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概率论与数理统计试卷（20170225）
一、单项选择(每小题3分，共30分，答案按左侧学号规则连线成数码数字，不可涂改，否则影响自动评分 ) 1.每次试验的成功概率为)10(<
(1) 3
)1(P - (2) 31P - (3) )1(3P - (4))1()1()1(2
23P P P P P -+-+- 2.设A 为随机事件，且A B ?，则以下式子成立是( )
(1))()(A P B A P =Y (2))()(A P AB P = (3))()(B P A B P = (4) )()()(A P B P A B P -=-
3. 设随机变量X 的数学期望为5，方差为2，则对于任意给定的正数0>ε，下列不等式中正确的是( )
(1) 98)91(≥< (19)8P X <<≤ 4. 设随机变量X 在区间[3，11]上的均匀分布，则=)](),([X D X E （ ） (1) )38, 7( (2) )316,7( (3) )3 16,4( (4) )38 ,4( 5. 如果随机变量21,X X 不相互独立，则=-)(21X X E ( ) (1) )()(21X E X E + (2) )()(21X E X E - (3) )()()(2121X X E X E X E -+ (4) 以上都不对 6．设)2,0(~N X ，)(~2 n Y χ，且X 与Y 独立，则统计量 n Y X /2服从（ ） （1）自由度为n 的t 分布 （2）自由度为1-n 的2 χ分布 （3）自由度为1-n 的t 分布 （4）自由度为n 的2 χ分布 7.设随机变量X 在区间],2[a 上服从均匀的分布，且6.0)4(=>X P ，则=a （ ） (1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 6 8. 设321,,X X X 为取自同一总体X 的简单随机样本，下列统计量中方差最小的是（ ） （1） 321535252X X X ++ （2）321213161X X X ++ （3）32114914371X X X ++ （4）3213 13131X X X ++ 9. 设随机变量ΛΛn X X X ,,,21相互独立且同分布，它的期望为μ，方差为2 σ，令∑==n i i n X n Z 1 1，则 对任意正数ε，有{}= ≥-∞ →εμn n Z P lim （ ） （1）0.5 (2) 1 (3) 0 (4) 上述都不对 10. 设随机变量21,X X 独立，{}5.00==i X P ，{}5.01==i X P ，2,1=i ,下列结论正确的是（ ） (1)21X X = (2)1}{21==X X P (3)5.0}{21==X X P (4)以上都不对 二、填空(每小题3分，共18分，右侧对应题号处写答案) 1. 设事件A 与B ，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ① . 2.已知离散型随机变量X 分布律为{},k P X k C == 1,2,k N =L ，则=C ② ______ 3.总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，则均值μ的置信度为1α-置信区间为 ③ ____________________________________________________________________ 4. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望)(2X E 为④_________________ 5. 设（621,,,X X X Λ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，26 4 2 3 1 )()(∑∑==+=i i i i X X Y ， 若 cY 服从2χ分布，则C=⑤_______ 6. 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1Λ中任取一个数，记为Y ，则 ==}2{Y P ⑥ （7分）三、 某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ （7分）四、 设随机变量X 的密度函数为()f x X ，1+=X Y ,求Y 的概率密度函数. （8分）五. 注意：学号参照范例用铅笔工整书写和填涂，上方写学号，下方填涂,一一对齐；每六点连线确定一个数字，连线不间断，不得涂改；数字1可连左边或右边，请认真完成。本卷共4页，须在虚线框内完成作答。选择题通过填涂选项编号数字作答。 右侧为选择题答案填涂区(答案选项用铅笔连成数字） ，其中选第1项涂1, 选第2项涂2, 以此类推；填涂规 则见学号范例， 六点一个数字，数字1可连接左边或右边三点。注意：框架内只填涂答案，不可书写其他内容，不涂改。 第3页 第4页 （7分）五、设随机变量X 的分布密度为：1()0,1x f x x <=≥? 当当 试求：（1）1 1 ??-<< ?p X ； （2）分布函数()F x （7分）六、 设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞= -x e x f x ,2 )(.求：（1）X 的数学期望)(X E 和 （8分）七、某电站供应10000户居民用电。设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户的用电是相互独 （8分）八、 设总体X 的概率密度函数为???≥=--其他,0,)()(θ θx e x f x ，θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，求θ的矩估计量θ?，并验证θ?是θ的无偏估计量. （8分）九、证明题：设t ?是参数t 的无偏估计，且0)?2?2 第1页 第2页 概率统计试题（20170225）参考答案 一．2,1,2,2,2,1,2,4,3,3 二．（1）0.6（2） 2)1(+N N （3） ),2 2n U X n U X σσαα+-（（4）18.4（5）31（6）4813 三．全概率公式 3 1 255354402 ()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===?+?+? ∑ 0.0345= 四．1+=x y 单调可导，,1-=y x 由公式法，)1()(-=y f y f X Y 五． (1)P(-1/2<ξ <1/2)=1/2 1/2 1/21 2 arcsin 1/30 x π π -= =? 当x<-1时 F(x)= 0-∞ =? x 0dx 当11x -≤<时 F(x)= 1 1 1 arcsin arcsin 12x x dx x x π π-= =+-? 当x 1≥时 F(x)= 1 1 1 arcsin 11 x π -= =-? 故ξ分布函数为 F(x)=011 arcsin 21x π???+? ??? 1 -111 ≤≥x<-x 六． 021)(=?= -∞ +∞-?dx e x X E x ，=)(X D dx e x x -∞+∞-??-21)0(222 12=?=-∞+∞ -?dx e x x )()()()(),(X X E X E X E X X E X X Cov =-?=02 1=?=-∞ +∞-?dx e x x x X 与X 不相关 ,00>?x =≤≤),(00x X x X p >≤)(0x X p )()(00x X p x X p ≤?≤ 即存在00>x ，使[[)()(),(0000x F x F x x F X X ≠ ，故X 与X 不相互独立。 七．X 为用户数)8.0,10000(~B 1600)1(.8000=-=p np np X P (>8100)=0062.0)5.2(1)1600 8000 8100( 1)8100(1=Φ-=-Φ-≈≤-X p 八．由1)()(+==? ∞ --θθ θdx xe X E x 得：1?-=X θ 而θθθ=-+=-=-=∑=1)(11)1(1)()?(1n n n X n E X E E n i i ，所以1?-=X θ 是θ的无偏估计。 九．由公式 () ()()[]2 2 x E x D x E += 有 () ()()[]()222 2 ????t t t D t E t D t E >+=+= 故2?t 不是2t 的无偏估计量.
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