《中国书法史》（习题与答案）
《中国书法史》（习题与答案）1
先秦书法
一、简述题
１、为什么说殷商时期的甲骨文、金文已经具备了后世书法的诸要因素？结合图片进行具体的分析。
答：在甲骨文和金文的遗迹中，我们发现，这些最早的文字已经具备了书法形式美的基本要素，如刻画书法的笔画美，单字造型的对称美，变化美，字与字、行与行之间结合排列上的章法美，以及在书写、刻画和铸造中诸因素所形成的风格美。先秦时期已有了刀和毛笔等书刻工具，审美视觉中的刀味和笔味、金石气等均有体现。
２、西周早、中、晚期的金文在风格特征上有哪些变化？
答：西周时期的金文可以分为三个阶段。
西周前期的金文风格以朴茂凝重、瑰丽沉雄为主要特征，起收多不露锋，线条遒劲峻挺，时有肥厚用笔及点团状的华饰，整体上是线与块面结合的形式美。
西周中期金文风格典雅平和，这一时期的作品用笔柔和而酣畅，笔画圆浑，但装饰意味趋弱。用笔意蕴增强，
行款布局疏朗自如。
西周后期的金文趋于成熟，笔画趋于统一，字型更加自由，风格也呈多样化。显示了大篆成熟时期的风格特征。
西周初期金文中肥瘦悬殊的笔画和呈方圆形状的团长块，在西周晚期基本鲨，笔画的形式美变得纯粹起来，文字向方整化、平直化的方向演化，风格上或简远或峻秀或浑穆或庄严，极为丰富，金文发展到西周，进入了一个辉煌的时代，对春秋战国时期的金文产生了重要的影响。
３、简述春秋战国时期各系文字的地域特色。
答：春秋战国时期的文字，共分为五个大系：齐系、燕系、晋系、楚系和秦系文字。
Ａ齐系文字的书风，结体上由方整变修长，由疏朗变秀丽，书法精劲谨严，结体上多有变化，逐渐摆脱了西周晚期书风的影响，而自成体系。
Ｂ燕系文字，结体疏朗，用笔流畅，字体婉转妩媚而不乏率真。
Ｃ晋系文字，早期的古茂典雅，承西周书风，中期的侯马盟书，落笔重而起笔轻，侧锋起笔，中锋收笔，结体生动自然，强烈的连笔意识，笔画的相互映带反映了篆书书写速度的加快。晚期的晋系文字，结体修长，笔画纤细犀利，精劲富于装饰美。
Ｄ楚系文字，早期的楚公家钟，铭文结体朴肆，行款错落自然，呈纵势；中期的王子午鼎等笔画屈曲宛转，有轻重疾徐的变化，有鸟虫篆；中晚期的楚系文字，结体由纵势向横势过渡子弹库楚帛书，圆转宛劲，行款匀称，笔法统一，到了晚期，楚系文字用笔走向简率
Ｅ秦系文字，春秋早期的秦系文字，承接了西周晚期的传统，笔画细匀劲健，秦公簋笔画瘦劲而委宛，是秦系文字书风的代表。石鼓文笔画匀整，结字疏朗，用笔遵朴而有逸气，行款十分工整，横竖间距大体整齐。
总的来说，除秦系文字外，春秋早期各系文字书风大体继承和发展了西周晚期方正朴茂的风格，从春秋中期到战国早期的各系文字，书风逐渐摆脱了西周的影响，表现为颀长秀美，并出现装饰性较强的鸟虫篆，到战国中晚期各系文字书风起向简率。
４、春秋战国到秦统一这段时间，秦系文字发生了由大篆到小篆的变化，其代表作品有哪些？并阐述其嬗变的轨迹。
答：秦系文字的代表作品有：秦公簋、秦公钵、虢季子白盘、石鼓文、商鞅方升等。
轨迹是：由虢季子白盘———>秦公钟———>秦公簋———>石鼓文———>秦公大墓石刻———>新妻阝虎符———>泰山刻石。
５、什么是“隶变”？结合出土资料简述其发展过程。
答：由篆而隶的书写过程中，依靠快写、省略、假借、合并部首等篆书快写手段，破坏和肢解原有的汉字结构和用笔方式，并在变化中逐步形成自己的规律。这种变化的规律逐渐成熟和普遍运用的时候，早期的隶书就形成了。我们把这一隶书书体的发展演变的现象及其在的规律称为隶变。发生在战国时期的隶变过程，正是中国由古文字向今文字系统的演变过程。青川郝家坪木牍、放马滩秦简、云梦睡虎地秦简，可以清晰地寻到秦篆隶变的轨迹。
二、填空题
１、1996年考古学家在（恒台县史家村）发现一批甲骨文片，距今［3500-3700年］，可以推测中国的书法至少已有［3500］年以上的历史了。
２、甲骨文、金文、六国文字，我们统称为［大篆］。
３、中国书法是以［汉字］为载体的特有的艺术。
４、文字是人们在长期的［实践］中逐渐创造并完善起来的。
５、旬子在［《解蔽篇》］否定了仓颉造字说。认为仓颉不过是文字的整理者。
６、汉字的萌芽，可以上溯到［8000］年前的新石器时代。
小学数学典型应用题之年龄问题 一、含义 已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。 二、数量关系 （1）大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2总和÷(几倍+1)＝较小的数 （2）总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数 三、解题思路和方法 年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。年龄问题都可以转化为和差、和倍、差倍问题。简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式 四、例题 例题（一）：爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈 _____ 岁。 解：（1）本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。 （2）爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。 例题（二）：姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹 _____ 岁。
