届高三联考数学试题(理)(-8-29)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={x ln(1)y x =-},集合B={y
2y x =},则A B =( ).
A .[0,1]
B .[0,1)
C .(,1]-∞
D .(,1)-∞
2.复平面内,复数2
)31(i +对应的点位于( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若平面向量)2,1(-=a 与b 的夹角是180°,且53||=b ,则b 等于( )
A .)6,3(- B.)6,3(- C.)3,6(- D.)3,6(-
4.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )
A .1
B .2
1
C .3
1 D .61
5.设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-,若当[0,5]x ∈时,
)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解集是( )
A .()2,0)0,2(?- B.)2,0( C.
[)()2,02,5?-- D. ()()2,02,5?--
6.动点在圆12
2=+y x 上移动时,它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )
A .4)3(2
2
=++y x B .1)3(2
2=+-y x C .14)32(2
2
=+-y x
D .2
1)23(22=
++y x
7.函数y =Asin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<2
π
)的图象如图所
示,则y 的表达式为( ) A.y =2sin(
611x 10π+) B.y =2sin(6
11x 10π
-) 第4题图
正视图 侧视图
俯视图
y 2 x
6π3
2π
o
C.y =2sin(2x +
6π) D.y =2sin(2x -6
π) 8.如图,在杨辉三角形中,斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列}{n a :1,3,3,4,6,5,10,…,则a 21的值为( )
A .66
B .220
C .78
D .286
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
9.Rt ABC ?中,3,4,5AB BC AC ===,将三角形绕直角边AB 旋转一周所成
的几何体的体积为____________
10.点(,)P x y 在直线40x y +-=上,则2
2
x y +的最小值是________________.
11.设f (x )= 12
32,2,
log (1),2,
x e x x x -??-≥?? 则不等式f (x )>2的解集为________________.
12. 已知x 、y 满足约束条件20
10220x y x y -≤??
-≤??+-≥?
,则z x y =-的取值范围为___________
13. 已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63
(),(),52
a f
b f ==
5
(),2
c f =请比较,,的大小a b c _______________.
14.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L 形(每次旋转900仍为L 形图案),那么在由45?个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案 的个数是__________
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15、(本题满分12分)已知函数12)6
(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且
(1)求实数,a b 的值;
(2)求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间.
16、(本小题满分12分)已知a 为实数,函数2()(1)()f x x x a =++. (1) 若(1)0f '-=,求函数y =()f x 在[-
3
2
,1]上的最大值和最小值; (2)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范围.
17、(本题满分14分)箱中装有15张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有1到
15中的一个号码,正面号码为n 的卡片反面标的数字是.40122+-n n (卡片正反面用颜色区分)
(1)如果任意取出一张卡,试求正面数字大于反面数字的概率;
(2)如果同时取出两张卡片,试求他们反面数字相同的概率.
18、(本小题满分14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是正方形,侧棱⊥PD 底面ABCD ,DC PD =,E 是PC 的中点,作PB EF ⊥交PB 于点F .
(I) 证明 ∥PA 平面EDB ;
(II) 证明⊥PB 平面EFD ;
(III)求二面角D -PB -C 的大小.
19、(本小题满分14分)已知函数()f x 对任意的实数,x y 都有
()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++,且(1)1f =
(1)若+∈x N ,试求()f x 的解析式
(2)若+∈x N ,且2x ≥时,不等式()(7)(10)f x a x a ≥+-+恒成立,求实数a 的取值范围.
20、(本小题满分14分) 设A ,B
分别是直线y x =
和y =上的两个动点,并且
||20AB =P 满足OP OA OB =+.记动点P 的轨迹为C .
(I) 求轨迹C 的方程;
(II)若点D 的坐标为(0,16),M 、N 是曲线C 上的两个动点,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围.
