2019年四川省成都市初中毕业、升学考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019四川省成都市，1，3）比-3大5的数是
（A）-15 （B）-8 （C）2 （D）8
【答案】C
【解析】列式子计算：-3+5=2，故选C
【知识点】有理数加法
2．（2019四川省成都市，2，3）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】从左面看，上层有1个，下层有2个，故选B.
【知识点】三视图
3．（2019四川省成都市，3，3）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年，将数据5500万用科学记数法表示为
（A）5500×104（B）55×106（C）5.5×107（D）5.5×108
【答案】C
【解析】用科学记数法可以把一个数表示a×10n的形式，其中1≤a＜10，n的值可由小数点移动情况来决定，若原数大于1，n为正整数；若原数小于1，则n为负整数；小数点移动几位，n的绝对值就是几.
【知识点】科学记数法
4．（2019四川省成都市，4，3）在平面直角坐标系中，将点（-2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为
（A）（2，3）（B）（-6，3）（C）（-2，7）（D）（-2，-1）
【答案】A
【解析】点的坐标向右（左）平移a个单位，则点的横坐标加（减）a，本题中点向右平移了4个单位，故横坐标加4，纵坐标不变，选A.
【知识点】点平移的坐标变化规律
5．（2019四川省成都市，5，3）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为
（A）10°（B）15°（C）20°（D）30°
2
1
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得∠1的内错角也为30°，再用45°减去30°即得∠2度数，故选B . 【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形的性质
6．（2019四川省成都市，6，3）下列计算正确的是 （A ）5ab-3a=2b （B ）（-3a 2b ）2=6a 4b 2 （C ）（a-1）2=a 2-1 （D ）2a 2b ÷b=2a 2 【答案】D
【解析】选项A 不是同类项，不能合并；选项B 中-3的平方不能是6；选项C 中完全平方公式用错；D 选项符合单项式除法法则，故选D.
【知识点】幂的乘方；积的乘方；合并同类项；单项式除法法则
7．（2019四川省成都市，7，3）分式方程
12
15=+--x
x x 的解为 （A ）x=-1 （B ）x=1 （C ）x=2 （D ）x=-2
【答案】A
【解析】通过去分母在方程两边同时乘以x （x-1），将分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求得分式方程的解，通过检验验证是否有解. 【知识点】解分式方程
8．（2019四川省成都市，8，3）某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是 （A ）42件 （B ）45件 （C ）46件 （D ）50件 【答案】C
【思路分析】将所有数据按照从小到大（或从大到小）排列，位于最中间的数或者位于最中间的两个数的平均数即为所求中位数.
【解题过程】将5个数据按照从小到大排列：42，45，46，50，50.位于最中间的数是46，故选C. 【知识点】中位数
9．（2019四川省成都市，9，3）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为?DE 上的一点（点P 不与点D 重合），
则∠CPD 的度数为
（A ）30° （B ）36° （C ）60° （D ）72°
E D
C
B
O
A
P
【答案】B
【思路分析】求圆周角的度数，可以考虑求所对弧对的圆心角的度数，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解.
【解题过程】连接OC、OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=72°，∴∠CPD=36°,故选B.
【知识点】正多边形与圆；圆周角定理
E
D
C
B
O
A
P
10．（2019四川省成都市，10，3）如图，二函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是
（A）c＜0 （B）b2-4ac＜0 （C）a-b+c＜0 （D）图象的对称轴是直线x=3
【答案】D
【思路分析】根据二次函数图象的性质及特征点的坐标判断选项的正确性.
【解题过程】根据图象，显然c＞0，故A错；抛物线与x轴有两个交点，则Δ＞0，故B错；当x=-1时，函数值y＞0，所以a-b+c＞0，故C错；A、B两点的纵坐标相同，其中点横坐标为3，故D正确.
【知识点】二次函数图象的性质
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．11．（2019四川省成都市，11，3）若m-1与-2互为相反数，则m的值为_______.
【答案】1
【解析】由两数互为相反数，其和为零列出方程：m+1-2=0，解m=1.
