图 1
高 二 理科数 学 试 题
2014年3月 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合{}4,3,0,2-=A ,{}
0322
=--=x x x B ，,则A
B =（ ）
A ．{}0
B ．{}3
C ．{}2,0
D ． {}4,2,0 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ?是真命题 D ．q ?是真命题
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） A ．1y x
=-
B ．x y lg =
C ．cos y x =
D ． |
|e x y =
4．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（ ） A ．
2 B ．12 C
．13
5．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图
是中心角为60?的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ． 2π B ．23
π
C ．π
D ．
3
π
6．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）
A ．105
B ．16
C ．15
D ．1
7．函数)4
3(sin 212
π
-
-=x y 是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为
2π的奇函数 D ．最小正周期为2
π
的偶函数 8．直线03=-y x 截圆4)2(2
2
=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是（ ） A ．
6π B ．3π C ． 2
π
D ．
32π
二、填空题：本大共6小题，每小题5分,满分30分．
9. 已知向量(21,4)c x →
=+，(2,3)d x →
=-，若//c d →
→
，则实数x 的值等于 ． 10．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层
中每个个体被抽到的概率都为
1
9
,则总体中的个体数为 . 11.已知函数()4ln f x x x =-
，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程_________ ．
12. 计算：1
-=?
．
13. 设,0.()ln ,0.
x e x g x x x ?≤=?>?，则1
(())g g e = ．
14．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图
象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率
为 ．
第Ⅱ卷
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分12分)
在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且ac b c a =-+2
2
2
, （1）求角B 的值；
（2）设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π??
???
的值.
16.(本小题满分12分) 华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.
（1） 请根据两队身高数据记录的茎叶图,指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数；
（2） 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽
取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的排球队 篮球队 18 17 1
0 3 6 8 9
3 2 9 1 0
概率是多少?
17.(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD . （1）证明：PA ⊥BD ；
（2）若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．
18. (本小题满分14分)已知函数54)(2
3
+-+=x ax x x f ，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线为013:=+-y x l ， （1）求a 的值； （2）求)(x f y =的极值．
19.(本小题满分14分)如图．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线
l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =
，F 为椭圆的左焦点且111=?B F AF （1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ 。连接AQ 并延长交直线l 于点M 。N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．
20. (本小题满分14分)已知函数()f x 3233(0)ax x x a =-+>， （1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在[1,3]的最大值为8，求a 的值.
高 二 数 学 试 题答案 BDDAA CBD 9,
21 10,180 11,3X+Y-4=0 12, 2
π 13, e 1 14,31
15.(本题满分12分)
【解析】(Ⅰ)因为ac b c a =-+2
2
2
………………………………………………2分
又，ac b c a COSB 22
22-+=
所以，21
2222=-+=
ac b c a COSB 3
),,0(π
π=
∴∈B B
(Ⅱ)所以2
3
3sin )362sin()(,3
=
=+?
==
πππ
π
x f B 16.(本题满分12分)
【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. 排球队的身高数据中位数为169 众数168
(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自 排球队,记为,,a b c ,2人来自篮球队,记为,A B ,则从5人中抽
取3名同学的基本事件为:
abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,
bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分
其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:
abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63
105
=.………12分 17．（本小题满分14分）
【解答】 (1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，
从而BD 2＋AD 2＝AB 2
，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD
.
图1－10
(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，DA 、DB 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则
排球队
篮球队
18 17 16 15 1
0 3 6 8 9
2 5 8 9
3 2 9 1 0 8 8 3 2 8
A (1,0,0)，
B (0，3，0)，
C (－1，3，0)，P (0,0,1)，
AB →
＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →
＝(－1,0,0)．
设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???
??
n ·AB →＝0，
n ·PB →＝0，
即??
?
－x ＋3y ＝0，
3y －z ＝0.
因此可取n ＝(3，1，3)．
设平面PBC 的法向量为m ，则???
??
m ·PB →＝0，
m ·BC →＝0，
可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－27
7.
故二面角A －PB －C 的余弦值为－27
7
.
18（本题满分14分）18解 （1）由54)(23+-+=x ax x x f , 得423)(2'-+=ax x x f
当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a-4=0 ①
解得a=2
（2）由（1）可得54)(2
3
+-+=x ax x x f
)2)(23(443)(2'+-=-+=x x x x x f
令)(x f '=0,得x=-2,x=32
.
当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x
)2,(--∞ -2 ?
?
? ??
-32,2
32
),3
2
(+∞ y′ + 0 - 0 +
y 单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘
2795 单调递增
↗
∴y=f （x ）极大值为13，极小值为2795
19.解：（Ⅰ）易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -………………………（1分）
1)()0,(11=+?-=?∴c a c a F AF …………………（2分）
1
222==-∴b c a ……………………（3分）
又23=e 4312
2222
=-==∴a
a a c e ，解得42=a 14
22
=+∴y x 所求椭圆方程为：…………………………（5分）
（Ⅱ）设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2
200
+=
∴x y k AQ …………（6分） 所以直线AQ 方程)2(2
2:00
++=
x x y y ………………………………………（7分） )28,
2(00+∴x y M )24,2(00
+∴x y N ………………………………………（8分） 4
22224200000
00
-=--+=∴x y x x y x y k QN
又点P 的坐标满足椭圆方程得到：442
02
0=+y x ，所以 2
02
044y x -=-
2
002
0002424
2y x y y x x y x k QN -
=-=
-=
∴…………………………………………（10分） ∴直线 QN 的方程：)(2200
0x x y x y y --
=-………………………………（11分） 化简整理得到：4422
02
000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x ………（12分） 所以 点O 到直线QN 的距离2442
2
0=+=
y x d
∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切…………………………………….（14分）
20.（本小题满分14分）
解:(1) '
2
()363f x ax x =-+ ……………………………………….1分 其判别式)1(363636a a -=-=?，
因为1a ≥， 所以， 0?≤ ，对任意实数，'
()0f x ≥ 恒成立，
所以，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数……………………………………….4分
（2）当1a ≥时，由（1）可知，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，所以()f x 在[1,3]的最大值为(3)f ，由(3)8f =，解得 26
27
a =
（不符合，舍去）……………………………6分 当01a <<时 ，0)1(363636>-=-=?a a ，方程2
3630ax x -+=的两根为
11x a =
，21x a
+=，………………………………………8分 '2()363f x ax x =-+图象的对称轴1
x a
=
因为 11x -=
11)
10a a
-=<
（或
11x a =
1=<）, 所以 12101x x a <<<<
由23x = 解得 5
9
a = ①当509
a <<
，23x >，因为'(1)3(1)0f a =-<，所以 [1,3]x ∈时，'
()0f x <,()f x 在[1,3]是减函数，()f x 在[1,3]的最大值max (1)y f =，由(1)8f =，解得 8a =（不符合，
舍去）.………………………………….………………………12分 ②当
5
19
a ≤<，23x ≤，2[1,]x x ∈，'()0f x <，()f x 在2[1,]x 是减函数， 当2[,3]x x ∈时，'
()0f x >，()f x 在2[,3]x 是增函数.所以()f x 在[1,3]的最大值(1)f 或(3)f ，由
(1)f 8=，(3)f 8=，解得 8a =（不符合，舍去），26
27
a =
……………………14分 综上所述2627
a =