第七章 数学物理定解问题
1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为
__
。
2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为
。
3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___
f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。
A 2tt xx u a u f =+；
B 2
t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D
2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。
A 1个；
B 2个；
C 3个；
D 4个。
7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。
A ．?????∈-∈==]
,2[),(2]2,0[,2l l x x l l
h l x x l h
u o
t B ．????
?====00
t t
t u h
u C ．h u t ==0
D ．???????=????
?∈-∈===0
],2[),(2]2,0[,200t t t u
l l x x l l h l x x l h
u
8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。
A ．?????===<<-=-===0
,0,0)0(,)(sin 0000
2
t l x x xx tt u u u
l x x x t F u a u ρ
δω u
x
h
2
/l 0
u 图
B ．???
?
???====<<-=-====0,00,0)0(,)(sin 00
0002
t t t l x x xx tt
u
u u u l x x x t F u a u ρ
δω
C ．?????==<<-=-==0
,0)0(,)(sin 00002
t t t xx tt
u u
l x x x t F u a u ρδω
D ．??
??
???==-==<<=-====0
,0)(sin ,0)0(,0000002t t t l x x xx tt u u x x t F u u l x u a u ρδω
9．线密度为ρ长为l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的0x 处，敲击力的冲量为I ，然后弦作横振动。该定解问题为：（ B ）。
A ．?????????=====-====0,00,000
02
t t t l x x xx tt u u u u I u a u ρ
B ．?????????====-=-====0,00
,0)(00002
t t t l x x xx tt u u u u x x I u a u ρδ C ．???
?
?????====<<=-====ρI u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 0002
,00
,0)0(,0 D ．???
?
?????-====<<=-====ρδ)(,00
,0)0(,000002
x x I u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 10．下面不是定解问题适定性条件的( D )。
11、名词解释：定解问题；边界条件
答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，
定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。 研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围花牛的影响常体现为边
A ．有解
B ．解是唯一的
C ．解是稳定的
D ．解是连续的
界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。用表示边界即
（1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，
，代表边界
（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，
（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，
第八章分离变数（傅里叶级数）法
1．用分离变数法求定解问题
2
0,(0)
0,0
()
t xx
x x
x x l
t
u a u x l
u u
u x
?
==
=
?-=<<
?
==
?
?=
?
的解，其中)
(x
?为x的已知函数。
解：令bx
x=
)
(
?
设
2．用分离变数法求定解问题20000,(0)0,0,0tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u bx u ====?-=<
==??==??的解，其中b 为常数。
解：以分离变数形式的试探解
)()(),(t T x X t x u = 代入泛定方程和边界条件，得
02=''-''T X a T X ?
λ-≡'
'=''T
a T X X 2，
=+''X X λ；02
=+''T a T λ；
??
?==0
0)()(l X X
??
?===+''0
)(,0)0(0l X X X X λ
本征值：22
2l
n n πλ=)
,3,2,1(Λ=n ；本征函数：x l
n c x X
n πsin
)(2=
将
2
2
2l
n n πλ=代入02
=+''T a T λ，得
0)()(2
2
22=+''t T l
a n t T n n π
其通解为t l
a
n B t l a n A t T n
ππsin cos )(+= 本征解为：)()(),(t T x X
t x u n n n
=x l
n t l a n B t l a n A n n π
ππsin )sin cos
(+=
)
,3,2,1(Λ=n
一般解为：(,)u x t ∑∞
=+=1
n n
n
x l
n t l a n B t l a n A πππsin )sin cos ( 0
,00
=∴==n t t
B u Θ
bx x l n A n n
∑∞
==1
sin π
?=∴l
n xdx l n x l b A 0
sin 2π1
2(1)
n bl n π+=-
11
2(,)(1)cos sin n n bl n a n u x t t x n l l πππ∞
+=∴=-∑
3．求定解问题200
sin ,(0)0,00t xx x x x x l t u a u t x l u u u ω===?-=<
==??=?的解
解：令∑∞
==0
cos )(),(n n x l n t T t x u π
t x l n T l a n T n n n ωππsin cos )(0
2
222=+'∑∞
=
t T ωsin 0='∴0
0cos 1
A t T +-
=ωω
02
2
2
2
=+
'n n T l
a
n T π2222
n a t
l n n T C e π-=
00
t u ==Q ， (0)0n
T ∴=
0,1
==∴n
C A ω
)cos 1(1
),(t t x u ωω-=∴
4．求定解问题???