【知识点】相反数；一元一次方程应用
12．（2019四川省成都市，12，3）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE点长为_________.
E
D
A
B
C
【答案】9
【解析】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ≌△AEC ，∴CE=BD=9. 【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定和性质 13．（2019四川省成都市，13，3）已知一次函数y=（k-3）x+1的图象经过一、二、四象限，则k 的取值范围是
_______. 【答案】k ＜3
【解析】一次函数同时经过了二、四象限，所以k-3＜0，解得k ＜3. 【知识点】一次函数图象的性质
14．（2019四川省成都市，14，3）如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO ，AB 于点M ，N ；②以点O 为圆心,以AM 长为半径作弧，交OC 于点M ′；③以点M ′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠COB 内部交前面的弧于点N ′；④过点N ′作射线ON ′交BC 于点E.若AB=8，则线段OE 的长为________.
M
E
N′
M′
N
O
C
D
A
B
【答案】4
【解析】根据尺规作图可以判定∠COE=∠CAB ，所以OE ∥AB ，可得OE 为△CAB 的中位线，从而得到OE 等于AB 的一半.
【知识点】尺规作图；三角形中位线
三、解答题（本大题共6小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（2019四川省成都市，15，12）（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：（π-2）0-2cos30°-16+3-1. （2）解不等式组：???
??+--≤-②①（
x x x x 21
14
2554)23π
【思路分析】（1）利用零指数幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、去绝对值等知识逐项求得各项结果，相加即可；（2）通过解不等式①和不等式②得到两个解集，求公共解集即可. 【解题过程】（1）原式=1-2×
2
3
-4+3-1=-4 （2）解不等式①得x ≥-1，解不等式②得x ＜2，故不等式组的解集为-1≤x ＜2. 【知识点】零指数幂；特殊角三角函数值；二次根式化简；绝对值；解不等式组
16．（2019四川省成都市，16，6）（本小题满分6分）
先化简，再求值：621234-12++-÷
??
? ??+x x x x ，其中x=2+1.
【思路分析】先利用分式的加减乘除运算法则将分式化简，再将x 值代入求解. 【解题过程】
()()1
213231)3(2)1(3433
621234-1222-=-+?+-=+-÷??? ??+-++=++-÷
??
? ??+x x x x x x x x x x x x x x 当x=2+1时，原式=
2
2=2
【知识点】分式的加减；分式的乘除；二次根式化简 17．（2019四川省成都市，17，8）（本小题满分8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读，在线听课，在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数.
在线讨论
在线阅读
在线答题20%
在线听课
12
18
24
364248
30
24181260
在线答题在线讨论
在线阅读在线听课人数
方式
【思路分析】（1）由在线答题的人数占总人数的百分比及人数求出总人数，再求出在线听课的人数，补充完整条形统计图；（2）用在线讨论的人数除以总人数求出百分比，用这个百分比乘以360°得到圆心角度数；（3）求出在线阅读人数的百分比，乘以该校总人数即可. 【解题过程】（1）18÷20%=90；90-24-18-12=36，补全图如下：
36
12
18
24
36
42
48
30
24
18
12
6
在线
答题
在线
讨论
在线
阅读
在线
听课
人数
方式
（2）360×
90
12
=48°
（3）2100×
90
24
=560
答：估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数大约有560人.
【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体
18．（2019四川省成都市，18，8）（本小题满分8分）2019年成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处测得起点拱门CD的顶部C 的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB=20米，求起点拱门CD的高度.（结果精确到1米：参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【思路分析】过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ADB中求出BD，在Rt△ACE中求AE，用AB减去AE即可.
【解题过程】过点C作CE⊥AB于点E，在RtABD中，BD=
45
tan
AB
=20，∴CE=20，在Rt△ACE中，AE=CE·tan35°=20×0.70=14，∴CD=BE=20-14=6.答：拱门高6米.
