当前位置:文档之家› 第一章 矢量分析-2008

第一章 矢量分析-2008

本章内容

1.1 矢量代数

1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度

1.4矢量场的通量与散度

1.5矢量场的环流和旋度

15

1.6无旋场与无散场

1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理

矢量用坐标分量表示

z

G A z

z

z y y x x A e A e A e A G G G G ++=A

γ

A A A x =co s αA x A y

y

α

β

O

A A A y z ==co s co s βγ

x

)

cos cos cos (γβαz y x e e e A A G

G G G ++=γ

βαcos cos cos z y x A e e e e G

G G G ++=

212.

矢量的代数运算G G ()矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为B

A +G B

G 邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加法

A

在直角坐标系中两矢量的加法和减法:

)()()(z z z y y y x x x B A e B A e B A e B A ±+±+±=±G

G G G G 矢量的加减符合交换律和结合律

G G ?A

G B G G G

G G B

A B

G ?=G G

G G G G A B B A

+=+交换律矢量的减法

结合律()()A B C A B C

++++

(2)标量乘矢量

kA

e

kA

e

kA

e

A k

G

G

G

G

+

+

=

(3)矢量的标积(点积)

z

z

y

y

x

x

G

B

G

θ

z

z

y

y

x

x

B

A

B

A

B

A

AB

B

A+

+

=

=

cos

K

K

G G G G

A

矢量与的夹角

A

G

B

G

A B B A

?=?——矢量的标积符合交换律

G G G G

A B?=0

G

G G G

AB

?=

=

?

=

?

=

?

x

z

z

y

y

x

e

e

e

e

e

e

K

K

K

K

K

K

A B

⊥B

A//A B

1

=

?

=

?

=

?

z

z

y

y

x

x

e

e

e

e

e

e

K

K

K

K

K

K

(5)矢量的混合运算

G G G G G G G C B C A C B A ?+?=?+)(C

B C A C B A G G G G G G G ×+×=×+——分配律

——分配律

)()()()(B A C A C B C B A G G G G

G G G G G ×?=×?=×?——标量三重积C B A B C A C B A G G G G G G G G G )()()(???=××——矢量三重积

12

1.2三种常用的正交曲线坐标系

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系,称为正交曲线坐标系;三条正交曲线称为坐标轴;描述坐标轴的量称为坐标变量。

在电磁场与波理论中,三种常用的正交曲线坐标系为:直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

1z

1. 直角坐标系坐标变量

z

y x ,,0z z =(平面)

P

z

e G y

e G 坐标单位矢量z

y x e e e G G G ,,点P (x 0,y 0,z 0)

y o

y

x

e G z e y e x e r z y x G G G G ++=位置矢量

G G G G =0y =(平面)

x

0x x =(平面)

直角坐标系

面元矢量线元矢量z e y e x e l z y x d d d d ++z

y e l l e S x z x x d d d d d G

G G ==z

d z

y

x e S z z d d d G

G =z

x e S y y d d d G

G =y G

G G ==z

x e l l e S y z x y y d d d d d G

G G == d y d x

z

y e S x x d d d G

G =y

x e l l e S z y x z z d d d d d 体积元

z

y x V d d d d =x

y

o 直角坐标系的长度元、面积元、体积元

2. 2.