??===<<=-===0,)0(,00
0002t l x x xx t u u u u u l x u a u 的解，其中0u 为常数。
解：设(,)(,)u w x t v x t =+ 0
0,x x x l
v v u ====
()()v A t x B t =+
)(,0)(u t A t B ==∴ x u v 0
=∴
????
???-====-===,
0,000002x u w w w w a w t l x x x xx t
令
1
()2(,)()sin
n n n x
w x t T t l π∞
=+=∑
0)21
(22
22=++'n n T l
a n T π
t l a n n n e
C t T 2
2
22)21
()(π+-=∴
222
2
1
()20
1()2(,)sin
n a t l n n n x
w x t C e
l
ππ+∞
-=+∴=∑
x u x l n C n n 00
)21(sin -=+∑∞
=π
?+-=∴l n xdx l n x l u C 00)21
(sin
2π1220)1()2
1(2+-+=n n l u π
∴
所求的定解问题的解为
222
2
1
()210022
1
()22(,)(1)sin
1()2
n a t
n l n n x
u l
u x t u x e l
n πππ+∞
-+=+=+-+∑
5．求定解问题
2
00
000 00
0,(0)
,
,(),(0) tt xx
x x l
t
t t
u a u
x l
u u u u
I
u u u x x
x l
δ
ρ
==
==
?
-=<
<
?
?
?
==
?
?
?
==-<<
?
?
的解，其中
u、I、ρ均为常数。答
设
所求的定解问题的解为：
第十章球函数
1．当r
R<时，函数
2
2cos
2
1
r
rR
R+
-θ
以)
(cosθ
l
P为基本函数族的广义傅里叶级数展开为)
(cos
1
1
θ
l
P
r
R
l
l
l
∑∞
=
+
2．已知1)(0=x P 、x x P =)(1、)13(2
1
)(22-=x x P ，则2)(x x f =以)(x P l 为基本函数族的广义傅里叶级数为( D ).
A ．)(23
2x P
B ．)(3
2
)(3121x P x P +
C ．)(3
2
)(3120x P x P +
D ．以上都不对
3．在球0r r =的内部求解0=?u ，使满足边界条件θ2cos 0
==r r u 。已知1)(cos 0=θP ，
θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(2
1
)(cos 22-=
θθP 解
定解问题为：
这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题
当
有限
所求的定解问题的解为
4．半径为0r 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为20cos sin u θθ，0u 为常数，求球形区域外部的电势分布。已知1)(cos 0=θP ，θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(2
1
)(cos 22-=
θθP ，331
(cos )(5cos 3cos )2
P θθθ=-。
解：
?????=>=?=θ20cos )
(,0
r r u r r u
∑∞=++
=0
1)(cos )(l l l
l
l l P r
B r
A u θ
∞→r u Θ有限 0=∴l
A ∑∞=+=∴0
1
)(cos l l
l l P r B u θ
)
(cos 3
2
31cos )(cos 2020
1
θθθP P P r
B l l l l
+==∑∞
=+
3
0r
B =∴
)
2,0(0,3
23
02≠==l B r
B l
)
(cos 32)(cos 3233
000θθP r
r
P r r u +=∴
5．在本来是匀强的静电场0E 中放置导体球，球的半径为0r ，求球外静电场的电势。（已知
0(cos )1P θ=，θθcos )(cos 1=P ）。
解：
如图所示，建立坐标系，则定解问题为：
当
6．在点电荷q 04πε的电场中放置一个接地导体球，球的半径为a ，球心与点电荷相距)(11a r r >。求球外静电场的电势。
解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与无关；
又设导体球接地，所以导体球内电势为0，即，； 在球外，（除点电荷处）任意点的电势是点电荷产生的电势
和导体球感应电
荷产生的电势的叠加。
因静电感应电荷只在球面上，故由它在球外所产生的电势满足拉普拉斯方程。于是定解问题为，
（1） 因为，，
所以，（2）
在轴对称情况下，方程（1）的一般解为，
考虑到（2）的无限远边界条件，应舍弃项，
（3）以（3）代入（2）的球面边界条件，
引用母函数
比较两边的广义傅里叶系数，得
（4）在解（4）中，第二项
，相当于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴上，
带电量为。
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
院 系 班级 学号 姓名 --------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线----------------------------------------------- 扬州大学试题纸 ( 2010－2011学年第 二 学期) 物 理 学院 微电、物理09级 课程 数学物理方法（A ）卷 题目 一 二 三 四 总分 得分 一、填空题（共20分,2分/题） 1. 数量场23 2 2+=x z y z u 在点)1,0,2(-M 处沿24 23=-+ l xi xy j z k 方向 的方向导数为 . 2. 设 A 为一矢性函数, ?表示哈密顿算符, 则()????= A . 3. 在三维直角坐标系中，矢径=++ r xi yj zk ,r r = ,?表示哈密顿算符, 则当0≠r 时，有3?? ??? ??= r r . 4. 在二维平面极坐标系下，调和量?=u . 5．考虑长为l 的均匀细杆的导热问题，若杆0x =的一端保持为恒温零度， l x =的一端绝热，用u 表示温度，则对应的边界条件为 . 6．方程20,(,0)tt xx u a u x t -=-∞<<∞>的通解可以表示为 ()u x,t = . 7. l 阶勒让德多项式的微分表示式为)(x P l = . 8. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分1 21002001()()-=?x P x P x dx . 9. 常微分方程22(9)0'''++-=x y xy x y 为 阶Bessel 方程. 10. 利用Bessel 函数的递推公式,计算积分1 210()=?x J x dx .