解：方法1：（1）利用年龄同增同减的思路。 （2）姐妹俩今年的年龄之和是：15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：（39-27）÷2=6（年） （3）那是妹妹的年龄是12+6=18（岁） 方法2：（1）利用年龄差不变的思路。 （2）两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁） 例题（三）：爸爸今年50岁，哥哥今年14岁， _____ 年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。 解：（1）不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。 （2）问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4（倍） （3）根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁） （4）再根据题意可求出14-9=5（年）前
可编辑 解一元一次方程专项训练 1、721231x x -=++ 2、32 2 331=-++x x 3、()()3216325=+--x x 4、3x+3=2x+7 5、()[]153525--++=x x x 6、13 41573--=-x x 7、521321x x -=++ 8、13269-=+--x x x 9、22.15.15 +-=-x x 10、()()13.024.12.153--=+-x x 11、()12321---=-x x 12、4 3 412332-=-x x 13、()()[]2414256-=--+-x x x 14、19.01.02.02.01.0=--x x 15、()()2 7 2315321=-+-x x 16、521=--x x 17、168421x x x x x -+-+= 18、10 8 756232-=++-x x x 19、()()03.534.02.0546.0=++--x x 20、()()11625.0235.0=-++x x 21、3 1 341-=- x x
可编辑 22、8212=--x x 23、()8.01.02.025.0=--x x 24、25 3 6+=-x x 25、 ． 26、()()43231652--=+-x x x 27、27 931x x x x - +- = 28、373212+=+x x 29、()[]1784 3 69+-=-x x 30、()()1067234+=+-+x x x 31、()()164 1331 =+--x x 32、()()[]{}11253=+-+--x x x 33、[3（x ﹣）+]=5x ﹣1 34、()[]{}2253671234=-+++x 35、． 36、 37、232151413121=??? ???-??????-??? ??-x 38、432214+=-x x 39、23312+=-x x 40、14126110312-+=+--x x x 41、32635213-=--+x x x 42、325 3 3151231-=??? ??+-x x x
19 “牛吃草”问题 【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？ 解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头） 答：需要5头牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？ 解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时） 答：17人2小时可以淘完水。
精心整理 英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？? 解题关键：? 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：? （10×22-16×1O）÷(22-1O）? =（220-160）÷12? =60÷12? =5（头）?
这片草供25头牛吃的天数：? （10-5）×22÷（25-5）? =5×22÷20? =5.5（天）? 答：供25头牛可以吃5.5天。? ----------------------------------------------------------------? “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类 工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。? ? 例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供 25头牛吃几天？? 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和 每天新长出的草量这两个不变量。? 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新 长出的草。?
