北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习(二模)试题(二).doc

北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习（二模）试题（二）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 集合{}22A x x =∈-<

（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）8

2． 函数2

()2f x x x

=

-的定义域为

（A ）(02), （B ）[02],

（C ）(0)

(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,

3． 下列函数中，最小正周期为π的是

（A ）1

sin 2y x = （B ）1sin 2

y x =

（C ）cos()4

y x π

=+

（D ）12

tan y x =

4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=

（A ）3

（B ）6

（C ）7

（D ）8

5． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

6． 已知抛物线M :)0(22

>=p py x 的焦点与双曲线13

:22

=-x y N 的一个焦点重合，则=p （A ）2

（B ）2

（C ）22

（D ）4

7． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x

（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数

8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为

（A

3 （B ）4

3

（C

）

3

（D

）9. 在△ABC 中，3AC =

，BC =2AB =，则AB 边上的高等于

（A

）

（B

（C

（D ）

32

10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行

四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *

∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是

（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．

12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．

13. 双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .

14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：

2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.

15．已知集合{

}

22

()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；

④白色“水滴”图形的面积是1136

π-.

其中正确的有__________．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）

如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，

1MA =，2AB PB ==.

（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.

17.（本小题共14分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12

q =；③1q =-这三个条件中任选

一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题共14分）

为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的

活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

19.（本小题共15分）

已知函数1()e

x

x f x +=

.

（Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12

f x x >-

+；

（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线2

1y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.

20.（本小题共14分）

已知椭圆222

2

:

1(0)x y C a b a

b

+

=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为

4

. 过点(01)P ,

且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；

（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==,,求λμ+的取值范围.

21.（本小题共14分）

已知无穷集合,A B ,且,A B ??N N ，记{}

,A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*

()A B ?+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.

（Ⅰ）已知集合{}

21,,A a a m m ==+∈N {}

2,B b b n n ==∈N .判断2021和2021是否属于集合A B +，并说明理由；

（Ⅱ）设集合{

}

24

22024222+2+2+

+2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==????==∈

{}

132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==????==∈；.

(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；

（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*

()n n ∈N 的元素个数，写出满足

()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（二）

数学 参考答案及评分参考

2021．06 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

D

C

D

B

C

D

B

A

B

C

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．5 12．2

2

-

13．2y x =±

14. 己卯；60 15. ②③④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，

所以PB BC ⊥， 因为AB PB ⊥，AB

BC B =，

所以PB ⊥平面ABCD . (5)

分

（Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，

AB ?平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，

所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.

如图建立空间直角坐标系B xyz -，

则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，

(022)PC =-,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.

设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ， 则00PD PM ?=?=???

??,

,

u u 即222020x y z x z +-=-=??

?,

.

令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ， 所以3sin cos 6

PC PC PC θ?=<>=

=

,u u u

.

所以直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为

36

. (14)

分

17.（本小题共14分）

解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，

又因为1(1)2

n n n S na d -=+

，且12a =，

所以5101020S d =+=，故1d =.

所以1n a n =+. (6)

分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.

若选择条件①2q =，可得413

12

b b q

=

=

，

1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+???+-

1212()()n n a a a b b b =++???+-++???+

11()

(1)2

1n n n a a b q q

+-=

-

-

1(3)122

2

n n n -+=

-+

. (14)

分

若选择条件②12

q =

，可得413

32b b q

=

=，

1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+???+-

1212()()n n a a a b b b =++???+-++???+

11()

(1)2

1n n n a a b q q

+-=

-

-

6(3)2642

n n n -+=

+-.

若选择条件③1q =-，可得413

4b b q =

=-，

1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+???+-

1212()()n n a a a b b b =++???+-++???+

11()

(1)2

1n n n a a b q q

+-=

-

-

(3)+2(1(1))2

n n n +=

--.

18．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，

参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共2

46C =种，

所以2

4210

4322()109152

C P S C ?=

=

=?. ………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.

02462101

(0)3C C P X C ?==

=，11

46

2108(1)15

C C P X C ?===

，

2046210

2(2)15

C C P X C ?==

=.

X

1824

()012315155

E X =?+?+?=. (11)

分

（Ⅲ）答案不唯一．

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：

223

3330.10.90.10028C C ???=+..