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）
1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：
2008年数学物理方法期末试卷 一、求解下列各题（10分*4=40分） 1． 长为l 的均匀杆，其侧表面绝热，沿杆长方向有温差，杆的一段温度为零，另一端有热量流入，其热流密度为t 2sin 。设开始时杆内温度沿杆长方向呈2 x 分布，写出该杆的热传导问题的定解问题。 2． 利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ?????=-=>+∞<<-∞=-==2||)0,(040 0t t t xx tt u x u t x u u 并画出t=2时的波形。 3． 定解问题???? ???≤≤==∞<<==<<<<=+====) 0( 0,sin )0( 0 ,)0 ,0( ,000a x u x B u y u ay u b y a x u u b y y a x x yy xx ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题 4． 计算积分?-+=1 11)()(dx x P x xP I l l 二、（本题15分）用分离变量法求解定解问题 ?????+===><<=-===x x u u u t x u a u t x x x xx t 3sin 4sin 20 ,0)0,0( 0002ππ 三、（本题15分）设有一单位球壳，其球壳的电位分布12cos |1+==θr u ，求球内、外的电位分布 四、（本题15分）计算和证明下列各题 1．)(0ax J dx d 2．C x x xJ x x xJ xdx x J +-=? cos )(sin )(sin )(100 五、（本题15分）圆柱形空腔内电磁振荡满足如下定解问题
???????===<<<<=+=?===0 00),(0,00),(0),(0l z z z z a u u z u l z a z u z u ρρρρλρ 其中2)(c ω λ=，为光速为电磁震荡，c ω。 （1） 若令)()(),(z Z R z u ρρ=，写出分离变量后关于)()(z Z R 和ρ满足的方程； （2） 关于)()(z Z R 和ρ的本征值问题，写出本征值和本征函数； （3） 证明该电磁振荡的固有频率为 ,3,2,1;,2,1,0 ,)()(220==+=m n l n a x c m mn πω 其中0m x 为零阶Bessel 函数的零点。 参考公式 （1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式 （2） Legendre 多项式 （3） Legendre 多项式的递推公式 （4） Legendre 多项式的正交关系 （5） 整数阶Bessel 函数 （6） Bessel 函数的递推关系
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
物理科学与技术学院2011级数学物理方法期中考试 专业 ； 学号 ； 姓名; 1、填空或选择填空（20分） 1、长为l 温度为0T 的均匀杆，一端温度保持为零度，另一端有其热流密度为)(t f 的热量流入，则该杆的热传导的定解问题为[ ] 2、函数)4(2-=z Ln w 的支点为[ ], 它有[ ]叶里曼面； 而函数3 2--z z 的支点为[ ], 它有[ ]叶里曼面；3、由Γ函数的相关知识，可得积分 dx e x x 206-∞ ?=[ ]； [以下两题,分别请在A,B,C,D四答案中选择一个你认为正确的答案填入空内] 4．设)(z f 在单连通区域σ内处处解析且不为零，l 为σ内的任何一条闭合围道，则积分 =+'+''?dz z f z f z f z f l ) ()()(2)([ ]；A.i π2 B.i π2- C. 0 D.不能确定 5．∞=z 为z z f sin 1)(=的：[ ]A.一阶极点 B.本性奇点 C.解析点 D.非孤立奇点 二、（20分）验证xy y x y x u +-=22),(为调和函数，并求一满足条件0)0(=f 的解析函数iv u z f +=)(三、（20分）试分别用科希积分理论和留数理论计算下列函数和围道积分之值（要求写出 主要步骤的依据）1、设 ?=--=23)(z d z e z f ζζπζζ，求)(i f ； 2、计算? =-+23) 1)(1(1z dz z z z ；四、（20分）试将函数61)(2-+=z z z f 按以下要求展开为泰勒或罗朗级数，并指出所展开的级数的收敛域及类型（是泰勒还是罗朗）。 1、以0=z 为中心展开； 2、在2=z 的去心领域中展开 五、（20分）利用留数定理计算下列实积分：
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2
兰州大学2015～2016 学年第1学期 期末考试试卷（A卷） 课程名称：数学物理方法任课教师： 学院：信息学院专业：年级：姓名：校园卡号： 一、填空(共24分，每空2分) 1. = ； 2. 由柯西公式可得= ，其中要求函数是函数； 3.幂级数收敛半径是； 4.积分= ； 5. 是f(z)的奇点，根据洛朗级数展开负幂项的个数可以将奇点分为三类，分别是、、。 6.已知函数f(x, y, z)，对于边界，则相应的第一类齐次边界条件可以表示 为。 7. 和，可以构成，与本征值相应的解称为。 8.一般情况下的求解域并不是规则形状，则可以采用法使得求解 域成为规则图形以简化求解。 二、简单计算（共26分，第1、2题每题6分，第3、4题每题7分） 1.在1<|z|<的环域上将函数f(z)= (z+1)/(z2-1)展开为洛朗级数。
