第一章 练习题
1． 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下:
(,)|()()|,,([,])b
a
f g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?，
（1）([,])C a b 按ρ是否完备?
（2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么?
答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2,
n =,定义
,01,
():1,1 2.
n n x x f x x ?≤<=?
≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为
1
11
(,)|()()|110,(,).11
n m n m n m f f f x f x dx
x dx x dx
m n n m ρ=-≤+=
+→→∞++???
另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有
0,[0,1)
()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=?
∈?
因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
1
1
1
00(,)|()()|1
|0|0.1
n n n
n
f g f x g x dx
x dx x dx n ρ=-=-==→+???
但()([0,2])g x C ?.
(2) ([,])C a b 的完备化空间是1
([,])L a b . 因为
(i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1
([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个
1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得
[,]
(,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-
.
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在0δ>, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有
|()|3
E
f x dx ε
<
?
.
因为()f x (Lebesque)可积, 故几乎处处有限, 即
1
0N N m
E ∞
==,
其中{[,]||()|}N E x a b f x N =∈>. 由此可以得到 lim ()0N N m E →∞
=(因为{}N E 是渐缩集列
并且[,]a b 的测度有限),故存在某个自然数N , 使得N mE δ<且
|()|3
N
E f x dx ε
<
?
,
因此有
|()|f x N ≤,
[,]\N x a b E ∈.
引入一个新函数定义为
(),[,]\():0,,N
N
f x x a b E f x E ∈?=?
? 显然对于[,]x a b ∈恒有|()|f x N ≤. 由Lusin 定理, 存在连续函数()(,)g x C ∈-∞+∞和闭集[,]F a b ?, 使得([,]\)min{,/3}m a b F N δε<且|()|g x N ≤, 进而
()()g x f x ≡,
x F ∈.
则()g x 限制在[,]a b 即为所求, 因为: [,]
(,)|()()|a b f g f x g x dx ρ=-?
([,]\)|()()|a b F F
f x
g x dx ?=
-?
[,]\|()()||()()|a b F
F
f x
g x dx f x f x dx ≤-+-?
?
[,]\\(|()|)|()()||()()|N
N
a b F
F E F E f x N dx
f x f x dx f x f x dx
?≤++-+-??
?
[,]\|()|([,]\)a b F
f x dx Nm a b F ≤
+?
\|()|0N
N
F E F E f x dx dx ?++?
?
3
3
3
ε
ε
ε
ε<
+
+
=.
(ii) 1
(([,]),)L a b ρ是完备的空间.
2． 设(,)X ρ是距离空间，A 是X 的子集，对任意的x X ∈，记
(,)inf (,)y A
x A x y ρρ∈=，
则（1）(,)x A ρ是x 的连续函数.
（2） 若{}n x 是X 中的点列, 使(,)0n x A ρ→,{}n x 是否为Cauchy 列? 为什么? 证：(1) 任意取定12,x x X ∈, 对于任意的y X ∈根据三角不等式, 有
1122(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+.
对两端关于y A ∈取下确界, 可以得到
1122inf (,)(,)inf (,)y A
y A
x y x x x y ρρρ∈∈≤+, 2211inf (,)(,)inf (,)y A
y A
x y x x x y ρρρ∈∈≤+.
即
1122(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+.
由此可得
1212|(,)(,)|(,)x A x A x x ρρρ-≤.
由此容易证明()f x (,)x A ρ=是X 上的连续函数, 实际上, (,)x A ρ还满足Lipschitz 常数等于1的Lipschitz 条件.
(2) 答: 未必是Cauchy 列. 例如取X =R , 其中的距离是Euclid 距离. 对于{1,1}A =-, 对于1,2,
n =, 定义点列为
1
(1).n n x n
=-+
对于点列{}n x ,不难验证,
1
(,)0n x A n
ρ=
→; 但显然{}n x 不是Cauchy 列. 这里的原因就在于(,)x A ρ不是点到点之间的距离, 而是点到集合的距离, 当这个集合A 含有不止一个点时, (,)x A ρ不再具有点点之间距离的性质.
3． E 是n
R 中的Lebesgue 可测集合, 试证()L E ∞
按距离
(,)esssup |()()|x E
f g f x g x ρ∈=-
是不可分空间.