圆柱坐标系z

,,φρ坐标变量z

e e e G G G ,,φρ坐标单位矢量G z

e e r z G G +=ρρ位置矢量G G G G =圆柱坐标系

φρρφρρd d d d d z z e l l e S G

G G ==z

e e e l z d d d d ++φρρφρ线元矢量面元矢量

ρφρφφd d d d d z z e l l e S G

G G G

G G ==φ

ρρφρd d d d d z z z e l l e S ==z

V d d d d φρρ=体积元

圆柱坐标系中的线元、面元和体积元

33. 球坐标系θr 坐标变量

φ

,,φ

θe e e r G G G ,,坐标单位矢量r e r r G G =位置矢量G

G G G +球坐标系

φθθd d sin d d d 2

r e l l e S G G G ==φ

θθφθd sin d d d r e r e r e l r +=线元矢量面元矢量

φθr r r φ

θφθθd d sin d d d r r e l l e S z r G

G G ==G

G G θ

φθφφd d d d d r r e l l e S r ==φ

θθd d d sin d 2

r r V =体积元球坐标系中的线元、面元和体积元

4. 坐标单位矢量之间的关系G x

e G y

e G z e G G cos sin 直角坐标y

φ

G y

e ρe G φ

e G ρ

e φe G e G φφ0φcos φsin ?01与圆柱坐标系

单位圆

x

e z

ρ

e G φ

e G z e G G i 0圆柱坐标o

φ

x

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

r

e θe G e G θsin θcos θsin ?θcos 00

1

与球坐标系

z

z

e G r

e G φ

直角坐标z

e G G i x

e G y

e G θθ

ρ

e G

G 与球坐标系

r

e θe G G φθcos sin θcos θ

sin ?φθsin cos ?φθsin sin φθsin cos φ?o

θ

ρ

单位圆

柱坐标系与求坐标系之间θ

e φ

e 0

φcos sin 坐标单位矢量的关系

1.31.3

标量场的梯度标量场和矢量场

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在该区域上定义了一个场。

如果物理量是标量,称该场为标量场。

例如:温度场、电位场、高度场等。

如果物理量是矢量,称该场为矢量场。

例如:流速场、重力场、电场、磁场等。

如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场。G

从数学上看,场是定义在空间区域上的函数:

、),,(z y x u )

,,(z y x F G

静态标量场和矢量场可分别表示为:时变标量场和矢量场可分别表示为:

、),,,(t z y x u ),,,(t z y x F

11.

标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空

间形成的曲面。

意义:u=c 2

u=c 1 形象直观地描述了物理量在空间

的分布状态。

标量场的等值线(面)

u=c

C z y x u =),,(等值面方程:

梯度的性质:?

标量场的梯度是矢量场,它在空间某点的方向表示该点场变化最大(增大)的方向,其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。

?标量场在某个方向上的方向导数,是

梯度在该方向上的投影。

?标量场的梯度垂直于通过该点的等值面(或切平面)

???=?=?u C Cu C )(0

梯度运算的基本公式:?????+?=??±?=±?u v v u uv v u v u )()(????′=?u

u f u f )()(

例1 三维高度场的梯度

例2 电位场的梯度

高度场的梯度

电位场的梯度

?与过该点的等高线垂直;

?与过该点的等位线垂直;

?数值等于该点位移的最大变化率;?指向地势升高的方向。

?指向电位增加的方向。

?数值等于该点的最大方向导数;

矢量分析与场论

矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1. 矢性函数的定义:数性变量t 在一范围G 内,对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数,并称G 为A 的定义域,记作:()A A t = 2. 矢性函数的极限和连续性 (1) 矢性函数极限的定义:()A t 在0t 某领域内有定义,对于0ε?>,0δ?>,常矢 量0A ,只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ,则称0A 为()A t 当0t t →的极 限,记作:0 0lim ()t t A t A →= ; 极限的性质:(有界性)若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>,M>0,0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明: 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ,00()()1A t A A t A ∴-<-< , 0()1A t A ∴<+ ,取M=01A + 极限的则运算:0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ,()A t ,()B t 当0t t →时极限均存在。 证明:设0 0lim ()t t A t A →= ,0 0lim ()t t u t u →=,0 0lim ()t t B t B →= ; 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ,

全的矢量分析与场论讲义(必考

矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数()t A ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢()t 'A 的几何意义,即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t 值的点处,且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ,即矢性函数成为()s A A =,则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量,而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量,故有()()t t 'e e ⊥,此外又由于()()t t 1'e e =,故()()t t 1e e ⊥。(圆函数还可以用来简化较冗长的公式,注意灵活运用)。 5 在矢性函数的积分法中,注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同,分别为:

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢A't的几何意义,即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t值的点处,且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s,则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量,而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量,故有e t _e't,此外又由于e' t = ei t,故e t — & t。(圆函数还可以用来简化较冗长的公式,注意灵活运用)。 5在矢性函数的积分法中,注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同,分别为: A B'dt 二AB— B A'dt