【知识点】解直角三角形的应用
19．（2019四川省成都市，19，10）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=
2
1
x+5和E
y=-2x 的图象相交于点A ，反比例函数y=x
k
的图象经过点A. （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=
21x+5点图象与反比例函数y=x
k
的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积. A
B
O
x
y
【思路分析】（1）先通过一次函数y=
21x+5和y=-2x 的图象求出交点A 的坐标，将点A 坐标代入y=x
k
求出k 值；（2） 通过一次函数y=
2
1
x+5与反比例函数组成的方程组求出B 点坐标，进而求△OAB 的面积. 【解题过程】解：（1）解方程组??
???
-=+=x y x y 252
1得???=-=42
y x ，∴点A （-2，4），将点A 坐标代入y=x k 得k=-8，故反比例函数解析式为y=x
8
-
（2）解方程组???
????-=+=x y x y 8
52
1得???==1y 8-x ，∴点B （-8,1），设直线AB 与x 轴交于点F ，与y 轴交于点G ，当x=0
时，y=5，当y=0时，x=-10，故F （-10,0），G （0,5），∴S △FOG =21×5×10=25，S △FBO =21×1×10=5，S △AOG =2
1
×2×5=5，∴S △AOB =25-5-5=15.
G
F
A B O
x
【知识点】一次函数；反比例函数
20．（2019四川省成都市，20，10）（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC ∥BD ，弦AD ，BC 相交于点E.
（1）求证：?
?=AC CD （2）若CE=1，EB=3，求⊙O 的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点P ，过点P 作PQ ∥CB 交⊙O 于F ，Q 两点（点F 在线段PQ 上），求PQ 的长.
E
B
O
A
D
C
【思路分析】（1）连接OD ，利用证明两条弧所对的圆心角相等证明弧等；（2）通过已知证明△CBA ∽△CAE 得比
例式求CA ，再进一步利用勾股定理求解；（3）根据已知证明PC ∥AE ，得比例式求PA ，进而求PO ，再证△OHP ∽△ACB 列比例式求OH 、PH ，进而利用勾股定理求HQ ，得PQ.
【解题过程】解：（1）连接OD ∵OC ∥BD ， ∴∠OCB=∠DBC ∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC ∴∠OBC=∠DBC ∴∠AOC=∠COD
∴?
?=AC CD
（2）连接AC ，∵?
?=AC CD ∴∠CBA=∠CAD
∵∠BCA=∠ACE ∴△CBA ∽△CAE ∴
CA CB
CE CA
=
∴CA 2
=CE ·CB=CE ·（CE+EB ）=1×（1+3）=4 ∴CA=2
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°
在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB=2222=2+4=25CA CB + ∴⊙O 的半径为5
（3）如图，设AD 与CO 相交于点N. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90° ∵OC ∥BD ，
∴∠ANO=∠ADB=90° ∵PC 为⊙O 的切线 ∴∠PCO=90° ∴∠ANO=∠PCO ∴PC ∥AE ∴
1==3
PA CE AB EB ∴PA=
13AB=1
3
×25=253
∴PO=PA+AO=
253+5=553
过点O 作OH ⊥PQ 于点H ，则∠OHP=90°=∠ACB
∵PQ ∥CB
∴∠BPQ=∠ABC ∴△OHP ∽△ACB ∴
OP OH PH
AB AC BC
==
∴OH=
55
25
3
==
3
25
AC OP
AB
?
g
，PH
55
410
3
==
3
25
BC OP
AB
?
g
连接OQ
在Rt△OHQ中，由勾股定理，得HQ=()
2
2
22
525
-=5-=
33
OQ OH
??
?
??
∴PQ=PH+HQ=
10+25
3
【知识点】圆中三组量关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2019四川省成都市，21，4）估算：7.
37≈________（结果精确到1）.
【答案】6
【解析】从被开方数看，值在6~7之间，而6.5的平方为42.25，故其值在6~6.5之间，四舍五入，故精确后为6.
【知识点】算术平方根
22．（2019四川省成都市，22，4）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根，且x12+x22-x1x2=13，则k的值为________.
【答案】-2
【解题过程】利用根与系数关系可得x1+x2=-2，x1·x2=k-1，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=13，即（-2）2-3（k-1）=13，解得k=-2.