证法一：记为方便起见, 设[,]E a b =. 定义
[,]1,[,],
()()0,(,].a x a f x x x b λλλχλ∈?==?
∈?
显然()f x λ有界,可测, 因此必属于([,])L a b ∞
. 记
{()|(,]}A f x a b λλ=∈.
则([,])A L a b ∞
?.既然对于不同的12,[,]a b λλ∈, 1f λ与2f λ不同的部分是正测度集, 容易
看出A 的势是?.进而有(不妨设12λλ<)
1
2
12121212[,][,]\0
[,][,]\0
[,][,][,][,]\0
(,][,][,]\0
(,)inf
sup |()()|
inf sup |()()|inf sup |()()|inf
sup () 1.
E a b x a b E mE E a b x a b E mE a a E a b x a b E mE E a b x a b E mE f f f x f x f x f x x x x λλλλλλλλλλρχχχ?∈=?∈=?∈=?∈==-=-=-==
我们用反证法证明所需的结论.设([,])L a b ∞
是可分的，则其必有可数的稠密子集
123{,,,
,,}i g g g g , 因此至少有一个i g 属于两个不同的1(,1/3)S f λ和2(,1/3)S f λ.而由
三角不等式, 我们有
12121(,)(,)(,)112.333
i i f f f g g f λλλλρρρ=≤+≤+=
这是一个矛盾. 因此([,])L a b ∞
不可能是可分的.
证法二：既然E 是正测度集,存在0R >使得((0,))0m S R E ?>. 不难验证, 存在一列正数
1{}i i R ∞=满足:
120i R R R R <<<
<<
<;
且
1([(0,)\(0,)])0i i m E S R S R +?>.
对于每一个12(,,,,)i λλλλ=,其中0i λ=或1, 定义 1(),
[(0,)\(0,)]i i i f x x E S R S R λλ+=∈?,
1,2,
i =. 显然()f x λ有界,可测, 因此必属于()L E ∞
. 记
{()|{0,1}}A f x λλ=∈N ,
其中{0,1}N
表示具有上述性质的λ的全体. 则()A L E ∞
?.既然对于不同的,λμ∈{0,1}N
,
(不妨设1(,,,)i λλλ=, 1(,
,,)i μμμ=且对于某个i ,0i λ=1i μ=)f λ与f μ不同的
部分至少是正测度集1[(0,)\(0,)]i i E S R S R +?, 容易看出A 的势与{0,1}N
的势都是连续统的势?.进而有
11\0
((0,)\(0,))\0
((0,)\(0,))\0
1(,)inf sup |()()|
inf
sup
|()()|inf sup
|| 1.
i i i i F E x E F mF F E x E S R S R F
mF i i F E x E S R S R F mF f f f x f x f x f x λμλμλμρλμ++?∈=?∈?=?∈?=≥=-≥-=-= 我们用反证法证明所需的结论.设()L E ∞
是可分的，则其必有可数的稠密子集
123{,,,
,,}i g g g g , 因此至少有一个j g 属于两个不同的(,1/3)S f λ和(,1/3)S f μ.而由
三角不等式, 我们有
1(,)(,)(,)11
.33
j j f f f g g f λμλμρρρ=≤+≤+
这是一个矛盾. 因此()L E ∞
不可能是可分的.
补充题．证明[,]L a b ∞
是不可分空间.
证：记
{}[,]()a t K x a t b χ=<<,
其中
[,]1,,
():0,.a t a x t x t x b χ≤≤?=?
<≤?
显然[,]K L a b ∞
?, 且只要12,[,]t t a b ∈,12t t ≠, 则有
1
2
[,][,],a t a t K χχ∈, 且因为(不妨设12t t <)12(,]t t 的测度为正, 故
1212[,][,][,][,][,]||||sup |()()|a t a t a t a t L a b ess x x χχχχ∞-=-
1212(,](,]
sup |()|1t t x t t x χ∈==.
因此, 由(,)a b 是不可数集, 而K 的基数与(,)a b 的基数相同, 故也是不可数集,且K 中任何两个不同元的距离均为1.