解一元一次方程（含答案） 1、71 2＝＋x ； 2、825＝－x ； 3、7233＋＝＋x x ； 4、735－＝＋x x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 5、914211－＝ －x x ； 6、2749＋＝－x x ；7、162＝＋x ； 8、9310＝－x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 9、x x －＝－324； 10、4227－＝＋－x x ；11、8725＋＝－x x ；12、32 1 41＋＝－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1 13、1623 ＋＝x x 14、253231＋＝－x x ；15、152＋＝－－x x ； 16、23 312＋＝－－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1） . 17、 4 75.0＝）＋＋（x x ； 18、2－41）＝－（x ； 19、511）＝－（x ； 20、212）＝－－－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 21、)12(5111＋＝＋x x ； 22、32034）＝－（－ x x . 23、5058＝）－＋（x ； 24、293）＝－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 25、3－243）＝＋（x ； 26、2－122）＝－（x ； 27、443212＋）＝－（x x ； 28、3 232 36）＝＋（－x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 29、x x 2570152002＋）＝－（ ； 30、12123）＝＋（x .31、452x x ＝＋； 32、3 4 23＋＝－x x ； 解：（去分母） （去括号） （移项） （合并） （化系数为1）
图示法解析牛吃草问题 图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下： 【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是： （1）设1头牛1天吃1份草； （2）要求出每天（或每周等）新生长的草量； （3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。 然后代入计算就可以了。 解：作线段图如下图： 设1头牛1天吃1份草， 则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份， 多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量， 所以每天生长的草量为：＝15份/天； 则原有的草量为：162－6×15＝72份； 21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草， 所以可以吃：天，因此可供21头牛吃12天。 练习题： 1.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完? 2.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级? 3.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级?
4.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完? 5.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 6.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口? 7.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110 亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人? 8.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)? 9.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天? 10.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8 台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?
小升初经典题型分析：牛吃草问题_题型归纳 12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草，假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草。 老师分析与提示： 其实解决牛吃草问题也不难，主要掌握以下几个问题和思路 1、知道什么题算牛吃草问题？ 很多老师在讲牛吃草问题时，并没有指明，孩子也容易忽视。其实这是很重要的一点。 雪帆老师在这里提示各位同学和家长，牛吃草问题，主要是草会变，或增加，或减少。（如果草不发生变化，就可能会变为归一问题，盈亏问题等。） 所以牛吃草有两大题型，一个长草，一个减草。 2、牛吃草问题的一个假设 我们常常假设单位牛头数在单位时间内吃的草为1份，这个容易被忽视，这个也很重要，首先它是用来计算两个草量，其实，它为后面的问题简化作铺垫。 3、牛吃草问题的两个关键量 生长量和原有草量。生长量容易做，因为随着天数的增加，草量会发生变化，根据差量法即可得到。 而原有草量是要注意长草还是减草的。 4、牛吃草问题的技巧 牛吃草问题的最大技巧就是把原有草量和生长量分开考虑。当原有草量吃完后，再把生长量考虑进去即可。 而生长量需要几头牛，正是利用了“假设”得到的。 5、牛吃草问题的变形 其中一个变形就是上面例题，草地的大小不同。 下面我就上面那道例题给出如下思路，有兴趣的朋友可以跟着一起思考： 1、假设一头牛一周吃一份 2、求出两次草量，因为草地大小不同，各自求出一公顷的草量； 3.根据草量之差，求一公顷的生长量； 4、根据生长量，和某一个草量，求一公顷的原有草量，这一步初学者请画图参考，很容易理解的。 5、题目让你求的是16公顷的，所以你要求出16公顷的生长量和原有草量； 6、先求原有草量8周需要几头牛，生长量需要几头牛吃完，就可以求出结果。