【知识点】根与系数关系；解一元一次方程；配方
23．（2019四川省成都市，23，4）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，再往该盒
子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为
7
5
，则盒子中原有的白球的个数
为_______.
【答案】20
【解题过程】设原来有白球x 个，根据题意列方程
5+5 105
7
x
x
=
++
，解x=20
【知识点】概率的求法
24．（2019四川省成都市，24，4）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为________.
D′
A'
D
A
B C
B′
【答案】3
【解题过程】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．
D′
A'
D
A
B C
B′
F
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；矩形的性质
25．（2019四川省成都市，25，4）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整
点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为
2
15
，则△OAB的内部（不含边界）的整点的个数为____________.
【答案】4或5或6
【解题过程】解：设B（m，n），∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵△OAB的面积＝5?n＝，∴n＝3，
结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例） 当2＜m ＜3时，有6个整数点； 当3＜m ＜时，有5个整数点； 当m ＝3时，有4个整数点； 可知有6个或5个或4个整数点；
故答案为4或5或6； 【知识点】点的坐标
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26．（2019四川省成都市，26，8）（本小题满分8分）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x （x 为整数）个销售周期每台的销售价格为x 元，y 与x 之间的满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；
（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p=21x+2
1
来描述，根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【思路分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设销售收入为w ，列出w 关于x 的函数关系式，利用二次函数顶点坐标公式求出最大销售收入时x 的值，再代入（1）中函数关系式求y 值即可. 【解题过程】（1）设函数解析式为y=kx+b 则700055000k b k b +=??
+=?解得500
7500k b =-??=?
，∴函数关系式为y=-500x+7500
（2）设第x 个销售周期的销售收入为w ，则w=（-500x+7500）（
21x+2
1
）=-250x 2+3500x+3750 当x=7时，w 有最大值为4000
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元 【知识点】一次函数；待定系数法；二次函数顶点坐标
27．（2019四川省成都市，27，10）（本小题满分10分）如图1，在△ABC 中，AB=AC=20，tanB=
4
3
，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作∠ADE=∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF.
（1）求证：△ABD ∽△DCE ； （2）当DE ∥AB 时（如图2），求AE 的长；
（3）点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由.
【思路分析】（1）利用一线三等角证明出∠BAD=∠CDE，再利用等腰三角形得到角等证明相似；（2）作AM⊥BC 于点M，解直角三角形求出BM，进而求得BC，易证∠BAD=∠ADE=∠EDC=∠B=∠ACB，从而得∴△ABD∽△CBA，通过比例式求BD，再利用平行线得比例式求AE长；（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC 于点M，AN⊥FH于点N，易得△AFN∽△ADM，从而利用AM、BM的值求得tanB的值，进而求得AN、CH，利用DF=CF条件求出CD，进而求BD长.
【解题过程】解：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE.
（2）过点A作AM⊥BC于点M.
在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM·tanB=4k·3
4
=3k
由勾股定理，得AB2=AM2+BM2∴202=（3k）2+（4k）2
∴k=4
∵AB=AC，AM⊥BC
∴BC=2BM=2·4k=32
∵DE∥AB
∴∠BAD=∠ADE
又∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB ∴∠BAD=∠ACB
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA
∴AB DB CB AB
=
∴DB=
22
2025
322 AB
CB
==
∵DE∥AB
∴AE BD AC BC
=
∴AE=
25
20
2
=
32
AC BD
BC
?
g
=
125
16
（3）点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.
