练习题
第六章 定积分
1. 1
1()(2)(0)x
F x dt x t
=
-
>?
的单调增加区间为_____. 1
(,)4+∞
2. 函数0
()x
t F x te dt -=?
在点x =____处有极值. 0
3.设sin 2
01()sin ,()sin 2
x f x t dt g x x x =
=-?,则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶,但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =
4.计算35
2322
0sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx π
π?-=?
5.计算
2
1
1ln e dx
x x
+?
. 2(31)-
6.求函数dt t t x x I )ln 1(1
)(-=
?
在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()
341
2-e ,最小值0
7.设函数???
??≥=<<-+01 2cos 110 )(2x x
x xe x f x ,计算
?
-4
1
)2(dx x f .
()
11tan 2
1
4-+e 8.
2
sin (
)x
t dt t
π'=?( C ) (其中2x π
>).
(A)
sin x x (B)
sin x
C x
+ (C)
sin 2x x π- (D) sin 2x C x π
-+ 9. 设()f x 是连续函数,且
3
()x f t dt x =?
,则(8)f =_____.
1
12
10. x
dt t x x cos 1)sin 1ln(lim
-+?→=___1__ ;
)
1ln(cos lim
20
2x tdt
x x +?→=__1__ .
11. 设()()()b
a
d d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-???存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =
12. 已知1
(2),(2)02
f f '==,及20()1f x dx =?,则120(2)x f x dx ''? = 0__ .
13. 若sin 0
()cos x
f t dt x x =+?
(0)2
x π
<<
,则()f x =__
2
11x x
--___.
第五章 不定积分
1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =?__ _. (sin )F x C +
2. 若
()sin 2,f x dx x C =+?则()f x =__ _. 2cos 2x
3.
2()1x
f x dx C x =
+-?
,则sin (cos )xf x dx =?_ __. 2cos sin x C x
-+ 4. 若
()()f u du F u C =+?
.则211
()f dx x x
?=?__ _. 1()F C x -+
5.求
sin cos sin cos x x
dx x x -=+?_____. ln sin cos x x C -++
6. 求
ln(ln )
x dx x ?. ln (ln ln 1)x x C -+
7. 已知()f x 的一个原函数为x
e -,求(2)x
f x dx '?
. 211()22x e x C
--++
8.计算?
+dx x
x
2cos 12. tan ln cos x x x C ++
9.求
dx e
x
?-11
. ln 1x
x e C --+
10.计算?
+dx x xe x
2
)1(. 1
x
x xe e C x -+++ 11.计算 ?++dx x x
x )
1(2122
2
. 1
arctan x C x
-
++ 12.求?dx x x 2sin 2cos 2. 1
2sin 2C
x -+
13.求
2
arctan 1x x dx x
+?
.
221arctan ln(1)x x x x C +-+++
第四章 导数应用
1.计算极限 (1)0
ln lim ln sin x x
x
+
→=___1___. (2) cot
2
0lim(1)x
x x →+ =___2e ___
(3) 01lim(ln )x
x x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__
(5) +1
ln(1)lim arccot x x x →∞+
=___1___
2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 3
3. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 1
11
lim x
x x
-→ (B)20
1
sin
lim
sin x x x x
→
(C) 3ln lim
x x x →+∞ (D) lim ln x x a
x x a
→+∞-+
4. 设()y f x =满足方程sin 0x
y y e
'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).
(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导,lim ()lim ()0x a
x a
f x
g x →→==,且()
lim
()
x a
f x A
g x →=,则( C ). (A)必有()
lim
()
x a
f x B
g x →'='存在,且A B = (B) 必有()
lim
()
x a
f x B
g x →'='存在,且A B ≠ (C) 如果()
lim
()
x a
f x B
g x →'='存在,则A B = (D) 如果()
lim
()
x a
f x B
g x →'='存在,不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数,且()0f x ''≠,则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点
(B) 一定是函数()f x 的极值点
(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定
7.求曲线22
12x y e
π
-
=
的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.
x
(),1-∞-
1-
()1,0-
0 (0,1)
1
(1,)+∞
曲线y 单调增
上凹
拐点
1(1,
)
2e
π-
单调增 下凹
极大值
12π
单调减 下凹
拐点 1
(1,
)
2e
π
单调减 上凹
8.求函数32)1()4()(+?-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.
x
(,2)-∞-
2-
(2,1)--
1-
(1,1)-
1
(1,)+∞
)(x f '
+ + + 不存在 - 0 + ()f x ''
- 0 + 不存在 + + + )(x f
↑下凹
拐
点
(2,6)-
↑上凹 极大值0
↓上凹
极小值33 4.-
↑上凹
9. 证明不等式:123(0)x x x
≥-
>
.
10. 证明方程5
510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示:设5
()51f x x x =-+,
利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式:
ln(1)1x
x x x
<+<+ (0x >). (提示:对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)
第三章 导数
1.设函数()f x 依次是,,sin x n
e x x ,则()
()n f
x =____ ,!,sin()2
x n
e n x π+.
2.若直线1
2
y x b =
+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.
32 3.设)(x f 是可导函数,则220()()
lim
x f x x f x x
?→+?-=?( D ).
(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '
4.若0
()sin 20
ax e x f x b x x ?<=?+≥? 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).
(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01
()3
f x '=,则0x ?→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).
(A) 与x ?等价的无穷小
(B) 与x ?同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ?低阶的无穷小 (D) 比x ?高阶的无穷小
6.曲线2
1y ax =+在点1x =处的切线与直线1
12
y x =
+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2x
f x =,则0
()(0)
lim
x f x f x
→''-=____. 2ln 2
8.)(x f =2
1sin
00
x x x
x ?≠???=? 在点x=0处 D .
A.连续且可导
B.连续,不可导
C.不连续
D .可导,但导函数不连续
9.设()f x ''存在,求函数()
f x y e
-=的二阶导数. ()
2[(())()]f x y e
f x f x -'''''=-
10.2
ln(1)x y e =+,求dy . 2
2
2
2ln(1)1x x
x e x dy e dx dx e
?'=+=
+.
11. 方程arctan
22
y
x
x y e +=确定y 是x 的函数,求导数x y '.
第一、二章 函数极限与连续
1. )(x f 定义域是[2,3],则)9(2
x f -的定义域是___. ]5,5[-
2. 设x x g -=2)(,当1≠x 时,[]1
)(-=
x x
x g f ,则=)23(f _ _. -1
3. 设函数)(x f 和)(x g ,其中一个是偶函数,一个是奇函数,则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-
(C) )()()()(x g x f x g x f ?=-?- (D) )()()()(x g x f x g x f ?-=-?-
4.()()()
1020
15
21213lim
16x x x x →∞
+++. 5
3
()2
5.()()111
lim 13352121n n n →∞??+++ ? ???-+?
?L . 12 6. 2
31
sin 5
3lim
x
x x x -∞→. 3
7. 设????
?
??
??
>=<+=0
sin
01
)1()(1x e x x x x x x f x ,求)(lim 0
x f x →. e
8. 32sin 01tan 1tan lim 1x x x x
e →+---. 512
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案