动态规划作业 1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线? 把A看作终点，该问题可分为4个阶段。 f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。 f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30 f3(C1)=min[d3(C1,B1)+ f4(B1), d3(C1,B2)+ f4(B2), d3(C1,B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3 f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3 f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3 f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1 f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2 f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2 所以可以得到以下最短路线，
E→D1→C1→B2 / B3→A E→D2→C2→B3→A 2、习题4－2 解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3； 2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数， Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X k Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值 fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值 3)递推关系式： fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1 f4(S4)＝0 4）从最后一个阶段开始向前逆推计算 第三阶段： 设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为： f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4 表1
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
动态规划作业完整 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
动态规划作业 1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线? 把A看作终点，该问题可分为4个阶段。 f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。 f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30 f3(C1)=min[d3(C1, B1)+ f4(B1), d3(C1, B2)+ f4(B2), d3(C1, B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3 f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3 f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3 f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1 f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2 f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2 所以可以得到以下最短路线，
E→D1→C1→B2 / B3→A E→D2→C2→B3→A 2、习题4－2 解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3； 2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数， Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X k Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值 fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值 3)递推关系式： fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1 f4(S4)＝0 4）从最后一个阶段开始向前逆推计算 第三阶段： 设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为： f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4 表1
吉林师范大学计算机学院 教案 课程名称C程序设计(算法部分) 院系级计算机学院计算机科学与技术09级教研室(系、实验室)计算机基础教研室5101 授课班级09计算机科学与技术3班 实习生郑言 系指导教师滕国文 吉林师范大学计算机学院二○一二年四月二十五日（星期三5，6节）
课型章节： 动态规划基本思想 基要本参教考材资和料主： 算法设计与分析》 教学目的： 本课程以C语言为教授程序设计的描述语言，结合语言介绍程序设计的基本原理、技巧和方法。主要讲授内容包括程序设计动态规划基本概念，动态规划的基本步骤，动态规划问题的特征。通过本课程的学习，为算法更好的学习，以及能用计算机解决一些实际问题打下坚实的基础。 教学基本要求： 掌握C语言中动态规划的基本概念，动态规划的基本步骤，动态规划问题的特征。并能熟练使用C语言动态规划思想解决一些简单程序问题；掌握一些基本算法结构及相关方法；熟悉程序设计的思想和编程技巧。 重点： 动态规划基本概念，动态规划的基本步骤，动态规划问题的特征。 难点: 动态规划的基本步骤 课型： 理论课 教法： 1.多媒体讲解 2.举例讲解 教学内容及过程： 1.课前回顾： 枚举法:在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法． 2.数塔问题 有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
简单的进行选举方法的引导，让同学们主动思考到动态规划的思想上了。 考虑一下： 从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。 同样，下一层的走向又要取决于再下一层上的最大值是否已经求出才能决策。这样一层一层推下去，直到倒数第二层时就非常明了。 如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前进就可以了。所以实际求解时，可从底层开始，层层递进，最后得到最大值。 结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。 #include
动态规划的原理及应用 班级：计科1302班 小组成员：王海涛蔡佳韦舒 蒋宪豪尹卓 完成时间：2015年5月26日
动态规划的原理及应用 学生：算法设计第5组，计算机系 指导教师：甘靖，计算机系 摘要：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。特点是把多阶段决策问题变换为一系列相互联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。其基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优，适用于在解决问题过程中需要多次重复解决子问题的问题。其应用领域广泛，涉及到管理学、经济学、交通、军事和计算机等多个领域，将动态规划思想正确地应用于实践，将对我们的生活带来便利，甚至带给我们的社会和国家以保障。 关键词：动态规划；最优决策；应用；领域 The Principle and Application of Dynamic Programing The dynamic programing is a way to solve optimization problem in the process of multi-stage decision,whose feature is alter the multi-stage decision problems to single phase problems which are connected with each other,and then solve them one by one.The basic idea is to change the overall problem into partcial problem.And the partcial one must keep the best in order to promise the quality of overall one,which splies to repeatedly solving subproblem throughout the whole process.It is spreading to many fields,like management,economics,traffic,military and computer. Put the idea of dynamic programing correctly into practice will bring a lot of convenience to our daily life,our society as well as our country.