A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致,后者有两两项变为了求和,这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中,在引进了矢量坐标之后,一个空间量就和三个数量构成 对应关系,而且有关矢量的一些运算,例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样,在矢量分析中,若矢性函数采用坐标表示式,则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系,而且有关矢性函数的一些运算,例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分 的基本运算公式(p16)典型例题: 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一(p19~20) 此外还有上课所讲的例题。补充: 1 2 TT 1)设r 二a0]亠b k,求S 二-i ir r' d^ 2)一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动,试证明其加速度 2 八-£r,其中v为速度v的模。 a 3)已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4)已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e,k,计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分:第一部分为第一节,除介绍场的概念外,主要讨论了如何从宏观上利用等值面(线)和矢量线描述场的分布规律;第二部分为第二、三、四节,内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性;第三部分为第五节,主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等,都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面,电位场中的等位面,都是空间数量场中等值

矢量分析与场论课后答案.

矢量分析与场论 习题1 1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解: ()1r a ti b tj cos sin =+,其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++,其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线,为一椭圆。 4.求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解:曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为 2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6.求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解:曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处,t r ai a k t π τ4 d d = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和 法平面方程。 解:由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广,主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具,研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习,可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具,并初步接触到算子的概念及其简单用法,为以后学习有关专业课程和解决实际问题,打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数()t A ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢()t 'A 的几何意义,即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t 值的点处,且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ,即矢性函数成为()s A A =,则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量,而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量,故有()()t t 'e e ⊥,此外又由于()()t t 1'e e =,故()()t t 1e e ⊥。(圆函

第一章矢量分析

1矢量分析 1.在球面坐标系中,当?与φ无关时,拉普拉斯方程的通解为:()。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的(),这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律,除有限个点或面以外,它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为,它是一个标量;矢量场的()也是一个标量,定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为,它是一个标量;矢量场的旋度是一个(),它定义为。 5.标量场u(r)中,()的定义为,其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为()。 任一矢量的旋度的散度恒为()。 7. 算符▽是一个矢量算符,在直角坐标内,,所以 是个(),而是个(),是个()。

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质,分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手,()方程和()方程组成了矢量场的基本微分方程。 9. ()坐标、()坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量:()。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量:()。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个标量()地描述,则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个矢量()地描述,则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做() 15. 标量函数的梯度是(),如静电场 16.无旋场的()不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做() 18. 矢量的旋度是(),如恒定磁场 19.无散场的()不能处处为零 20.一般场:既有(),又有() 21.任一标量的梯度的旋度恒为()

第一章 矢量分析典型例题

第一章 矢量分析 1.1.试证明下列三个矢量: x y z 11e 9e 18e A =++ ,x y z 17e 9e 27e B =++ ,x y z 4e 6e 5e C =-+ 在同一平面上。 1.2.给定三个矢量A ,B 和C 如下: x y z e 2e 3e A =+- ,y z 4e e B =-+ ,x y 5e 2e C =- 求:1)A e (A e 表示矢量A 方向上的单位矢量)。 2)B A ? 3)A C ? 1.3.证明:如果C A B A ?=?且A B A C ?=? ,则B C = 。 1.4.如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确 定该未知矢量。设A 为一已知矢量,P A X = 而P A X =? ,P 和P 已知,试求X 。 1.5.设标量2 3 u xy yz =+,矢量x y z 2e 2e e A =+- ,试求标量函数u 在(2,1,1) -处沿矢量A 的方向上的方向导数。 1.6.设232(,,)3u x y z x y y z =-,求u 在点(1,2,1)M -处的梯度。 1.7.设23 x y z e e (3)e A x y z x =++- ,求A 在点(1,0,1)M -处的散度。 1.8.设324x y z e 2e 2e A xz x yz yz =-+ ,求A 在点(1,1,1)M --处的旋度。 1.9.求1 ()r ?。 1.10.设r =(,,)M x y z 的矢径r 的模,试证明:0r r r r ?= = 。 1.11.计算:1)矢量r 对一个球心在原点,半径为a 的球表面的积分。 2)??对球体积的积分。 1.12.求矢量22 x y z e e e A x x y z =+- 沿,x y 平面上的一个边长为2的正方形回 路的线积分,此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。再求A ?? 对此回路