如果[,]L a b ∞
是可分的, 因此有一个可数的稠密子集合{()|1,2,}k A f x k ==, 且
1
1
(,)3k k S f K ∞
=?.
但这是荒谬的, 因为上式左端只有可数多个开球, 右端有不可数多个元, 所以至少有K 中的两个不同的12[,][,],a t a t χχ属于同一个开球01(,)3
k S f , 由此得到矛盾:
121002[,][,][,]
[,][,][,][,]1||||||||||||112.333
a t a t L a
b a t k k a t L a b L a b f f χχχχ∞∞∞=-≤-+-<+= 此矛盾表明[,]L a b ∞
不可能是可分的.
4． 设([,])k
C a b 是闭区间[,]a b 上具有k 阶连续导数的函数全体, 定义:
()()[,]
(,)max |()()|,,([,])k
i i k x a b i f g f x g x f g C a b ρ∈==-∈∑
试证:
（1）([,])k
C a b 是完备的距离空间;
（2）若定义
||||(,0)f f ρ=,
则(([,]),||||)k
C a b ?是Banach 空间.
证：(1) 这里只证明该距离是完备的. 设1{()}n n f x ∞
=是([,])k C a b (0k =时, 0
([,])C a b 就理
解为[,]C a b )中该距离意义下的Cauchy 列. 因此当,m n →∞时，有
()
()[,]0
(,)max |()()|0k
i i m n m n x a b i f f f x f x ρ∈==-→∑.
由此容易知道对于每一个0,1,
,i k =, ()1{()}i n n f x ∞=是0
([,])C a b 中的Cauchy 列. 根据
浙江省2008年1月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设Q 是I =［0，1］中有理数的全体，从R 1来看，边界?Q =（ ） A.I B.Q C.I ＼Q D.φ 2.设R 是实数集，P 是Cantor 三分集，x ∈P ，下列叙述正确的是（ ） A.x 是P 的内点 B.x 是P 的外点 C.x 是P 的界点 D.x 是P 的孤立点 3.设f (x )在闭集E ?R n 上R 可积，I 1=(R ) ?E x x f )d (，I 2=(L )?E x x f )d (，则有（ ） A.I 1＜I 2 B.I 1=I 2 C.I 1＞I 2 D.不能比较 4.设A n (n =1，2，…)是一列递增集合，F = ∞=∞→= 1lim n n n n A G A ，，则F 与G 的外测度满足（ ） A.m *F ＜m *G B.m*F=m*G C.m *F ＞m *G D.不能比较 二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（ ） 2.Cantor 三分集中必含有内点.（ ） 3.外测度为零的集是可测集.（ ） 4.设f (x )=0 a . e . 于E ,则?E x )x (f d =0.（ ） 5.设f (x )是［a ，b ］上有界变差函数，则f ′(x )在［a ，b ］上可积.（ ） 6.y =f (x )在［a ，b ］满足Lipschitz 条件，则y =f (x )在［a ，b ］能表示为两个增函数之差.（ ） 三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设A n (n =1，2，…)是一列集合，则 ∞=∞=1n n m m A =_________. 2.设A 2n -1=［0，n 1］， A 2n =［0,n ］，n =1，2，…， 则n n A ∞→lim =_________. 3.设S n =(n ，+∞)， 则n n mS ∞→lim =_________.
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B .1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（）. A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l 的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间
当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间，T 是T 有逆算子。() 四、计算题（10分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、|
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为 p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。 泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++ (,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤ 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 第四章习题第一部分(1-18) 1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则 ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1上的距离。 而?x , y , z ∈ 1， ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )； 所以ρ2是 1上的距离． 2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，?x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空 间． [证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可． 实际上?x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , ρ)是距离空间，证明 | ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，?x , y , z ∈X ； | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，?x , y , z , w ∈X ． [证明] ?x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有 - ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，?i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A ) 是开集． [证明] 若A = ?，则int(A ) = ?，结论显然成立． 若A ≠ ?，则?x ∈ A ，?r > 0使得S (x , r ) ? A ． 对?y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ? S (x , r ) ? A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ? int(A )，从而int(A )是开集． 7. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A ≠ ?．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集． 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间泛函分析试题一
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