1、均匀带电细线ABCD 弯成如图所示的形状，其线电荷密度为λ，试求圆心O 处的电势。
解：
两段直线的电势为 2ln 42
1πελ
=V 半圆的电势为 ππελ
24=
V ， O 点电势)2ln 2(40
ππελ
+=
V 2、有一半径为 a 的半圆环，左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-λ，右半截均匀带有正电荷，电线密度为λ ，如图。试求：环心处 O 点的电场强度。
解：如图，在半圆周上取电荷元dq a
a
dE dE E E a dq
dE ad dl dq x x 02
02
02d cos 212cos 41πελ
θθλ
πεθ
πεθ
λλπ
-
=-=-======???由对称性
3、一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R 1和R 2，在
它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势。（以无穷远处为电势零点）
解：:以顶点O 作坐标原点,圆锥轴线为X 轴向下为正. 在任意位置x 处取高度为d x 的小圆环, 其面积为
xdx
dx r dS θθ
πθπcos tan 2cos 2==
其上电量为
xdx
tg dS dq θθ
πσσcos 2==
它在O 点产生的电势为
2
204x r dq
dU +=
πε
022202tan tan 4cos tan 2εθσθπεθθπσdx x x xdx
=
+=
总电势 ??-=
==0
1202)(tan 221
εσθεσ
R R dx dU U x x
A B
C
D
O
4、已知一带电细杆，杆长为l ，其线电荷密
度为λ = cx ，其中c 为常数。试求距杆右端距离为a 的P 点电势。
解：考虑杆上坐标为x 的一小块d x
d x 在P 点产生的电势为
x a l xdx
c x a l dx dU -+=
-+=00441πελπε 求上式的积分,得P 点上的电势为
])ln()[(44000l a a l a l c x a l xdx c U l -++=-+=?πεπε
5、有一半径为 a 的非均匀带电的半球面，电荷面密度为σ = σ0
cos θ，σ0为恒量 。试求：球心处 O 点的电势。
解：
6、有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为λ =λ0 cos θ，λ0为恒量 。试求：圆心处 O 点的电势。
解：
7、有宽度为a 的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的
带电量为λ ， 试求：与板的边缘距离为b 的一点P 处的电场强度 (已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为
r
E 02πελ=)。
O
020********sin cos 4sin 24sin 2sin 2εσεθθθσπεθ
θπσπεθθπσσθθπππR d R R Rd R dU U R dq dU Rd R ds dq Rd R ds =??=??===
??==??=?
??圆环的电势 上取一圆环，
y
??
======-0022
000
24cos 4πελπεθθλθλλπεπ
πd dU U ad dl dq ，
a dq
dU dq ，在半圆上取电荷元P
·
解：
8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为σ，瓦楞
的圆半径为 a ，试求：轴线中部一点P 处的电场强度。(已知
电
荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为r
E 02πελ
=)
解：
9、电荷以相同的面密度σ分布在半径分别为R 1 =10 cm 和R 2 = 20 cm 两个同心球
面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为V 0 = 300 V 。 （1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度σ’应为多少？（ εo = 8.85×10-12 C 2N -1m -2）
b b a a x b a dx a dE E x b a dx a dE dx a dx ，a +=-+==-+=??
ln 2)(2)(2000
0πελπελ
πελ
λ
度整个带电薄板的电场强公式，有由无限长带电直线电场电荷线密度为视为无限长带电直线，的窄条为研究对象，取宽为如图
O
000
00
0 sin 2sin 0 cos 2cos 2πεσθπεθσθθπεθ
σθπεθσθσσλππ-=-=-==-=-=====?
?
??
?
?d dE dE E d dE dE E d dE ad dl dl y y x x
＝为带电直线，电荷线密度限长的窄条为对象，视为无如图，顶视图，取宽为
解：（1）
1
1104R q U πε=
2
2204R q U πε=
)
(4421221120100R R R q R q U U U +=+=+=εσ
πεπε
2
9210/1085.8)(m c R R U -?=+=εσ （2） 0
10、如图，长直圆柱面半径 为R ，单位长度带电为λ，试用高斯定理计算圆柱面外的电场强度。
解：0
ε
∑?=?i
q s d E
0=∴E
(R r ≤≤0 )
r
E πελ
2=
(∞≤≤r R ) 11、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点位于
AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电场强度。 解：
12、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点位于AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电势。
解：
13、电荷Q 均匀分布在半径为R 的半圆周上，求曲率中心O 处的电场强度。
解：如图，在圆周上取电荷元dq
A
B
P
?+-===)11(444122
l d d l Q x dx E x dx
dE πεπελλπε A
B
P
dx l
Q q =d x dq
U 04d πε=?