第一章矢量分析与场论基础题解

第一章 矢量分析与场论基础 1-1 求下列温度场的等温线 1)T xy =,2)T x y = +12 2 解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得 ⑴ C xy =,x C y = ;⑵ C y x =+2 2 1-2 求下列标量场的等值面 1)u a x b y cz = ++1 ,2) =- u z x y 2 2 +, 3)u x y z =ln(++) 2 2 2 解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++ ⑵ c y x z =+- 2 2 ,() 2 2 2 c z y x -=+ ⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++ 1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。 解 根据矢量线的定义,可得 z z y y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z = 将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。 1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。 解 根据矢量线的定义,可得 z y z y x y x y x 2 2 2 d d d = = 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。 1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求: 1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向 导数, 2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量 l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。 解 l 的方向余弦为 1722 32 2 cos 2 22 = ++= α, 17 32 32 3 cos 2 22 = ++= β,17 22 32 2cos 2 22 = ++= γ ;

矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载

矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载《矢量分析与场论(第3版)》由谢树艺编,是在《工程数学——矢量分析与场论》(第2版)的基础上修订而成的下面是由分享的矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载,希望对你有用。 ???点击此处下载???矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案 出版社:高等教育出版社;第4版(xx年5月1日) 平装:170页 语种:简体中文 开本:32 ISBN:7040348489,9787040348484 条形码:9787040348484 商品尺寸:19.6x13.6x0.8cm 商品重量:159g 品牌:高等教育出版社 ASIN:B0084XU730 本书各章包括:矢量分析,场论,哈密顿算子V,梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式。此外,考虑到某些学科领域的需要,作为本书的附录,增讲了若干正交曲线坐标系。《矢量分析与场论(第3版)》可作为一般工科院校本课程的教材使用。 第一章矢量分析 第一节矢性函数

1.矢性函数的概念 2.矢端曲线 3.矢性函数的极限和连续性 第二节矢性函数的导数与微分 1.矢性函数的导数 2.导矢的几何意义 3.矢性函数的微分 4.矢性函数的导数公式 5.导矢的物理意义 6.拉格朗日中值定理 第三节矢性函数的积分 1.矢性函数的不定积分 2.矢性函数的定积分 习题1 第二章场论 第一节场 1.场的概念 2.数量场的等值面 3.矢量场的矢量线 4.平行平面场 习题2 第二节数量场的方向导数和梯度

1.方向导数 2.梯度 习题3 第三节矢量场的通量及散度 1.通量 2.散度 3.平面矢量场的通量与散度 习题4 第四节矢量场的环量及旋度 1.环量 2.旋度 习题5 第五节几种重要的矢量场 1.有势场 2.管形场 3.调和场 习题6 第三章哈密顿算子▽ 习题7 第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式 第一节曲线坐标的概念

矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社

矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社 习题1 解答 1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解: ()1r a ti b tj cos sin =+,其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++,其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线,为一椭圆。 2.设有定圆O 与动圆c ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解:设M 点的矢径为OM r xi yj ==+,AOC θ∠=,CM 与x 轴的夹角为2θπ-;因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4.求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。 解:曲线的矢量方程为k t j t ti r 323 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6.求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π 4=处的一个切向矢量。

数学物理方程第一章矢量分析与场论基础(20200511214611)

第一章矢量分析与场论基础 内容提要 1)正交曲线坐标系: 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义: q ! =qdx, y,z ) q ?二q 2(x,y,z ) q ? =q 3(x,y,z ) 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 dl i =hi dq i dh ph j dq j ■ 卡 F dS i =dl j dl k = ?h j h k dq j dq k dv 二 dh dl j dl^ h i h j h k dq i dq j dq k 式中 i 、 j 、 k 代表循环量 1、2、3, q? = ?j c?k , (?i (?j (?k = 1 , 的 - sin 日 0 cos 日] = cos 。0 si n 日 ■ 0 1 0 一 球坐标与柱坐标 球坐标与直角坐标 2)矢量及其运算: 直角坐标中算符I 的定义: - cos? sin ? = -s in ? cos ? 1 - 0 0 oe y 柱坐标与直角坐标 sin 二 cos : cos 日 sin 二 sin : cos ^sin : cos 日 1 @x I h i 称拉梅系数。 三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:

