圆复习——（12.6）
一、选择
1.下列说法中，正确的是( )
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等
D.弦相等所对的圆心角相等
2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )
图24-1-3-1
A.3∶2
B.5∶2
C.5∶2
D.5∶4
3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF 等于( )
A.2∶1
B.3∶2
C.2∶3
D.0
二、填空
1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.
2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.
垂径定理
一.选择题
1、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二.填空题
★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米
P
B
A O
图 4 ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是
★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30o,则AB= cm
★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm
★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点
D 。若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm
★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为
三.解答题 ★★6．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长
C
《 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒ = A'B' ⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇ 2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； 、 ②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数 相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=? AOB AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧； ④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 3、应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
一.教学内容： 弧、弦、圆心角 二. 教学目标： 1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样还有： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以 = . （2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。 分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。 证：∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD 。 证：∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中，?=∠=? ?60ACB AC AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 (1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心 距也不相切。 (2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： c c 若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFB CE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆 心角定理推论证明。 其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的 “弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 (4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360份，我 们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。 一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。 圆心 弧弦 弦心距之间的关系 这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。 而不是角与弧相等，在书写时要防
弧，弦，圆心角的关系练习题 1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________ 2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。 4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠ EFO= °。 5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB ＞2BC D. AB<2BC 6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠ COD= °，∠DOB= °。 7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。 8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ； ②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证： ． 10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。求证：∠OBA=∠OCD 。 11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。
《弧、弦、圆心角》的教学实录 关于《弧、弦、圆心角》的教学实录 教学过程： 活动1：一、等圆、同圆的理解 1、学生动手操作：拿出准备好的圆形纸片，然后把它们重叠起来 师：同学们，拿出我们准备的圆形纸片，然后把它们重叠起来你有什么发现? 2、交流： 师：把两个圆放在一起，就是把圆重叠在一起,它们的大小一样吗? 生1：大小一样 生2：形状一样 生3：两个圆可以完全重合 3、归纳： 师：我们把能够完全重合的圆叫做等圆。 师：如何理解同圆? 生：同圆指的是同一个圆。 师：好，正确 二、引入
师：今天这节课老师将和同学们一起探讨在同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系。 活动2：(一)复习问题： 师：什么是弧、弦[ 在黑板画圆、作出弧、弦，引导学生观察] 生1：弧是指圆上任意两点间的部分 生2：弦是指连接圆上任意两点所得线段 师：很好，这两位同学回答正确 (二)圆心角的认识 1、观察图片 (1)找角，观察角的特征 师：图中有一个角，你看到了吗?请你说出这个角 生：有一个角，是AOB (2)归纳总结得出圆心角的概念 教师出示圆形纸片(画有一个圆心角) 师：请同学们观察，找到这个角的顶点。 生1：这个角的顶点在圆心 生2：角的两边在圆上 生3：角的顶点在圆心，两边在圆上 师：角的顶点在圆心 归纳： 师：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、巩固学生对圆心角的理解 问题： 师：找出图中的圆心角，并说明理由 生1：是圆心角，因为它的顶点在圆心并且两边与圆各有一个交点。 生2：不是圆心角，因为它的顶点不在圆心 生3：不是圆心角，因为它的两边与圆没有交点 活动3：弧、弦、圆心角关系的探究 引述：认识了弧、弦、圆心角，接下来我们就可在以同一个圆或等圆中探究它们的关系了。 1、圆的旋转不变性理解 问题： 师：圆是轴对称图形吗对称轴是什么圆是中心对称图形吗对称中心是什么 生1：圆是轴对称图形，对称轴是圆直径所在的直线 生2：圆是中心对称图形，对称中心是圆心 生3：圆是轴对称图形又是中心对称图形 师：如果将圆旋转任意一个角度，所得图形还能和原图形重合吗? 学生动手操作 生1：将圆旋转30度角，所得图形还能与原图形重合 生2：将圆旋转60度角，所得图形还能与原图形重合 生3：将圆旋转90度角，所得图形还能与原图形重合
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:
(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB＝CD.求证:AD＝BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD＝BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB＝CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD＝BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB＝CD,∴∠AOB＝∠COD. ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB, 即∠AOD＝∠BOC,∴AD＝BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.