解一元一次方程50道练习题（含答案） 1、【基础题】解方程： （1）712＝＋x ； （2）825＝－x ； （3）7233＋＝＋x x ； （4）735－＝＋x x ； （5）914211－＝－x x ； （6）2749＋＝－x x ； （7）32141＋＝－x x ； （8）162 3 ＋＝x x . 1.1、【基础题】解方程： （1）162＝＋x ； （2）9310＝－x ； （3）8725＋＝－x x ； （4）2 5 32 3 1＋＝－x x ； （5）x x －＝－324； （6）4227－＝＋－x x ； （7）152＋＝－－x x ； （8）23 312＋＝－－x x . 2、【基础题】解方程： （1）475.0＝）＋＋（x x ； （2）2－41）＝－（x ； （3）511）＝－（x ； （4）212）＝－－－（x ； （5）)12(5111＋＝＋x x ； （6）32034）＝－（－x x . 2.1、【基础题】解方程： （1）5058＝）－＋（x ； （2）293）＝－（x ； （3）3－243）＝＋（x ； （4）2－122）＝－（x ； （5）443212＋）＝－（x x ； （6）3 23236）＝＋（－x ； （7）x x 2570152002＋）＝－（； （8）12123）＝＋（x . 3、【综合Ⅰ】解方程： （1） 452x x ＝＋； （2）3423＋＝－x x ； （3）） －（）＝＋（3271 131x x ； （4））－（）＝＋（131141x x ； （5）142312－＋＝－x x ； （6）） ＋（－）＝－（2512121x x . （7））＋（）＝＋（20411471x x ； （8）） －（－）＝＋（73 1211551x x . 3.1、【综合Ⅰ】解方程： （1） 432141＝－x ； （2）83457＝－x ； （3）815612＋＝ －x x ； （4）62 9721－＝－x x ； （5）1232151）＝－（－x x ； （6）1615312＝－－＋x x ； （7）x x 2414271－）＝＋（； （8）25 9300300102200103 ）＝－（）－＋（x x . 4、【综合Ⅰ】解方程： （1）307221159138）＝－（）－－（）－－（x x x ； （2） 5 1 413121－＝＋x x ； （3）13.021.02.015.0＝－＋－－x x ； （4） 3.01－x －5 .02＋x ＝12.
1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周 【答案】19头牛 【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长 的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天． 【答案】14头牛 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-10.牛吃草问题（一）
专题一：牛吃草问题 ※. 这里我们把草场草量称为“原有量”把每天长出的草量称为“日产量” 那么牛吃草问题的核心公式为： 原有量 =（牛数－日产量）×天数 ※.解题思路： A.对于简单的牛吃草问题，一般可以根据已知条件，分步骤解答。 首先：求出日产量（每天长出的草量） 然后：求出原有量（草场草量） 最后：求出题目。 B.对于较为复杂的牛吃草问题，我们将在下面例题中，具体分析。 ----------------------------------------------------------------- 例1.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析：这是一道基本的牛吃草问题，我们可以按照思路A解答。 解：设1头牛1天吃的草为1份。 每天长出的草量为：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5（份） 草场原有的草量为：10×20－5×20 = 100（份） 25头牛可以吃的天数：100÷（25－5）= 5（天） 答：这片草地可供25头牛吃5天。
课堂练兵： 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20 天，或者可供15头牛吃10天。问：可供几头牛吃5天？ 例2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。 照此计算，可供多少头牛吃10天？ 分析：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。 但我们可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 解：设1头牛1天吃的草为1份。 每天减少的草量为：（20×5－15×6）÷（6－5）= 10（份） 草场原有的草量为：20×5＋10×5 = 150（份） 设：可供x头牛吃10天？ 150 = （x＋10）×10 x = 5 答：可供5头牛吃10天。
解一元一次方程习题及 答案