动态规划 一·动态规划法的发展及其研究内容 动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。 二·动态规划法基本概念 一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素： 1．阶段 阶段（stage）是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态 状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。 n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。 根据演变过程的具体情况，状态变量可以是离散的或是连续的。为了计算方便有时将连续变量离散化，为了分析的方便有时又将离散的变量视为连续的。 2．决策 当一个阶段的状态确定后，可以做出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策（decision），在最优控制问题中也称为控制（control）描述决策的变量称为决策变量（decision virable）。变量允许取值的范围称为允许决策集合（set of admissble
动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的
一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类
动态规划算法 1. 动态规划算法介绍 基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，最后用这些子问题带到原问题，与分治算法的不同是，经分解得到的子问题往往是不是相互独立，若用分治则子问题太多。 2. 适用动态规划算法问题的特征 （1）最优子结构 设计动态规划算法的第一步骤通常是要刻画最优解的结构。当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划算法求解的重要线索。 在动态规划算法中，问题的最优子结构性质使我们能够以自底向下的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。同时，它也使我们能在相对小的子问题空间中考虑问题。 （2）重叠子问题 可用动态规划算法求解的问题应具备的另一基本要素是子问题的重叠性质。在用递归算法自顶向下解此问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只有简单地用常数时间查看一下结果。通常，不同的子问题个数随输入问题的大小呈多项式增长。因此，用动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。 （3）备忘录方法
动态规划算法的一个变形是备忘录方法。备忘录方法也是一个表格来保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此子问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。 备忘录方法为每个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解过程中，对每个待求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题是第一次遇到，则此时计算出该子问题的解，并保存在其相应的记录项中。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，其相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时，只要从记录项中取出该子问题的解答即可。 3. 基本步骤 a 、找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 b 、递归地定义最优值。 c 、以自底向上的方式计算出最优值。 d 、根据计算最优值时得到的信息构造一个最优解。（可省） 例1-1 [0/1背包问题] [问题描述] 用贪心算法不能保证求出最优解。在0/1背包问题中，需要对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为i w ，价 值为 i v 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳 装载是指所装入的物品价值最高，即∑=n i i i x v 1 取得最大值。约束条件为 c x w n i i i ≤∑=1 ， {}() n i x i ≤≤∈11,0。
信息学竞赛中的动态规划专题 哈尔滨工业大学周谷越 【关键字】 动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法 【摘要】 本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。 【目录】 1.动态规划的动机和基本思想 1.1.解决重复子问题 1.2.解决复杂贪心问题 2.动态规划状态的划分方法 2.1.一维状态划分 2.2.二维状态划分 2.3.树型状态划分 3.动态规划的辅助与优化方法 3.1.常见辅助方法 3.2.常见优化方法 4.近年来Noi动态规划题目分析 4.1 Noi2005瑰丽华尔兹 4.2 Noi2005聪聪与可可 4.3 Noi2006网络收费 4.4 Noi2006千年虫 附录参考书籍与相关材料
1.动态规划的动机和基本思想 首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。 1.1 解决重复子问题 对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。而考虑下面这个问题： USACO 1.4.3 Number Triangles http://122.139.62.222/problem.php?id=1417 【题目描述】 考虑在下面被显示的数字金字塔。 写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。 【输入格式】 第一个行包含R(1<= R<=1000) ,表示行的数目。后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。所有的被供应的整数是非负的且不大于100。 【输出格式】 单独的一行包含那个可能得到的最大的和。 【样例输入】 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 【样例输出】 30 显然，我们同样可以把大问题化成小问题来解决。如样例中最底层的6就可以从次底层
常见动态规划算法问题 策略分析
目录 一、动态规划策略 (1) 1.动态规划介绍 (1) 2.求解动态规划问题步骤 (1) 二、几种动态规划算法的策略分析 (1) 1.装配线调度问题 (1) 2.矩阵链乘问题 (2) 3.最长公共子序列（LCS） (3) 4.最大字段和 (4) 5.0-1背包问题 (4) 三、两种解决策略 (5) 1.自底向上策略 (5) 2.自顶向上（备忘录）策略 (5) 3.优缺点分析 (5) 四、总结 (6)
一、动态规划策略 1.动态规划介绍 动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多 阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。 基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的 求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部 解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。 依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。 由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在 一个二维数组中。 与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建 立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。 2.求解动态规划问题步骤 （1）确定最优解结构 （2）递归定义最优解的值 （3）自底向上计算最优解的值 （4）重构最优解 二、几种动态规划算法的策略分析 1.装配线调度问题 分析：首先确定最优解结构，分析问题可知大致分为两种情况：