一个标量函数u 的梯度为: 梯度给出了一点上函数 u 随距离变化的最大速率,它指向u 增大的方向。 一个矢量F 穿过一个曲面S 的通量’-:为 屮=[F dS S 对一个闭合曲面而言, ds 向外为正。 直角坐标系中F 的散度 表示在这一点上每单位体积向外发散的 F 的通量。 散度定理: ' Fdv F ds V -S 其中v 是由S 所包围的体积。 斯托克斯定理: f F) ds — F dl 其中s 是由I 所包围的面积。 直角坐标系中F 的旋度 拉普拉辛是梯度的散度 e x .: x -y .:F y ■:y : z @ .£cz L r 0? ◎ 一 e x Vx F =— u _ u c '心二e x ?e y 散度的体积分=矢量的面积分 旋度的面积分=矢量的线积分

第一章矢量分析(修改)

第一章矢量分析(修改) 第一章矢量分析 (说明:本章为07电本英语讲义的中译本) 电磁场是矢量场,矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中,我们主要介绍矢量场理论基本知识:矢量运算,标量场的梯度,矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔(或那布拉)算符?的运算规则。稍后,将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理,它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。 1-1 矢量运算 我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类:标量和矢量。 仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A可写成 A?AeA 其中A是矢量A的大小,eA是与A同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模,单位矢量的模为1。矢量A方向上的单位矢量可以这样表示: eA?A A矢量将用黑斜体字母表示,单位矢量用e来表示。 作图时,我们用一有长度和方向的箭头表示矢量,如图1-1-1所示。如果两矢量A和B具有同样的大小和方向,它们是相等的。如果两矢量A和B具有同样的物理的或几何的意义,则它们

具有同样的量纲,我们可以对矢量进行比较。如果一个矢量的大小为零,我们称为零矢量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。 我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为s的平面,则面积矢量s的大小为s,它的方向按右手螺旋规则确定,如图1-1-2所示。 s A s 图1-1-2 面积矢量s 图1-1-1 矢量A 1-1-1 矢量加和减 两矢量A和B可彼此相加,其结果给出另一矢量C,C = A + B。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A和B相加的规则,如图1-1-3所示。由此我们可得出:矢量加法服从加法交换律和加法结合律。 交换律: A + B = B + A (1-1-1) 结合律:(A + B) + C = A + (B + C) (1-1-2) 1 C A B B A C B 由C = A + B,其也意味着一个矢量C可以由两个矢量A和B 来表示,即矢量C可分解为两个分矢量A和B(分量)。也可说,一个矢量可以分解为几个分矢量。 如果B是一矢量,则-B也是一个矢量。它是与矢量B大小相等,方向相反的一个矢量。因此,我们可以定义两矢量A和B的减法A-B为:

矢量分析与场论基础

第一章 矢量分析与场论基础 内容提要 1) 正交曲线坐标系: 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义: 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 式中i 、j 、k 代表循环量1、2、3,k j i q q q ????=,1???=??k j i q q q ,2 22???? ????+???? ????+???? ????=i i i i q z q y q x h 称拉梅系数。 三种坐标系中坐标单位矢量间的关系: 柱坐标与直角坐标 球坐标与柱坐标 球坐标与直角坐标 2) 矢量及其运算: 直角坐标中算符?的定义: 一个标量函数u 的梯度为: 梯度给出了一点上函数u 随距离变化的最大速率,它指向u 增大的方向。 一个矢量F 穿过一个曲面S 的通量ψ为 对一个闭合曲面而言,向外为正。 直角坐标系中F 的散度 表示在这一点上每单位体积向外发散的F 的通量。 散度定理: 其中v 是由s 所包围的体积。 斯托克斯定理: 其中s 是由l 所包围的面积。 直角坐标系中F 的旋度 拉普拉辛是梯度的散度 在直角坐标系中: 一个矢量的拉普拉辛定义为: 其它坐标也可写成: 柱坐标系中 球坐标系中 3) 亥姆霍兹定理: 矢量场F 可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和 其中 因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究 4) δ函数

