 。若存在，请求出P 的坐标，若 不存在，说明理由。 平面直角坐标系 一、本节学习指导 本节把重点放在几个象限内点的表示方法上，把四个象限里点的的符号牢牢的记在脑子里。然后做一些相关练习题就可以掌握，这一节属于比较简单的章节。 二、知识要点 1、坐标 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 注意：1、数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。 2、数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个实数与之对应。 平面直角坐标系：由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。横向的是x轴，纵向的是y轴。 说明：平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示，这对有序实数对就叫这点的坐标，如上图点A的坐标用（2,2）这有序实数来表示，（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能更改），坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。【重点】 2、象限及坐标平面内点的特点 四个象限：如图，平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。【重点】 注：1、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。如上图，点B（4,0）和点C（0,-2）不在任何象限。 坐标平面内点的位置特点： ①、坐标原点的坐标为（0,0）； ②、第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④、第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0,即（x,0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）【重点】 ⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0,即（0,y），所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）【重点】 例：若P（x,y），已知xy>0,则P点在第______象限；已知xy<0,则P点在第_____象限。 分析：xy>0说明x,y同号，所以是在第一或第三象限，xy<0说明x,y异号，所以是在第二或第四象限 点到坐标轴的距离：坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。【重点】 例：点A（-3,7）表示到x轴的距离为7,到纵轴的距离为3;点B（-9,0）表示到横(完整版)八年级数学《平面直角坐标系》经典例题
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