动态规划经典教程 引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结： 第一节动态规划基本概念 一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。 他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解： 如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。 下面举个例子： 要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。 一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。 经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。 下面在说说我对动态规划的另外一个理解： 用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。 二，动态规划的适用范围 动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？ 一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件： 最优子结构（最优化原理） 无后效性 最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答； 什么是无后效性呢？ 就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。 而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。 也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。 当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。 三，动态规划解决问题的一般思路。 拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法： 最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。 （2）三要素法 仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同： 先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告） 先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。 先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告） 一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。 （3）寻找规律法： 这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。 （4）边界条件法 找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。 （5）放宽约束和增加约束 这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。 第二节动态规划分类讨论
引言——由一个问题引出的算法 考虑以下问题 [例1] 最短路径问题 现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。 图 1 我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为 其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u表示从v到u的边的长度。 具体算法如下： 开始时标记所有的顶点未访问过，MinDistance(A就是从A到E的最短距离。 这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!，这是一个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？ 首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n 个，该算法的数量级为O(n。 更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。 请看图1，可以发现，A只和Bi相邻，Bi只和Ci相邻,...，依此类推。这样，我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段，设
动态规划 首先，让我们来看这样的一个问题： 考虑显示在下面的数字金字塔。 如果我们要计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最 大值。 每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 在上面的样例中,从7 到 3 到 8 到 7 到 5 的路径产生了最大和:30。 那么具体的，我们应该如何来求这样一个最大值呢？ 最简单的，我们可以用枚举法，我们把所有的结果都算出来，然后找出其中最大的。这是一个实际的办法，但是如果数据增多，运算量也会急剧增加。到了一定程度后便会难以实现。 那么，接着我就想到可以用贪心法么？ 如果用贪心法，在取完第一行的 7 后，应该取第二行的 8。 但是这样的话，没有总体的看问题，最后不一定能得到最优解。 如此，我们引进动态规划的思想。 什么是动态规划呢？ 动态规划是一种在组合数学和计算机科学中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。比较著名的应用实例有：求解最短路径问题，背包问题，项目管理，网络流优化等。 动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而
不会在解决同样的问题时花费时间。 动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。 而在我看来，有两点比较重要： 1、动态规划不是一种算法，而是一种思想。 2、动态规划问题没有定式。 引进了动态规划的概念后，让我们尝试解决一下上面的问题。 步骤： 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。 我们可以看到，每个数左下角都有小数，有一个或者两个，这表示到此步骤为止，他们的和是多少。例如第三行的 1 下有连个小数，分别是通过两条路径所达到的。那么这时我们完全可以舍弃比较下的11，而直接用16代替其为止。即例如我们需要求五层数字金字塔，我们便从第二层开始算起，化成对其子结构的运算。与此同时，在对子结构求解的过程中，我们同时保留最优解，舍去其他
动态规划习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