定义: ???∞=-0)'(r r δ) '()'(r r r r =≠ 性质 a )偶函数:)()(x x -=δδ b )取样性:?∞ ∞-=-)()()(a f dx a x x f δ 有机会用到的表达式: 1-1. 证明: =18+6-24 =0 说明B A 与相互垂直 1-2. 空白 1-3. 证明: 说明B A 与相互垂直 1-4. 解: 当坐标变量沿坐标轴由i u 增至i i du u +时,相应的线元矢量i dl 为: =i i du u ??γ =i i i du u u ??γ ? 其中弧长 i i i du u dl ??==γ 其中 ∑==++=31 ?????332211j j j y x x x x x x x γ 令2 31∑-???? ????=j i j u x h i 则i du h dl i i = 1-5. 解: (1) 据?算子的微分性质,并按乘积的微分法则,有 其中c A 、c B 暂时视为常矢,再根据二重矢量积公式 将上式右端项的常矢轮换到?的前面,使变矢都留在?的后面 则 除去下标c 即可

第一章 矢量分析与场论

第一章 矢量分析与场论 实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量,而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。无论是标量还是矢量,一旦被赋予物理单位,则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量,就称其为标量场;如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间,而且在该空间域内,除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化,则称该场为静态场,不然,则称为动态场或时变场。 本章从定义标量和矢量出发,讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系;然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质;最后引入亥姆霍兹定理,它是矢量场共同性质的总结。 1.1 矢量及其代数运算 一、标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量,能够容易地区分为标量(scalar )和矢量(vector)。一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量,例如,电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上,所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量,电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如,矢量可以写成 (1-1-1) 其中是矢量的大小,的大小等于1,代表矢量的方向。 一个大小为零的矢量称为空矢(null vector )或零矢(zero vector ),一个大小为1的矢量称为单位矢量(unit vector )。在直角坐标系中,用单位矢量 、 和表征矢量分别沿 、和轴分量的方向。 空间的一点能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。从原点指向点的矢量称为位置矢量(position vector),它在直角坐标系中表示为 (1-1-2) 式中,和是在、和轴上的标投影。 任一矢量在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例 如,在直角坐标系中,矢量的三个分量分别是、、, 利用三个单位矢量 、 、可以将矢量表示成: (1-1-3) 矢量的大小: (1-1-4) 二、矢量的代数运算 1 矢量的加法和减法 任意两个矢量与的相加等于两个矢量相应分量相加,它们的和仍然矢量,即 (1-1-5) A A a A =A A a = A A a A x a y a z a x y z ()Z Y X P ,,P r Z Y X z y x a a a r ++=Y X ,Z r x y z A A x A y A z A x a y a z a A z z y y x x A A A a a a A ++=A A ( ) 2 1 222z y x A A A A ++=A B ) B (A )B (A )B (A z z z y y y x x x +++++=+=a a a B A C

数学物理方程:第一章 矢量分析与场论基础

第一章 矢量分析与场论基础 内容提要 1) 正交曲线坐标系: 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义: ),,(11z y x q q = ),,(22z y x q q = ),,(33z y x q q = 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 i i i dq h dl = i i i i dq h q dl ?= k j k j i k j i dq dq h h q dl dl ds ?=?= k j i k j i k j i dq dq dq h h h dl dl dl dv =??= 式中i 、j 、k 代表循环量1、2、3,k j i q q q ????=,1???=??k j i q q q ,2 2 2 ??? ? ????+???? ????+???? ????= i i i i q z q y q x h 称拉梅系数。 三种坐标系中坐标单位矢量间的关系: ???? ?????????????? ??-=??????????z y x z e e e e e e ???10 0cos sin 0sin cos ????????ρ 柱坐标与直角坐标 ???? ?????????????? ? ?=??????????z e e e e e e ???01 0sin 0cos cos 0sin ???? ρ? θγθθθθ 球坐标与柱坐标 ???? ?????????????? ? ?--=??????????z y x e e e e e e ???0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin ???? θθ?θ?θθ?θ?θ? θγ 球坐标与直角坐标 2) 矢量及其运算: 直角坐标中算符?的定义:

相关主题
相关文档 最新文档