2. 以勒让德多项式为基，在区间[-1, 1]上将函数展开为广义 傅里叶级数。 注： 3. 利用留数定理求。 4. 解析函数知识在求解某些势函数时有很大的帮助。我们已知复势表达式为 ，并且 ， ，求复势 ， 并写成关于z 的表达式。 三、 简答（共23分，前3题每题5分，第4题8分） 1. 简述解析函数的性质。 2. 施图姆-刘维尔型方程为 拉盖尔方程表示为施图姆-刘维尔型如下式所示 与勒让德方程相似，拉盖尔方程的解可以由拉盖尔多项式 表出。试根据 所学过的施图姆-刘维尔本征值问题的相关性质，最少写出拉盖尔方程的三条性质。 3. 写出柱坐标系下的Bessel 方程，Bessel 方程一般有哪几种解的形式，并写出方程的一种通解。 4. 在电路中会经常使用到矩形脉冲信号 试在初始边界条件f (0)=0的条件下，利用傅里叶积分的知识进行计算，简要说明如何通过简单的正弦信号获得该信号。 四、 综合题(共27分，第1题15分，第2题12分） 1. 有一个沿z 轴无限长的矩形波导，如右图所示，横截 面长为a ，宽为b ，左、右、底面三面接地，顶面电 a
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
Mathematical methods for physics 一、 单项选择题（每小题2分） 1．齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。 A)Λ3,2,1 sin =n nx B) Λ,2,1,0 cos =n nx C)Λ2,1,0 )21sin(=+n x n D) Λ2,1,0 )2 1cos(=+n x n 2．描述无源空间静电势满足的方程是________。 A) 波动方程 B)热传导方程 C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3．半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是???? ?????====?-??===)(| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρ?ρρρt t R u u u t u a t t u 其解的形式为∑∞ ==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。 A) )()()()(20222 t T k a t T dt d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0t ak m C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。 D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m ρρρ 4．)(5x P 是下列哪一个方程的解_________。 A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x B ）0252)1(2=+'-''-y y x y x C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x D ）052)1(2=+'-''-y y x y x 5．根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。 A ）)(2)()(120x J x J x J '=- B ）)()()(1 11x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J = - D ）)(2)()(120x J x x J x J '=+ 二、 填空题（每题3分）
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
一、单项选择题（每小题2分） 1． 齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。 A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2 1cos(=+n x n 2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。 A) 波动方程 B)热传导方程 C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3． 半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是???? ?????====?-??===) (| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρ?ρρρt t R u u u t u a t t u 其解的形式为∑∞ ==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。 A) )()()()(20222 t T k a t T dt d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0t ak m C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。 D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m ρρρ 4． )(5x P 是下列哪一个方程的解_________。 A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x B ）0252)1(2 =+'-''-y y x y x C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x D ）052)1(2=+'-''-y y x y x 5． 根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。 A ）)(2)()(1 20x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =- D ）)(2)()(120x J x x J x J '=+ 二、填空题（每题3分）
12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）