解一元一次方程 1、721231x x -=++ 2、32 2 331=-++x x 3、()()3216325=+--x x 4、()[]5241322-=-+x x 5、()[]153525--++=x x x 6、13 41573--=-x x 7、521321x x -=++ 8、13 2 69-=+--x x x
9、22.15.15 +-=-x x 10、()()13.024.12.153--=+-x x 11、()12321---=-x x 12、4 3 412332-=-x x 13、()()[]2414256-=--+-x x x 14、05.09 .018 .009.02.036.0=--x
15、()()272315321 =-+-x x 16、52 1=--x x 17、168421x x x x x -+-+= 18、10 8 756232-= ++-x x x 19、()()03.534.02.0546.0=++--x x 20、()()11625.0235.0=-++x x 21、31341-=-x x 22、82 12=--x x
23、()8.01.02.025.0=--x x 24、25 3 6+=-x x 25、()[]{ }42215=-+--x x x 26、()()43231652--=+-x x x 27、27931x x x x - +-= 28、3 7 3212+=+x x 29、()[]1784 3 69+-=-x x 30、()()1067234+=+-+x x x
小学数学牛吃草问题 综合讲解 Revised on November 25, 2020
小学数学牛吃草问题 吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数
三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法：
年龄问题经典例题 今年妈妈和女儿的年龄和是66岁，妈妈的年龄比女儿的3倍小10岁，那么多少年前妈妈的年龄为女儿的5倍？ 【解析】根据题意可知这是一个和倍问题，可以求出母女今年的年龄。 女儿今年的年龄是：（66+10）÷（3+1）=76÷4=19（岁） 妈妈今年的年龄是：19×3-10=47（岁） 无论到哪一年母女的年龄差都是不变的，即47-19=28（岁） 当妈妈的年龄是女儿的5倍时，女儿的年龄为：（47-19）÷（5-1）=7（岁） 19-7=12（年）即12年前妈妈的年龄为女儿的5倍。 训练 (1)爸爸和儿子今年的年龄和是37岁，爸爸的年龄比儿子的6倍多2岁，那么多少年后，爸爸的年龄是儿子的4倍？ (2)小明和小兰今年的年龄和是18岁，小明的年龄比小兰的3倍少2岁，那么多少年前，小明的
年龄是小兰的9倍？ 例题 4年前妈妈的年龄是小华的4倍，小华今年11岁，妈妈今年多少岁？ 【解析】小华今年11岁，四年前小华的年龄应该是11-4=7（岁），那么妈妈4年前的年龄是7×4=28（岁），再经过四年妈妈的年龄应该再加4岁，即28+4=32（岁）。 训练 (1)5年前小兰的年龄是小明的3倍，小明今年10岁，小兰今年多少岁？ (2)4年前哥哥的年龄是弟弟的2倍，弟弟今年14岁，哥哥今年多少岁？ 例题 小明今年3岁，父亲今年27岁，几年后父亲的年龄正好是小明的4倍？ 【解析】父亲与小明的年龄差是27-3=24（岁），这是一个不变的量，当父亲的年龄是小明的4倍，小明的年龄是24÷（4-1）=8（岁），8-3=5（年）。训练
(1)欢欢今年18岁，迎迎今年2岁，几年后欢欢的年龄正好是迎迎的5倍？ (2)哥哥今年16岁，弟弟今年12岁，几年前哥哥的年龄刚好是弟弟的3倍？ 例题 父亲今年35岁，儿子今年13岁，几年后父亲和儿子的年龄和是62岁？ 【解析】父亲和儿子的年龄差是不变的量，即35-13=22（岁），当父亲与儿子年龄和为62岁时，儿子的年龄是（62-22）÷2=20（岁），20-13=7（年）。 变式训练◇8 (1)母亲今年30岁，女儿今年5岁，几年后母亲和女儿年龄和是55岁？ (2)天天比明明小6岁，当他们年龄和是40岁时，明明多少岁？
牛吃草问题经典例题 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？ 解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 （小时）2）＝2－1730÷（ 小时可以淘完水。答：17人2 天306头牛，吃10亩草，181、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，天可以吃完：放养天可以吃完？（假定这片牧场每亩中的原草24可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，量相同，且每天草的生长两相等）、有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车2千米，中速车每小时小时追上骑车人。现在知道快车每小时走24小时、10小时、12分别用6走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？ 提示：找到题中的“牛”与“草”，你就成功了一半。 3、某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口20分钟后就没有人排队，现在开放8个入口处，没分钟关闭一个门，那么开门后几分钟就没人排队了？ 提示：解答出“原来一共的人”和“每分钟来的人”后，要结合我们很擅长的等差数列问题来解决。 序章：问题提出 我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明 例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别） 第一章：核心思路 [普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思] 现在来说我的核心思路： 例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 头是“剪草工”X头牛中有27将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设 ，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键） 例1：