24.1圆的有关性质(第3课时) 一、内容和内容解析 1．内容 弧、弦、圆心角之间的关系． 2．内容解析 弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用． 二、目标及其解析 1．目标 (1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用． (2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明． 达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化． 三、教学问题诊断分析 由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路． 本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用． 1
初中数学弧、弦、圆心角例题讲解 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ? AB =?''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴? AB 与?''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 B A O B '
《弧、弦、圆心角》教学设计 教学内容：人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标： 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性。 2.利用圆的旋转不变性，发现圆中弧、弦、圆心角关系，并能正确推理和应用。 3.通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。 4.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理，并利用其解决相关问题。 教学难点：定理中条件的理解及定理的探索。 教学过程： 一、创设情景: 想一想 （1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ （2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？ （3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？ 二、探究新知 （1）如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做． 将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ 为什么？你能证明吗？ B B’ （2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？ 做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB=60°，连结AB和A’B’，则弦AB 与弦A’B’，弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现 结论依旧成立。
C O A B （3）说一说 尝试将上述结论用数学语言表达出来。 学生得出：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两 条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？ 学生小组讨论，归纳得出：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 三、例题讲解 例1：如图5：在⊙o 中，弧AB=弧AC ,∠ACB ＝60°。 求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC. 分析：由弧AB=弧AC ,得到AB=AC ，再由∠ACB=60°， 得到△ABC 是等边三角形，AB=AC=BC,所以∠ACB=∠BOC=∠AOC. 变式训练：把“求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC ”改为“求∠AOB 的度数”。 例题小结：通过例题可以发现在同圆或等圆中，要说明两条弧相等可以寻找它们所对的弦或圆心角的关系来解决，同样的方法也可以来说明弦相等或圆心角相等。 例2：如图4：AB 是⊙O 的直径， = = ,∠COD ＝35°, 求∠AOE 的度数。 （教学说明：让学生自主探索问题解决的途径，并通过交流、形成技能） 四、巩固练习： 1.如图：AB 、CD 是⊙O 的两条弦。 （1） 如果AB ＝CD ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （2） 如果 = ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （3） 如果∠AOB ＝∠COD, 那么＿＿＿，＿＿＿。 （4） 如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F, OE 与OF 2. 如图7所示，AB 为⊙O 连结OC 、OD ，并延长交⊙（1）试判断△OCD （2）求证：弧AE=弧BF O A D C E F O D C
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 例1. 例2. A C .. 例3. 例4.
【模拟试题】 一. 选择题。 1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ） A. AB A B ?=? '' B. AB A B ?>?'' C. AB A B ??2 C. AB CD ? B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定 6. DAC 二. 1. 2. 3. 4. 弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。 5. 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。 6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ??? 、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝ _______，∠BOC ＝________，∠COA ＝________。 7. 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ?是⊙O 的1 4 ，则弦AB ＝_________，AB 的弦心距＝ _________。
《弧、弦、圆心角》说课稿 一、教材分析 -拨村的地位与作用 本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级（上） § 24.1.3《弧、弦与圆心角的关系》的内容。本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关 系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能 力有重要的作用。 二教学口标 知识与能力 1. 了解圆心角的概念 2?富沖呱、亜■.忖心闩久系匸口应英结论 3.能灵活应用关系定理及其结论解决问题。 过程与方法 经历探索弧、弦、圆心角关系疋理及其结论的过?稈发展学牛的数学思考能力情感态度与价值观 通过积极引导、帮助学生有意识地积累活动经验和获得成功的体验，增强学生学习的自M匕悄感态度与价值观 二教学巫讣 重点：弧、弦、圆心角关系定理及其结论的应用。 难点：定理及其结论的探索与应用。 1. 教法分析 根据学生规有的知识水平及宁匸的仆龄峙征和心理特征逋过动手实验操作使学生把圖少-般的小心对称图形区别开来巾此激发兴越学列新的知识然后指导学牛.迪.过施转操作后观察、探究、讨论、自己得出结论。教师再加以点拨总结。这样学生的印象比较深掌握的也比较牢固。接着设计相应的例题与练习使学生利用已探究的知识解决证明或计 毎趣使学牛.贞TT具备解决问题的泄力促进学牛共同进步。教学过稈川及吋给学牛鼓励肯定F半探丸的结怆的不简单之处从冇提高哮习怕兴趙和增强学习的信心。 2 . 法今祈 通过教学:nv^.tril而「实试如川师血什不交计ti.T.tril联兗打殘现闰心角、弧、弦Zl Uijdl^关棗