++==l d d d l d l Q x dq U ln 4400πε
πε
2
0222
202
0202 cos 41
cos 41
cos 0
41 R Q d R Q R
dq
dE dE E E E R dq
dE d Q Rd R Q dl dq x x y επθθππεθπεθπεθπθπλπ
π
＝
＝由对称性，????-
======
===
14、用细的绝缘棒弯成半径为R 的圆弧,该圆弧对圆心所的角为2α ，总电荷q 沿棒均匀分布,求圆心处的电场强度。
解：如图，在圆弧上取电荷元dq
ααπεθθα
πεθ
πεθπεθαθαλα
αsin 4 cos 241
cos 41
cos 0
41 2220202020R q
d R q R dq
dE dE E E E R dq
dE d q Rd R q dl dq x x y ＝＝由对称性，????-======
===
15、求均匀带电圆环轴线上任一点P 处的电场强度（圆环半径为R ，带电量为Q ） 解：
1、一平板电容器的电容为1×10-11F ，充电到带电荷为1.0×10-8
C 后，断开电源，求
极板间的电压及电场能量。
R
x
E
d
O
Q
y
θ O
αα
R
O
αα
R
x
y
E
d
θ 2/3220222202
20)(41410 41x R Qx x R x x R dq dE E E E d x R dq
dE dq x x +=
++===∴=+=??
?
⊥πεπεπε由对称性知，，，则在圆环上任取电荷元
解：U =Q/C =1000V W=Q 2/2C = 5.0×10-6J
2、点电荷带电q ，位于一个外半径分别为R 1、R 2的金属球壳的球心，
如图， P 为金属球壳的一点，求：（1）金属球壳表面和外表面的感应电荷；（2）P 点的电场强度大小和P 点的电势。
解：（1）表面感应电荷 -q ，外表面感应电荷 q
（2）E =0 02
4q V R πε=
3、圆柱形电容器，长度为L ，半径分别为R 1和R 2，二柱面间充满相对介电常数为εr 的均匀介质。设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+λ和-λ，求：
（1） 两极板间的电场强度； （2） 圆柱形电容器的电容； （3） 它储有的电能。 解：
4、如图，半径为R 0的金属球，带电Q ，球外有一层均匀电介质的同
心球壳，其外半径分别为R 1和 R 2，相对介电常数为εr ，P 为介质中的一点，离球心为r 。
（1） 试用高斯定理求P 点的电场强度 E
；
（2） 由E
求P 点的电势V 。
201021
2
22
10
(1)1 2(2) ln 22ln ln (3)24r r r r E r R V Edr R L Q
C R V R R L R Q We C λπεελ
πεεπεελπεε=?==∴==?==?由高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为极板间电势差，
解： 5、
金
属球
半径为R 1，带电q 1 ，外有一同心金属球壳，半径分别为R 2 、R 3 ， 金属球壳带电q 2 ，求金属球和球壳之间一点P 的电势。
解：
6、如图所示，平板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中间有
两层厚度各为d 1和d 2、电 容率各为ε1和ε2的电解质， 试计算其电容。
解：S DS S d D S d D S d D S d D S
σ=?+?+?=?????????＝側
下
上
2
0202
02
02
02
0202
21
4)11(4
44 4 4 )2(
4 4 4)1(2
2
2
2
R Q R r Q dr r Q dr r Q
Edr dr E U P r Q E r Q E r Q
D E P r Q
D Q r D r r R r
R r R r
R r r πεεπεπεεπεπεεπεεπεεππ+
-+=+'=∴=='==∴=∴=??
?
??∞
∞
＝势点的电真空中介质中由以上结论方向径向向外
点的电场强度大小的球形高斯面
由高斯定理，作半径为
(41,3
2
3121102
1
1R q R q R q r q U P q q q
++-=+-πε点的电势利用迭加原理，外表面带电面带电由静电感应，球壳内表1
1
221212211b a 2
211V V ,εεεεσεσ
εσεσεσσd d S V V s C d d E E D b a +=
-=+-=
=＝，＝，
7、如图球形电容器，外半径分别为R 1和R 2，二球面间充满相对
介电常 数为εr 的均匀介质，当该电容器充电量为Q 时，求：
（1）介质E D
,的大小；（2） 外球壳之间的电势差ΔU ；（3）球形电容器的电容C ；（4）它储有的电能W e 。
解：
8、圆柱形电容器，长度为L ，半径分别为R 1和R 2，二柱面间充满相对介电
常数为εr 的均匀介质 ，当该电容器充电量为Q 时，求： （1）圆柱形电容器的电容； （2）它储有的电能。
解： 1、
（1）
如
图
2
101222122102102020228)
(2e )4(4)3(1
1(44)2(4 4 4)1(2121R R R R Q C Q W R R R R U Q C R R Q dr r Q Edr U r Q D E r Q D Q r D r r r r R R r
R R r επεεπεεπεεπεεπεεππ-==-=?=-===?===∴=??