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：

2233330.10.90.10028C C ???=+..

虽然概率非常小，但是也可能发生，

所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分

19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为1()e

x

x f x +=

，定义域R ，

所以'()e x

x

f x =-

.

令'()0f x =，解得0x =.

随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：

由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. (5)

分

（Ⅱ）令22

111()()11(0)2

e 2

x x g x f x x x x +=+

-=

+->， 1e 1'()=(1)(

)e e e x x

x

x

x g x x x x --

+=-

=.

由0x >得e 10x

->，

于是'()0g x >，

故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.

所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12

f x x >-

+. ………9分

（Ⅲ）当12

a ≤-

时，由（Ⅱ）知221()12

1f x x ax >-

+≥+，满足题意.

令2

21()()11e x

x h x f x ax ax +=--=

--，

1'()2(

2)e e x

x

x x ax x a h =-

-=-+.

当102

a -<<时，若1(0ln())2x a

∈-，，'()0h x <，

则()h x 在1[0ln()]2a

-

，上是减函数.

所以1(0ln())2x a

∈-，

时，()(0)0h x h <=，不合题意.

当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.

综上所述，实数a 的取值范围1

(]2

-∞-,. (15)

分

20．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆222

2

:

1x y C a

b

+

=经过点(10)A ,，

所以21a =解得1a =.

由△AOB 4

可知，

12

4

ab =

，

解得2

b =

，

所以椭圆C 的方程为2

2

21x y +=． ………3分

（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．

联立22211

x y y kx +==+???，消y 整理可得：22

(21)410k x kx +++=．

因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以2

2

164(21)0k k ?=-+>，解得2

12

k >

．

因为0k >，所以k 的取值范围是)2

+∞,． ………7分

（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,

1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1

y y x x =

--.

令0x =，解得111

y y x -=

-.

所以点S 的坐标为11(0)1

y x --,

.

同理可得：点T 的坐标为22(0)1

y x --,

.

所以11(01)1

y PS x -=--,

,22(01)1

y PT x -=--,

,(01)PO =-,.

由,,PO PT PO PS μλ== 可得：

12121111

y y x x λμ---=--=---,

，

所以1

1111111

1

y kx x x λ+=

+=

+--．

同理22111

kx x μ+=

+-．

由（Ⅱ)得121222412121

k x x x x k k +=-

=

++,，

所以 12121121

1

kx kx x x λμ+++=

+

+--

()121212122(1)()2

21

kx x k x x x x x x +-+-=

+-++

2

2

22

222

2142(1)()2

21

212

1

4()1

21

21

2442(21)

2

1421(1)

2

(1)1 2

1

k k k k k k

k k k k k k k k k k k ?+---++=

+--

+++-+-+=

++++-+=++=-

+

+

所以λμ+

的范围是2)． ………14分

21．（本小题共14分）

解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（

是奇数， 当210091a =?+，20=0b =?时，2019a b +=，

所以2019A B ∈+，2020A B ?+. ………4分

（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，），

其中0101i i k k ε==∈N ,;

,,,,， 使得12

10121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=?????==∈N ,;,,,,，，

由于12

112101210+2+2+

+2+2++22+2+

+2+

+221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤?????≤=-

这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.

由0101i i k k ε==∈N ,;

,,,,，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有112

2222k k ++??

?=个个结果.

下证12

10121+2+2+

+2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=????? 1210

121+2+2++2+2+

+2i i k i i k

εεεεεε++''''''=????? 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则

12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k

εεεεεεεεεεεε++++''''''??????????-

10

011110

011111

1

00111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))

2(122)1

j

j j i j j j j j j

j j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--?-?''''≥-?---?-?''''≥-?---?-?≥-++

+=

所以01≥ 不可能.

综上，任意正整数p 可唯一表示为

1210121+2+2++2+2+

+2i i k i i k p εεεεεε++=?????

2130213(+2)(2+2+

)εεεε=?+

+??

显然2

130213(+2)(2+2+

)A B εεεε?+∈??∈,，

满足*

()A B ?+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分

（ⅱ）{

}*

21k n n k =-∈N

,. ………14分