小学数学巧解应用题︱一张思维导图，五大方法，年龄问题就这么简单！ 1、含义 已知若干年前或若干年后两人年龄之间的倍数、和、差的关系，求两人现在年龄的应用题，或已知条件和所求问题与上述相反的应用题，叫作年龄问题。 2、特点 （1）年龄差不变； （2）年龄同增同减（几年后、几年前）； （3）年龄的倍数却随着年数的增加而减少。 3、题型 （1）转化为和差问题的年龄问题； （2）转化为和倍问题的年龄问题； （3）转化为差倍问题的年龄问题。 4、常用公式 成倍数时小的年龄=两人年龄差÷（倍数-1） =该年两人年龄和÷（倍数+1） =（该年两人年龄和-两人年龄差）÷2 大的年龄=小的年龄×倍数=（该年两人年龄和+两人年龄差）÷2 几年前距今年的年数=今年小的年龄-成倍数时小的年龄 =今年小的年龄-两人年龄差÷（几年前大年龄对几年前小年龄的倍数-1） 几年后距今年的年数=成倍时小的年龄-今年小的年龄
=两人年龄差÷（几年后大年龄对几年后小年龄的倍数-1）-今年小的年龄 5、解题思路 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路一致。 6、解题方法 解答这类问题，往往可以借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法灵活解题。 三、经典应用 （1）和差法 例1、姐姐今年13岁，弟弟今年19岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两
人各应该是多少岁？ 【分析】不管经过多少年，姐弟俩的年龄差都不变，都是（13-9）岁。又知两人的年龄和是40岁。根据和差公式可以求出两人几年后的年龄。 【解答】年龄差：19-13=4（岁） 姐姐年龄：（40+4）÷2=22（岁） 弟弟年龄：40-22=18（岁） 答：姐姐是22岁，弟弟是18岁。 （2）和倍法 例2、1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的? 【分析】“若干年前，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。”，把若干年前妹妹的年龄看作“1倍量”，那么若干年前姐姐的年龄是2倍量，比妹妹年龄大1倍量。因为若干年前姐姐的年龄等于妹妹现在的年龄，所以妹妹现在的年龄为2倍量。根据“年龄差不变”，姐姐现在的年龄为（2+1）倍量。已知两人现在的年龄和为55岁，根据和倍公式，可以求出妹妹若干年前的年龄，再求姐姐现在年龄，最后求出姐姐哪一年出生。 【解答】妹妹若干年前年龄：55÷（2+2+1）=11（岁） 姐姐今年年龄：11×（2+1）=33（岁） 由于年龄都按周岁计算，即出生的那一年不计入 姐姐的出生年份：1994-33-1=1960（年） 答：姐姐是1960年出生。 （3）差倍法 例3、10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍。15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍。现在父子俩人的年龄各是多少岁? 【分析】15年后吴昊的年龄是他儿子年龄的2倍，故两人年龄差等于15年后儿子的年龄，即两人年龄差等于10年前儿子的年龄加上（10+15）年。10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍，两人年龄差相当于儿子10年前年龄的（7-1）
1) 712＝＋x 2) 825＝－x 3) 7233＋＝＋x x 4) 735－＝＋x x 5) 914211－＝ －x x 6) 2749＋＝－x x 7) 162＝＋x 8) 9310＝－x 9) 8725＋＝－x x 10) x x －＝－324 11) 4227－＝＋－x x 12) 75.04＝）＋＋（ x x 13) 412）＝－（x 14) 115）＝－（x 15) 21 2）＝－－－（x 16) )12(5111＋＝＋x x 17) 32034）＝－（－ x x 18) x x 2570152002＋）＝－（ 19) 12123）＝＋（x 20) 0585＝）－＋（ x 21) 2 5 3231＋＝－ x x 22) 15 2 ＋＝－ －x x 23) 23 312＋＝－－x x 24) 32 1 41＋＝－x x
25) 162 3＋＝x x 26) 4 52x x ＝＋ 27) 3 4 23＋＝－x x 28) ）－（）＝＋ （327 1131 x x 29) ）－（）＝＋（131141x x 30) 14 2 312－＋＝－x x 31) ）＋（－）＝－（2512121 x x 32) ）＋（）＝＋ （204 11471x x 33) ）－（－）＝＋（731211551 x x 34) 4 32141＝－x 35) 8 3 457＝－x 36) 8 1 5612＋＝－x x 37) 62 9721－＝ －x x 38) 1 2321 51）＝－（－x x 39) 161 5312＝－－＋x x 40) x x 2414271 －）＝＋（ 13.02 1.02.015.0＝－＋－－x x 30 7221159138）＝－（）－－（）－－（x x x