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（） A. 2cm B. 3cm C. cm D. cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的⊙O中，为60°，则弦AB的弦心距是（） A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么的关系是（） A. B. C. D. 不确定 二. 填空题。 6. 已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。 10. 若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，度数为__________，△ADC周长为__________ cm。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。 13. 已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若度数
圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 章节测试 基础练习 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2．在半径为5cm 为圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．在两个半径不同的圆中，分别有和 ，若 和 的度数相等，那么下面结论中正确 的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 4．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图7－33，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA 、OB 分别和小圆相交于A ＇、B ＇，则下面正确的是（ ）． A ．弦A B 和弦A ′B ′相等 B ．的长度＝的长度 C ． ＝ D ． 的度数＝ 的度数 图7－33 6．在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧，则的度数是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 7．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 8．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、 D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝C ；② ＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确 的有（ ）．
24.1弧、弦、圆心角 ——主备：王喧梅【教学目标】 1、理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 2.掌握在同圆或等圆中，结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角． 3、发现并掌握在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用；并会初步运用这些关系解决有关的问题 【教学重难点】 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点：探索圆心角定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 包含几个要点？分别是： 2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ◎练习：下列图形可以用垂径定理及推论的有哪些？不能的请说明理由
二、自主学习课本83、84页内容，完成问题 1、思考83页探究，圆形纸片旋转180?后与·原图形能不能重合？ 2、什么是圆心角？ 3、认真学习思考3,得出圆心角相关定理及推论 三、知识点拨（PPT 展示） 1、PPT 展示圆进行旋转 发现：把圆绕圆心旋转任意一个角度， 仍与原来的圆重合。 2、结论： 3、 4、圆心角定义 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 5、圆心角定理 请同学们思考、观察动画并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′,若将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 解：=，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 AB ''A B B ' B A A 'O B A O O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
数学教案－圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系 第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性。引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容。这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性。定理：在同圆等
圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，。（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性。）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB ＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果 =，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，
图2 《弧、弦、圆心角》教学设计 教学内容：人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标：1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性。 2.利用圆的旋转不变性，发现圆中弧、弦、圆心角关系，并能正确推理和应用。 3.通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。 4.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理，并利用其解决相关问题。 教学难点：定理中条件的理解及定理的探索。 教学过程：一．情景引入: 1. 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？(课件演示)结论：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都与原图形重合。 2. 定义：像∠AOB 这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 3. 认识：圆心角∠AOB 所对的弧是、弦是AB ，它们在⊙O 中是一一对应的。 二．探究新知： 1. 课件演示：在圆形的纸片上画一个圆心角∠AOB ，并把它切下，把∠AOB 绕圆心O 旋转一个角度到∠A ′OB ′位置，同时在该圆形纸上记下。（在这个过程中你能发现哪些等量关系？） 2. 命题：如图2在⊙O 中,若∠AOB ＝∠A ′OB ′ , 则AB ＝A ′B ′, = .(想一想，如何证明这个命题？) （教学说明：学生通过观察发现△AOB ≌△A ′OB ′,从而得到AB ＝A ′B ′, 于 是 与 重合， 则 = ） 3. 形成结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4. 变式：如果把上述命题中的条件“∠AOB ＝∠ A ′OB ′”改为“AB ＝A ′B ′或= ”，那么可以得到怎样的结论呢？ 图1