2008届高三级联考数学试题答题卡(理)
一、选择题(每题5分,10题共50分)
二、填空题(每题5分,4题共20分) 9、_____________________________ 10、_______________________________
11、_____________________________ 12、_______________________________
装
订 线
外 座号______________考试编号_________________________
13、_____________________________ 14、_______________________________
三、解答题(共80分)
装订线外不得
答
装 订 线
外 不 得 答 ____________姓名______________座号______________考试编号_________________________
一、 选择题:
1.解;A={
2.解:()
i i
322312
+-=+,选B
3.解:设),(y x =,2180y x -=
y x 2)1(535-=-??∴ (1)
又
5322=+y x (2)
由(1)(2)可解得x=-3,y=6 4.解:V=
6
1112131=??? 5. [)
5,2(0,2)-- 奇函数关于原点对称,补足左边的图象
6.解:设动点),(y x P 在圆上,设中点坐标为),(,
,
y x
∴?????=-=,
,232y
y x x 代入圆的方程可得C
7.解:A=2, 由五点法可得???????=+?=+?233
22
6π??ππ??π
解得?????==62π??
8.解:213=-a a
335=-a a
457=-a a
……
111921=-a a
累加得662
)
111(11113211132121=+=
++++=++++= a a 二.填空题:
9. 16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径,以AB 为高的圆锥,
2211431633
V r h πππ==??=
10.8 22
x y +
可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短:d =
=11. 解:当2
<<∴>∴>∴-x x e e
x
当2≥x 时,10,91,2log 2)
1(3
2
>∴>-∴>-x x x
或10-
12. 解:作出可行区域可得,当1,0==y x 时,z 取得最小值-1
当0,2==y x 时,z 取得最大值2.所以取值范围为[]1,2-
13. 解:)54()54()542()56(f f f f a -=-=-===54
lg
-, )21()21()212()23(f f f f b -=-=-===21
lg -
)21()212()25(f f f c =+===21
lg
∴ 02
1
lg ,21lg 54lg 0,21lg 54lg 0<-<-<∴>>,b a c <<∴
14. 48个
三.解答题:
15、 解: (0)8,()12,6
f f π
==(1)由可得 ………………………2分
3
(0)28,()12,62
π===+=f b f b ………………4分
………………6分
………9分
T=
222
π
π
πω
=
=,所以,最小正周期为π ………………10分 单调增区间为,3
6│π
π
ππ??
-≤≤+
∈???
?
x
k x k k Z ………12分
16、解 (1)∵(1)0f '-=,∴3210a -+=,即2a =. …………2分
∴2
1()3413()(1)3
f x x x x x '=++=++.
由()0f x '>,得1x <-或1
3
x >-; ………………4分
4,所以==b
a (2)()24cos 248sin(2)4,
6
π
=++=+
+f x x x x
由()0f x '<,得113x -<<-.因此,函数()f x 的单调增区间为3[1]2--,,1
[1]3-,;单调减
区间为1
[1]3--,. ………………6分
()f x 在1x =-取得极大值为(1)2f -=;()f x 在13x =-取得极小值为150
()327f -=
. 由∵313()28f -=,(1)6f = 且5027>
13
8
∴()f x 在[-
32
,1]上的的最大值为(1)6f =,最小值为313
()28f -=. ……8分
(2) ∵32()f x x ax x a =+++,∴2()321f x x ax '=++.
∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线,∴()0f x '=有实数解. ……10分 ∴
244310a =-??≥,∴23a ≥,即
a a ≤≥
或.
因此,所求实数a
的取值范围是([3)-∞-+∞,
,. …12分 17、解:(1)由不等式2
1240,得5
15
……6分 答: 所求的概率为
2
15
………………7分 (2)设取出的是第m 号卡片和n 号卡片(≠m n ),则有
2212401240-+=-+m m n n ………………8分
即2
2
12(),12由得-=-≠+=n m n m m n m n ………………10分 符合条件的取法为1,11;2,10;3,9;4,8;5,7; ………12分 故所求的概率为
2
155121
=C 答所求的概率为
2155121
=C ………………14分
18、解:方法一:(1) 证明:连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO . ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点,
在PAC ?中,EO 是中位线,∴PA // EO ,
而?EO 平面EDB 且?PA 平面EDB ,所以,PA //平面EDB .…5分
(2) 证明:∵PD ⊥底面ABCD 且?DC 底面ABCD , ∴DC PD ⊥,
∵PD=DC ,可知PDC ?是等腰直角三角形,而DE 是斜边 PC 的 中线,∴PC DE ⊥. ① 同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .
∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而?DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而?PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥
又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以
PB ⊥平面
EFD . ………………10分
(3) 解:由(2)知,DF PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角. 由(2)知,DB PD EF DE ⊥⊥,.