动态规划专题分类视图数轴动规题： 题1.2001年普及组第4题--装箱问题 【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0 对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100; 对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20; 对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100; 对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000; 题3.石子归并-szgb.pas 【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。 【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。接下去的n行,为每堆石子质量。 【输出】输出文件szgb.out的只有一行,该行只有一个整数,表示最小的质量差. 【样例输入】 5 5 8 13 27 14 【样例输出】 3 题4.补圣衣 【问题描述】有四个人，每人身上的衣服分别有s1,s2,s3和s4处破损,而且每处破损程度不同,破损程度用需修好它用的时间表示 (A1...As1,B1...Bs2,C1...Cs3,D1...Ds4)。不过你可以同时修补2处破损。但是这2处破损，只能是同一件衣服上的。就是说你只能同时修补一件衣服，修好了，才能修补下一件。 【输入】本题包含5行数据：第1行，为s1,s2,s3,s4(1≤s1,s2,s3,s4≤20) 第2行，为A1...As1共s1个数，表示第一件衣服上每个破损修好它所需的时间 第3行，为B1...Bs2共s2个数，表示第二件衣服上每个破损修好它所需的时间 第4行，为C1...Cs3共s3个数，表示第三件衣服上每个破损修好它所需的时间 第5行，为D1...Ds4共s4个数，表示第四件衣服上每个破损修好它所需的时间 (1≤A1...As1,B1...Bs2,C1...Cs3,D1...Ds4≤60) 【输出】输出一行,为修好四件衣服所要的最短时间。 【样例输入】 1213 5 43 6 243 【样例输出】 20 题5.光光的作业homework.pas/homework.exe 【问题描述】光光上了高中，科目增多了。在长假里，光光的老师们都非常严厉，都给他布置了一定量的作业。假期里，光光一共有的时间是k小时。在长假前，老师们一共给光光布置了n份作业，第i份作业需要的时间是ti小时。但是由于老师们互相不 动态规划作业完整公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 动态规划作业 1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线 把A看作终点，该问题可分为4个阶段。 f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。 f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30 f3(C1)=min[d3(C1, B1)+ f4(B1), d3(C1, B2)+ f4(B2), d3(C1, B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3 f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3 f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3 f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1 f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2 f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2 所以可以得到以下最短路线， E→D1→C1→B2 / B3→A E→D2→C2→B3→A 2、习题4－2 解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3； 2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数， Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X k Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值 fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值 3)递推关系式： fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1 f4(S4)＝0 4）从最后一个阶段开始向前逆推计算 第三阶段： 设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为： f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4 表1 动态规划 关健字：阶段状态决策函数递推式 摘要： 动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种思想方法。所谓“动态”，指的是在问题的多阶段决策中，按某一顺序，根据每一步所选决策的不同，将随即引起状态的转移，最终在变化的状态中产生一个决策序列。动态规划就是为了使产生的决策序列在符合某种条件下达到最优。动态规划思想近来在各类型信息学竞赛中频繁出现，它的应用也越来越受人重视。本文就是讨论如何运用动态规划的思想设计出有效的数学模型来解决问题。 一动态规划问题的数学描述 我们先来看一个简单的多阶段决策问题。 [例1]现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点1到结点10的最短路径。 第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段第五阶段 图1 本问题的解决可采用一般的穷举法，即把从结点1至结点10的所有道路列举出来，计算其长度，再进行比较，找出最小的一条。虽然问题能解决，但采用这种方法，当结点数增加，其运算量将成指数级增长，故而效率是很低的。 分析图1可知，各结点的排列特征： (1) 可将各结点分为5个阶段； (2) 每个阶段上的结点只跟相邻阶段的结点相连，不会出现跨阶段或同阶段 结点相连的情况，如不会出现结点1与结点4连、结点4与结点5连的情况。 (3) 除起点1和终点10外，其它各阶段的结点既是上一阶段的终点，又是下一阶段的起点。例如第三阶段的结点4、5、6，它即是上一阶段结点2、3中某结点的终点，又是下一阶段结点7、8、9中某结点的起点。 根据如上特征，若对于第三阶段的结点5，选择1-2-5和1-3-5这两条路径，后者的费用要小于前者。那么考虑一下，假设在所求的结点1到结点10最短路径中要经过结点5，那我们在结点1到结点5之间会取那条路径呢？显然，无论从结点5出发以后的走法如何，前面选择1-3-5这条路都总是会优于1-2-5的。也就是说，当某阶段结点一定时，后面各阶段路线的发展不受这点以前各阶段的影响。反之，到该点的最优决策也不受该点以后的发展影响。 由此，我们可以把原题所求分割成几个小问题，从阶段1开始，往后依次求出结点1到阶段2、3、4、5各结点的最短距离，最终得出答案。在计算过程中，到某阶段上一结点的决策，只依赖于上一阶段的计算结果，与其它无关。例如，已求得从结点1到结点5的最优值是6，到结点6的最优值是5，那么要求到下一阶段的结点8的最优值，只须比较min{6+5,5+5}即可。这样，运用动态规划思想大大节省了计算量。可以看出，动态规划是解决此类多阶段决策问题的一种有效方法。 二动态规划中的主要概念，名词术语 1阶段：把问题分成几个相互联系的有顺序的几个环节，这些环节即称为阶段。 2 状态：某一阶段的出发位置称为状态。通常一个阶段包含若干状态。如图1中，阶段3就有三个状态结点4、5、6。 3 决策：从某阶段的一个状态演变到下一个阶段某状态的选择。 4策略：由开始到终点的全过程中，由每段决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。 5 状态转移方程：前一阶段的终点就是后一阶段的起点，前一阶段的决策选择导出了后一阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段状态的演变规律，称为状态转移方程。 6 目标函数与最优化概念：目标函数是衡量多阶段决策过程优劣的准则。最优化概念是在一定条件下找到一个途径，经过按题目具体性质所确定的运算以后，使全过程的总效益达到最优。 三运用动态规划需符合的条件 任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同理，动态规划也并不是万能的。那么使用动态规划必须符合什么条件呢？必须满足最优化原理和无后效性。 1 最优化原理 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状动态规划作业完整
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