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一） 教学目标：1、本节课使学生理解圆的旋转不变性；2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．教学难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．教学过程：一、新课引入：同学们请观察老师手中的圆形图片．ab为⊙o的直径．①我把⊙o沿着ab折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙o沿着圆心o旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的旋转不变性．从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．二、新课讲解：首先出示圆形图片，引导学生观察：下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．提问两名中下生回答弧、弦的概
念．接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠aob所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．接下来我们来讨论：在⊙o中，如果圆心角∠aob=∠a′ob′，那么它们所对的和，弦ab和a′b′、弦心距om和om′是否也相等呢？教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠aob连同ab沿着圆心o旋转，使射线oa与oa′重合．由圆的旋转不变性，射线ob与ob′重合．因为∠aob=∠a′ob’，oa=oa′，ob=ob′，∴点a与点a′重合，ab与a′b′重合，从点o到ab的垂线om和点o到a′b′的垂线om′也重合．即，= ，ab=a′b′，om=om′．于是由一名学生总结定理内容，教师板书：定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否
弧、弦、圆心角之间的关系（教学设计） 竹山县竹坪中学 程少林何艳华 一、教学目标 知识与技能 掌握圆的有关性质，了解圆心角概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个值相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等以及它们在解题中的应用。过程与方法 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具具体问题。 二、教学过程 复习：圆是轴对称图形，其对称轴是__________________________。它是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 观察： 课件演示圆绕圆心旋转 从上面圆绕圆心旋转的过程可以看出，实际上圆绕圆心旋转任意角 我们把圆的这种特性叫做圆的旋转不变性 归纳：圆的性质 1、圆既是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴又 其对称中心是圆心 2、圆具有旋转不变性。 学生自学课本理解圆心角的概念 练习：1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？并观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。） 已知:如图∠AOB=∠COD, 求证: AB=CD 证明:∵OA=OC ，OB=OD， ∠AOB=∠COD, ∴当点A与点C重合时， 点B与点D也重合。 ∴AB=CD， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。(一定对吗?) 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. ∠AOB＝∠AOB′，为什么? 此时成立吗? 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,讨论： 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角，所对的弦及弦的弦心距有何关系？ 2. 在同圆或等圆中，如果相等，那么它们所对 的圆心角，所对的弧及弦的弦心距有何关系？ O O β α∠ = ∠ A B=C D？ 在同圆或等圆中，
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标： （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用； （2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力； （3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲． 教学重点、难点： 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论． 难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养． 教学活动设计 教学内容设计 （一）圆的对称性和旋转不变性 学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形 和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念： 圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距． （二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系， 得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． （三）剖析定理得出推论 问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流） 举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化 对定理的理解，培养学生的思维批判性.） 问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等， 将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展） （四）应用、巩固和反思
九年级数学《弧、弦、圆心角》公开课教学反思 九年级数学《弧、弦、圆心角》公开课教学反思 我执教一节九年级数学《弧、弦、圆心角》的公开课。课前，我精心编制了导学案，在导学案中我把该课内容分成了二大板块，每一板块安排两个组准备展示方案，再优选一个组进行展示。每一板块我都把知识点进行了问题化的分解，以便于学生更好的自学；设置了互动策略与展示方案的预设。我提前把导学案发给了学生，并布置学生对着导学案进行预习，完成了独立学习的环节。上课时，我简单出示课题后，分配各组进行10分钟的对学与讨论，各组立即行动起来：有用小黑板进行讲解的，有对着书两个、三个在一起讨论的，尤其是第五组同学，六个同学分成了每二人在一起进行对学。分到任务的小组根据展示方案的预设同时要安排展示任务。我一直在每个小组进行巡视，了解各组的对学与讨论效果，对有困难的小组进行适当的引导与帮助。在这个过程中，同学们全身心地投入，充分展现了他们的独学、对学、合作探究能力。 学生在讨论结束后，一到四组分别阐述了他们的展示方案，赢得了展示任务的第二组在组长陈梦萍同学的带领下，讲解条理清晰，逻辑性强，互动精彩，组长的补充为组员的展示起到画龙点睛的作用；组员徐家豪作为一位后进生，在讲解圆心角的概念时，能抓住概念的核心，即顶点要在圆心上的角，并举了一个顶点不在圆心上的角的例子向其他同学进行提问讲解，他能把该问题讲解的如此透彻，可见课
改中的对学与讨论环节对于中下生具有很大的帮助；在讲解圆心角相等，所对的弦相等时，能够把扇形折叠成三角形直观的得出弦相等。当然，在展示过程中，第二组有些同学过于紧张，导致没有很好的参与组内的展示。第四组准备的`方案与展示过程不一致，第三组准备的方案不够充分与细致。在这个过程中，同学们充分表现了自己的自信与胆量，让我真正懂的了“给学生一个机会，他还给你一个精彩”。 点评过程中，参与点评的同学能针对问题的关键点与着重点进行点评，针对第四组的点评，同学们点评了该组在讲解定理时，没有讲清楚等圆时该定理的关系、小组准备展示方案不够完善、没有用证明的方法说明定理的关系等。 通过此节课的教学，让我看到了课改的精髓与魅力，并坚信要持之以恒地把课改深入进行下去。