过点F 作FH ⊥BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，AN ⊥FH 于点N ， 则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°. ∴四边形AMHN 为矩形， ∴∠MAN=90°，MH=AN ， ∵AB=AC ，AM ⊥BC ， ∴BM=CM=
12BC=1
2
×32=16 在Rt △ABM 中，由勾股定理，得AM=2222201612AB BM -=-=
∵AN ⊥FH ，AM ⊥BC
∴∠ANF=90°=∠AMD ∵∠DAF=90°=∠MAN ∴∠NAF=∠MAD ∴△AFN ∽△ADM ∴
3
==tan =tan =4
AN AF ADF B AM AD ∠
∴AN=
34AM=3
4
×12=9 ∴CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7
当DF=CF 时，由点D 不与点C 重合，可知△DFC 为等腰三角形 又∵FH ⊥DC ∴CD=2CH=14
∴BD=BC-CD=32-14=18
所以，点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF ，此时BD=18
【知识点】相似三角形的判定和性质；解直角三角形；矩形的性质和判定；等腰三角形的性质 28．（2019四川省成都市，28，12）（本小题满分12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，5），与x 轴相交于B （-1，0），C （3，0）两点. （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC ′D ，若点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C ′和点D 的坐标；
（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.
【思路分析】（1）直接利用待定系数法求解；（2）设抛物线的轴对称性与x 轴交于点H ，可得BH=
12BC=1
2
BC ′，则利用三角函数易得∠ABC=60°，从而通过直角三角形和等腰三角形易得C ′和D 点坐标；（3）分类讨论：
①当点P 在x 轴上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C ′P ，利用（2）条件构造△BCQ ≌△C ′CP ，进而得到C ′P=CQ=CP ，从而得到BP 是CC ′垂直平分线，可得D 点在BP 上，利用B 、D 坐标求直线解析式；②当点P 在x 轴下方时，点Q 在x 轴下方同理可求.
【解题过程】
解：（1）由题意，得4250930a b c a b c a b c -+=??
-+=??++=?
解得123a b c =??
=-??=-?
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3
（2）∵抛物线与x 轴的交点为B （-1,0）、C （3,0） ∴BC=4，抛物线的对称轴为直线x=1
设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1,0），BH=2 由翻折得C ′B=CB=4
在Rt △BHC ′中，由勾股定理，得C ′H=2222-=4-2=23C B BH ′ ∴点C ′的坐标为（1,23），tan ∠C ′BH=23
==32
C H BH ′ ∴∠C ′BH=60° 由翻折得∠DBH=
1
2
∠C ′BH=30° 在Rt △BHD 中，DH=BH ·tan ∠DBH=2·tan30°=
23
3
∴点D的坐标为（1
，
23
3
）
（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′
∵BC′=BC，∠C′BC=60°，∴△C′CB为等边三角形分类讨论如下：
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方
连接BQ，C′P，∵△PCQ，△C′CB为等边三角形
∴CQ=CP，BC=C′C，∠PCQ=∠C′CB=60°
∴∠BCQ=∠C′CP
∴△BCQ≌△C′CP
∴BQ=C′P
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ=CQ
∴C′P=CQ=CP
又∵BC′=BC
∴BP垂直平分CC′
由翻折可知BD垂直平分CC′
∴点D在直线BP上
设直线BP的函数表达式为y=kx+b
则
0=-k+b
23
=k+b
3
?
?
?
?
?
解得
3
3
3
3
k
b
?
=
??
?
?=
??
∴直线BP的函数表达式为y=
3
3
x+
3
3
②当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方∵△QCP，△C′CB为等边三角形
∴CP = CQ，BC=C′C，∠C′CB=∠QCP=60°∴∠BCP=∠C′CQ
∴△BCP≌△C′CQ
∴∠CBP=∠CC′Q
∵BC′=CC′，C′H⊥BC
∴∠CC′Q=1
2
∠CC′B=30°
∴∠CBP=30°
设BP与
y轴相交于点E
在Rt△BOE中，OE=OB·tan∠CBP=OB·tan30°=1×
3
3
=
3
3
∴点E的坐标为（0，-
3
3
）
设直线BP的函数表达式为y=k′x+b′
则
0-+
3
-=
3
k b
b
=
?
?
?
?
?
′′
解得
3
=-
3
3
=-
3
k
b
?
??
?
?
??
′
′
∴直线BP的函数表达式为y=-
3
3
x-
3
3
综上所述，直线BP的函数表达式为y=
3
3
x+
3
3
或y=-
3
3
x-
3
3
【知识点】待定系数法；轴对称性；等边三角形的性质；全等三角形的判定和性质；解直角三角形