设正方形ABCD 的边长为a ,则a BD a DC PD 2,===,
a BD PD PB 322=+=, a DC PD PC 222=+=,a PC DE 2
22
1==.
在PDB Rt ?中,a a
a a PB BD PD DF 36
32=?=?=
. 在EFD Rt ?中,233
6
22
sin ===a a DF DE EFD ,∴3π
=∠EFD .
所以,二面角C —PB —D 的大小为3π. ………………14分
方法二(理科选择):如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设a DC =.
(1)证明:连结AC ,AC 交BD 于G ,连结EG . 依题意得)2
,2,
0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A . ∵底面ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,
故点G 的坐标为)0,2
,
2
(a
a
, 且(,0,),(,0,)22
a a
PA a a EG =-=-.
∴2=,这表明PA//EG .
而?EG 平面EDB 且?PA 平面EDB ,∴PA//平面EDB . (2)证明:依题意得)0,,(a a B ,),,(a a a -=.
又(0,,)22
a a
DE =,故022022=-+=?a a . ∴DE PB ⊥.
由已知PB EF ⊥,且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . (3)解:设点F 的坐标为),,(000z y x ,λ=,则
),,(),,(000a a a a z y x -=-λ.
从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===.所以
00011
(,
,)(,(),())2222
a a FE x y z a a a λλλ=---=---. 由条件PB EF ⊥知,0=?PB FE ,即
0)21()21(222=---+-a a a λλλ,解得3
1
=λ
∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ,且(,,)366a a a FE =--,2(,,)333
a a a
FD =---
∴03
23
3
2
2
2
=+--=?a a a ,
即FD PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.
∵6
91892
222a a a a FD FE =
+-=?,且 a a a a 6636369||222=++=,a
a a a 3
69499||222=++=,
∴2
13
6666cos 2=
?==a a a EFD . ∴3π=∠EFD .
所以,二面角C —PB —D 的大小为3
π.(或用法向量求)
19、解:(1)令1y =则(1)()(1)2(1)1f x f x f x +=++++, ………2分 所以(1)()24f x f x x +-=+, ………………4分
于是当x N +
∈时,有
(2)(1)214f f -=?+,(3)(2)224f f -=?+,
(4)(3)234f f -=?+,……,()(1)2(1)4f x f x x --=-+ ………6分
将上面各式相加得:2
()33f x x x =+-(x N +
∈) ………7分
(2)因为当x N +∈,且2x ≥时,2
()33f x x x =+-, ………8分 所以不等式()(7)(10)f x a x a ≥+-+恒成立,即当x N +∈,且2x ≥时,不等式
233(7)(10)x x a x a +-≥+-+,等价于247(1)x x a x -+≥-恒成立,
又2x ≥,所以
247
1x x a x -+≥- ………12分 因为2474(1)2211x x x x x -+=-+-≥--(当且仅当4
131
x x x -==-即时取等号)
,所以247
1
x x x -+-的最小值是2,故当2a ≤时满足条件. ………14分
20、解:(I) 设P (x ,y ),因为A 、B
分别为直线5y x =
和5
y x =-上的点,
故可设11()A x x
,22(,)B x . ∵OP OA OB =+,
∴1212,)x x x y x x =+???=-??
.
∴1212,x x x x x y +=??
?-=??.………………………4分
又20AB =
, ∴2212124
()()205
x x x x -++=.…………………5分
∴22542045
y x +=. 即曲线C 的方程为22
12516x y +=.…………………6分
(II) 设N (s ,t ),M (x ,y ),则由DM DN λ=,可得(x ,y - 16) = λ (s ,t - 16). 故x = λs ,y = 16 + λ (t - 16).……………………………………8分
∵M 、N 在曲线C 上,
∴22
222
1,2516(1616) 1.25
16s t s t λλλ?+=???-+?+=??……………………………………10分 消去s 得 222(16)
(1616)11616
t t λλλ--++=.
由题意知0≠λ,且1≠λ,解得1715
2t λλ
-=.……………………………12分
又 4t ≤, ∴
171542λλ-≤. 解得 35
53
λ≤≤(1≠λ).
故实数λ的取值范围是35
53
λ≤≤(1≠λ).………………………………14分