?的球形高斯面由高斯定理，作半径为
L
R R Q C Q We R R L U Q C R R L Q Edr U rL Q r
E r r r r r 01
2
221
201
2
0004ln
2)2(ln 2ln 21 21
21
)1(επεεπεεπεεπελ
επε=
==
=
∴===
=
?极板间电势差器极板间电场强度为由高斯定理，柱形电容
一，试写出通过闭合曲面S 的电位移矢量D 通量的高斯定理。
（2）如图二，试写出磁场强度矢量H 沿闭合曲线L 的环流的安培环路定理。
解：(1)
1S
D dS q ?=?
(2)
123()L
H dl I I I ?=+-?
2、如图所示，一根长为L ，均匀带电量为Q 的细棒，以速
度V
沿X 轴正向运动，当细棒运动至与Y 轴重合的位置时，
细棒下端到坐标原点O 的距离为a ，求此时细棒在O 点产生的
磁感应强度 B 。
解：在细棒上距O 点y 取电荷元dq =λdy ，由运动电荷的磁场公式
dy Ly VQ y dqV dB 202044πμπμ== 方向垂直向里
)
(44020L a a L L VQ dy Ly VQ B L a a +==?+πμπμ 3、在半径为a 和b 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面螺线圈(即单位长度半径上的匝数为)a
b N
n -=
，通以电流I ，如图所示。求线圈中心O 点处的磁感应强度。
解：取半径为r 宽为dr 的圆环，NI
dI dr b a
=
- 0022()dI
NIdr
dB r
r b a μμ=
=
-
0ln 2()2()R r NIdr NI b B dB r b a b a a
μμ===--??
4、一半径R 的圆盘，其上均匀带有面密度为σ 的电荷 ，圆盘以角
速度ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，试证其磁矩的大小为
4m 4
1ωσR p π=
。
解：取半径为r 宽为d r 的圆环
L
I 4 图一
q 2
I
dr r r rdr
r dI dp m 32
222πσωππ
ωπσπ=== 4034
1
R dr r p R
m πσωπσω==?
5、用两根彼此平行的半无限长直导线L 1、L 2把半径为R 的均匀导
体圆环联到电源上，如图所示。已知直导线上的电流为Ｉ。求圆环中心O 处的磁感应强度的大小。
解：
I
I I I 43
2411,==
R I R I B R I
R I B R I
B 323412,323432222
1
1
μμμμμ=?='=?
='∴=
021
='-'='B B B R I
R I B B L L πμθθπμ4)sin (sin 4,01221=
-==
6、外半径分别为a 、b 的圆环，其上均匀带有面密度为σ 的
电荷 ，圆环以角速度ω绕通过圆环中心垂直于环面的轴转动，
求:圆环中心处的磁感强度大小。
解：
R I
B 2μ=
rdr ds dq πσσ2=?=
rdr ndq dI π?πω22=
= dr r dI dB 22μωσμ==
)
(22a b dr dB B b
a
b a -===??μωσ
μωσ
7、如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路，对应的圆
心角为θ(rad)，电流强度为I 。求圆心O 处的磁感应强度B
的大小和方向。
解：
R I
B 2μ=
πθμ22a I B a =
πθ
μ22b I B b =
)
1
1(4a b I B B B b a -=-='πθμ 8、将通有电流I 的导线弯成如图所示的形状, 求O 点处的磁感强度矢量B
的大小和方向。
解：由圆电流公式
R I
B 20μ=
a I B a 4μ=
b I B b 4μ=
)
(4ab a
b I B B B b a -=-=μ
9、如图所示，电荷Q 均匀分布在长为b 的细杆上，杆
以角速度ω绕垂直于纸面过 O 点的轴转动 。O 点在杆的延长线上，与杆的一端距离为a ,求O 点处的磁感应强度B 的大小。
解：
dx b Q dq =
dx b Q ndq dI πω2== b b
a b Q dx b Q x x dI B b a a
b
a a +===??++ln
4222000πωμπωμμ
10、将通有电流I 的导线弯成如图所示的形状, 求