例1：牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 分析：设一头牛一天的吃草量为1份，（1）先算出牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）再算牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份，（3）21头牛，要安排15头去吃每天新增的草量，剩余的牛21-15=6头去吃原有的草量，这样才可以把草吃完。可以吃：72÷6=12天。 例2：一片牧场上长满牧草，如牧草每天都匀速生长。则牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问想要18天吃完这些草要几头牛？ 分析：这道题和例1有点互逆的意思。我们设一头牛一天的吃草量为1份，则（1）牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份,（3）18天要吃完草，先要安排15头牛去吃每天新增的草量，再安排72÷18=4头牛去吃原有的草量72份，所以要：15+4=19头牛。 例3：一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？ 分析：这是一道有点变异的牛吃草问题，解题的思路也是和牛吃草问题一样。设每人每小时舀水量为一份，则（1）漏水量（新增的水量）：（10×5-12×3）÷(10-3)=2份，（2）船原有的水为：12×3-2×3=30份，要先安排2个人去舀新增的水量，再安排30÷2=15人去舀原有的水量30分，共要15+2=17人。 例4：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？ 分析：要牧草永远吃不完，就要保证每天最多只吃新增的量，否则一旦超过每天新增的量，吃了原来的量，总有一天会吃完。所以只要算出新增的量即可。设每头牛每天的吃草量为1份，则牧场每天新增的草量：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份），最多可放牧：12÷1=12头。
解决牛吃草问题的多种算法 历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 主要类型： 1、求时间 2、求头数 除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 基本思路： ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 ③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。 基本公式： 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶ (1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； (2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有： (1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) (3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(2 1－15)＝72÷6＝12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。 第二种：公式解法 有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧1 6头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 解答： 1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放12头牛。
解一元一次方程50道练习题（含答案） （1）42112+=+x x （2）7.05.01.08.0-=-x x ； （3）x x x 2 5 32421-+=-； （4）67313x x +=+； （5）3 1632141+++=--x x x ； （6）x x 2332]2)121(32[23=-++； （7）)33102(21)]31(311[2x x x x --=+- - （8）)62(5 1 )52(41)42(31)32(21+++=+++x x x x ． （9）5x +2=7x -8； （10）()()()01232143127=+-+---x x x ； （11）3 7 615=-x ； （12） ()()()123 221211227 -=-+-y y y ； （13）2162612-=+--x x ； （14）()22123223=-??? ???--x x ； （15）12 12321321x x x =????????? ??--； （16）123]8)4121(34[43+=--x x ； （17）)96(328)2135(127--=--x x x ； （18）2 96182+=--x x x ；
（19）x x x 52%25)100(%30)1(= ?-+?+； （20）2435232-=+--x x x ． (21)153121314161=??? ???+??????+??? ??-x （22）2(2x-1)-4(4x-1)-5(2x+1)-19=0 （23）212644531313---+=+-x x x （24）03 .002.003.02.05.01.05.09.04.0x x x += --+ （25）3 2212]2)141(32[23x x =-++ （26）2{3[4(5x-1)-8]-20}-7=1 (27)2(0.3x-4)-5(0.2x+3)=9 (28)2[(x+3)-2(x+1)]-5=0 (29)3x-6 2 22163)3(2-- +-=+x x x (30) 6.12 .04 15.03=+--x x (31)1}8]6)43 2 (51[71{91=++++x (32)3x=2x+5 (33)2y+3=y －1 (34)7y=4－3y (35)－ y 5 2=31 (36)10x+7=12x －5－3x