220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界，
2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0，
Mathematicalmethodsforphysics 一、 单项选择题（每小题2分） 1． 齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。 A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2 1cos(=+n x n 2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。 A)波动方程B)热传导方程 3． A)(t T m B C ）0m k D ）m R 4． 5P A ）1(C ）1(5． 根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。 A ）)(2)()(120x J x J x J '=- B ）)()()(1 11x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J = -D ）)(2)()(120x J x x J x J '=+ 二、 填空题（每题3分）
1． 定解问题???? ?????====><<=-====0 ,00 ,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解时，关于T(t)满足 的方程是： 2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。 Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。 3． 1） 2） 4． 5． 三、 四、 ，求五、 ?>=t t t )0,0 六、 （15分）用分离变量法求解定解问题 计算积分?-+=1 11)()(dx x P x xP I l l 七、 （15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为 ??ρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(?ρu 。 八、 （15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的电位满足
写出如下方程特解的名称及其表示形式 01d d 1d d 2 x y l l x x y x x 011d d 1d d 22 2 x m l l x x x 0d d d d 2 222 2 y m x x y x x y x 0d d d d 2 2222 y m x x y x x y x 222 d d 10d d R r k r l l R r r r ''2'0y xy ny ''1'0xy x y ny ''1'0xy x y ny 二、设杆一端 0x 刚性固定，而另一端 x l 自由，其初始条件为 ,0,,00t u x kx u x ，求杆的纵振动。 三、一个半径为a 的球壳，上半部分充电至电势为1V ，下半部分充电至电势为2V ，计算求球内部电势分布。 四、将函数 2221y z yz xz r 按球谐函数展开
0,01,0i 21,12,0 i 22i 2,12,2Y ,,Y ,Y ,e ,Y ,3cos 1Y ,cos e ,Y ,e 五、一个半径为a ，高度为l 的圆柱体，其下底传入的热流强度 为0q ，导热系数为k ，侧面a 和上底z l 保持温度为零，计算圆柱体内部稳定的温度分布。 六、利用Green 函数法推导定解问题 2 u f u r r r r 积分解 的表达式。 七、已知泛函 1 2 '2d y y y x J ，边界条件 010y y 。 1、计算泛函的极值和极值函数 y x ； 2、利用瑞里-里兹法计算泛函极值的近似值。（试探基函数 选择， 1,1,2,k k x x x k ，利用一阶近似解计 算即可。）
- 1 - 西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 学期：2020年春季 课程名称【编号】：数学物理方法【0135】 A 卷 考试类别:大作业 满分：100 分 请对下列五个大题解答，要求写出必要的解题步骤. 一、求解下列各题（共4题，选做3题，每题10分，共30分） 1、计算 122685i i i i +-- - 2、计算 +1 (1) i i - 3、解方程 4 160z i += 4、解方程 1z e i =+ 二、求解下列各题（共2题，选做1题，共15分） 1、证明函数 y x i y x x z f )1(22)(2 2-+--= 在复平面上解析，并求()f z 的导数()f z '. 2、已知解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部为(,)sin y u x y e x =，求)(z f . 三、求下列积分（共4题，选做2题，每题10分，共20分） 1、4+111 z z z dz e =+?? 2、 1 20 cos z z dz ? 3、 6|1:|, 122=--?z c dz z i c . 4、111cos z z dz z =+-?? 四、求解下列各题（共3题，每题5分，共15分） 1、求幂级数2 11(+1) n n z n ∞ =∑ 的收敛半径. 2、将函数1 ()2f z z = -在11z -<内展成1z -的幂级数. 3、把函数21 ()712 f z z z =-+在34z <<内展成洛朗（Laurent ）级数． 五、求解下列各题（共2题，每题10分，共20分） 1、试用分离变量法求解以下定解问题 ,02 =-xx t u a u 0,0,x x x x l u u ==== ()00≤≤≥x l t , t u x == ． 答题要求：请用分离变量法求解，用其它方法求解不得分，并要求写出必要的解题步骤． 2、求解圆内的定解问题（10分）求解定解问题 其中A 为已知正常数． 答题要求：可用任何方法求解，要求写出必要的解题步骤． 答案在下方答题页