O 点处的磁感强度B 。 解： 在半11、径为2a 的无限长金属圆柱体挖去一半径为 a 无限长圆柱体 ，两圆柱体的轴线平行，相距为 a ,如图所示。今有电流沿空心柱体的的轴线方向流动，电流均匀分布在空心柱体的横截面上,设电流密度为δ 。
求 P 点及O 点的磁感应强度。
解：
o
Q
o
方向向里） (444002
2
0R
I dl R I B R Idl
dB R μπμπμπ?==?=
2
22220012
0101a
r B r r B I l d B B p a δμδμδπμπμ=
=
=?=?? 为：
点的磁感应强度的圆柱体在 半径为 20
2
22)2(2
2
20212012
0011022
2
1022
0022a
B B B o B o a a
B a I a B B o a a
B B B B p a
B a I a B B p a δμδμδπμμπδμδμδπμμπ=
-==
==?=
-====?＝点的磁感应强度： 空心圆柱体点的磁感应强度的小圆柱体在 半径为 为：点的磁感应强度的圆柱体在 半径为 为：点的磁感应强度 空心圆柱体 为：
点的磁感应强度的小圆柱体在半径为
12、将通有电流I 的导线弯成如图所示的形状, 求O 点处的磁感强度B 。
解：
方向向内）
(8)
3(8408344400210
2002
3
02
02020ab
b a I B B B a
I
dl b I B B B b
I dl b I B b Idl dB r
Idl dB CD AB a CD BC AD b AB AB +=
+========?=
?
?μμπμμπμπμπμππ
13、如图,有一边长为a 的正方形导线回路,载有电流I ,求
正方形中心处的磁感应强度的大小和方向。
解：
14、螺绕环通有电流I ,总匝数为N 。如图所示，求螺绕环
的磁感强度。
解：NI l d B l 0μ=?? NI r B 02μπ=? r
NI B πμ20=
O
hdr r
NI S d B d πμφ20=?= 12
ln 221R R NIh d R R πμφφ==?
15、一根很长的铜导线载由电流10A ，在导线部作一平
面S ，如图。现沿导线长度方向取长为l 的一段，试计算通过平面S 的磁通量。铜的磁导率μ≈μ0。
解：
202R Ix B πμ= 22
020cos R
Ix x B Bdl l d B l l μπ===??? 600
200100.142-?====??πμπμφIl
xdx R Il Bldx R R l =1m
16、一半径R 的圆盘，其上均匀带有面密度为σ 的电荷 ，圆盘
以角速度ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求:圆盘中心处的磁感强度。
解：?===
==R q u dr n B r
dI
dB rdr n dI rdr dq πωσπμμπσπσ2/,2,2,2000
17、半径 R 的一个载流圆线圈，通有电流I ，求:轴线上
与圆心的距离为 a 的P 点的磁感应强度。
解：??+======2
3
222
00
2
020)
(sin ,90,44sin R a IR dB dBx B a r
Idl r a Idl dB μθπμπμ
18、如图，一无限长薄平板导体，宽为a ，通有电流I ，求和导体共面的距导体一
边距离为d 的P 点的磁感应强度。
I
解：如图，在薄板上取窄条，视为无限长直线电流，
方向垂直纸面向里
d
d
a a I x d a a Idx dB B x d a a Idx
x d a dI
dB dx a
I dI a +=-+==-+=
-+=
=??ln
2)(2)(2)
(200000πμπμπμπμ
1、一半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，当它
绕其轴线以角速度ω转动时，磁矩为多少？若圆盘置于
均匀磁场B 中，B
的方向平行盘面，如图所示，圆盘所受磁力矩大小为多少？
解：
2、正方形线圈可绕Y 轴转动，边长为l ，通有电流
I 。今将线圈放置在方向平行于X 轴的均匀磁场B 中，如图所示。求：（1）线圈各边所受的作用力；（2）要维持线圈在图示位置所需的外力矩。
解：
O
ω
B R B P M R dr r dp P rdr T dq d Ｉ r S SdI dP ，dr r ，m R m m m 4
403242sin 422σωππσωπ
πσωωππσπ======
===?
?的圆环为研究对象宽为取半径为
(1) B l Id f d ?= IBl f f ==31 0
4230sin IBl f f ==
(2) B
P M m
?= 020120sin 120sin IBl ISB M ==
3、如图所示, 在XOY 平面有四分之一圆弧形状的导线 ,半
径为R , 通以电流I , 处于磁感应强度为B 的均匀磁场中, 磁场方向垂直向里。求圆弧状导线所受的安培力。
解：
B l Id f d
?= IBdl df =
IBR Rd IB f x ==?20
cos π
θθ
同理 IBR
f y =
IBR f f f y x 2=+= 方向
：与x 轴正向成45度
4、如图所示, 在XOY 平面有四分之一圆弧形状的导线 ,半
径为R , 通以电流I ,
处于磁感应强度为k a B
-=的均匀磁
场中,a 为正常数, 求圆弧状导线所受的安培力。
解：
IBdl B l Id F d =?=
dl IB dF x βcos = dl IB dF y βsin =
?==2
cos πβIBR
dl IB F x
IBR
F y =
IBR
F F F y x 222=+=
5、如图所示, 在XOY 平面有四分之一圆弧形状的导线,半径
为R , 通以电流I , 处于磁感应强度为j b i a B
+=的均 匀
磁场中,a 、b 均为正常数 , 求圆弧状导线所受的安培力。
解：
6、半径为R 的平 面圆形线 圈中载有电流I 2 ，另一无限长直导线
AB 中载有电流 I 1，设 AB 通过圆心，并和圆形线圈在同一平面（如图）,求圆形线圈所受的磁力。
k
a b IR k ady bdx I F d F k
ady bdx I j b i a j dy i dx I B l Id F d R
)()()()()(0
+=+==+=+?-=?=?
?
解：
7、如图所示,一平面半圆形线圈放在一无限长直导线
旁，且两者共面。长直导线有电流I ,半圆形线圈中也 通有电流 I ，半圆形线圈的半径为R ，中心到直导线的距离为R ，求（1）AB 边受的磁场力的大小和方向；（2）BCA 半圆受的磁场力的大小和方向。
(2
cos 1cos x tg x dx x x -=+?) 解：
I 2
（方向向右） 210202102
102102101
012122cos cos 2cos 22I I d I I F F d I I dF R r d R r I
I dF dF Rd dl dl r I I dF r I B dl I B dF x x x μθπμθπ
μθ
θθπμθθ
πμπμπ?
===========∴∴
C
I
（方向向左）
得 πμμθθπθμθ
θθπμθθ
πμπ
μπμπ
π2
0202
202
02
012
00112)cos 1(2cos cos cos 2cos 2)2(2)1(I I d I F F R R r Rd r
I dF dF d R dl dl r
I dl I B dF I F R
I
B l I B F x x AB AB
-
=+==+=?=======
=?-∴ dF
A
8、在同一平面上有一条无限长载流直导线和一有限长载流
直导线，它们分别通有电流 I 1 及 I 2 。尺寸及位置如图所示。求有限长导线所受的安培力。
解：dF=I 2dxB sin90=I 2dx )
cos (21
0?πμx a I +，
F =)cos ln(cos 2cos 20210210?
+=+b a b a I I x a dx I I ?
?πμ?πμ 方向：垂直I 2指向左上
9、如图所示,一等腰直角三角形线圈放在一无限长
直导线旁,且两者共面.长直导线有电流I 1,三角形线圈有电流 I 2,求线圈各边受力的大小和方向。
解：
10、如图所示，一矩形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面。长直导线有电流 I 1,线圈有电流 I 2,求线圈各边受力的大小和方向.
解： ?
?
++==
==a
d d
CD AB d
d
a I I dl I l I u dl BI F F )ln(2290sin 2102100
2πμπ 向上和向下
I 1
I
1
01200101
0122201
2sin 90ln 2222AB a d AC d a d BC d I I a
F d
I I I I a d F I dx I dx x x d
I a d F I x d
μπμμμπππμπ++=+===+==??? 方向向左 方向向下 方向垂直斜边向上
I 1
b I d
uI F AD 21
2π=
向左
11、如图，半径 为R 的半圆形导线载有电流 I ，放在磁感
强度为 B 的匀强磁场中， B
的方向垂直向里，求 该半圆形导线所受的磁场力的大小和方向。
解：
B l Id f d ?= IBdl df = 0cos 0
==?π
θθRd IB f x
R IB Rd IB f f y 2sin 0
===?π
θθ
b I a d I F BC 210)(2+=πμ向右