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第22章量子力学基础

实物粒子的波动性

（1）光的波粒二象性

光的干涉和衍射现象表明了光具有波动性，光电效应和康普顿散射表明了光具有粒子性。频率为ν、波长为λ的光波对应的光子的能量为h εν=，动量为h

p λ=，光子的质量为

h m c c ε

ν==22

。（2）德布罗意物质波假设

法国物理学家德布罗意从对称思想出发，大胆地设想：不仅光具有粒子和波动两种性质，而且实物粒子也具有这两种性质。并且假设描述粒子性质的能量E 和动量p 与描述波动性质的频率和波长λ之间的关系与光子一样，具有

E mc h ν==2， p m λ=h

v =

式中m 、v 分别是实物粒子的动质量和速度，上两式都称为德布罗意公式，和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，其波长称为德布罗意波长。

（3）实物粒子的波粒二象性

在经典力学中，所谓“粒子”是指该客体既具有一定的质量和电荷等属性(即物质的“颗粒性”或“原子性”)，又具有一定的位置和一条确切的运动轨迹(即客体在每一时刻有一定的位置和速度或动量)；而所谓“波动”是指某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。显然，在经典概念下，粒子性和波动性是很难统一到一个客体上去的，经典物理中没有波粒二象性。然而，大量实验表明，不但是电磁波，就是象电子、中子、质子和原子这样的物质粒子，都具有粒子性和波动性这两个方面的性质（衍射图样可证实波动性）。

1．波函数及其统计解释

（1）波函数 1925年，薛定锷提出了描述物质波的波函数。能量为E 、动量为p 的自由粒子沿x 方向运动时，对应的物质波是单色平面波，波函数为：

()()ψ,i Et px x t e ψ--= 0 (22-1)

如果粒子做三维自由运动，则波函数可表示为：

ψ(r ,t )= ψo exp[()i Et p r h π--?2 ] = ψ( r )exp (Et h

i π2-) (22-2) （2）波函数的统计解释 1926年德国物理学家玻恩提出，德布罗意波或薛定谔方程中

的波函数并不象经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波)，从而赋予了量子概念下的粒子性和波动性以统一明确的含义。

○

1波函数(),r t ψ 本身没有直接的物理意义。 ○

2对于中心点的坐标为(x ,y ,z )的小体积元d V =dxdydz ，粒子处于该小体积元内的概率dP=∣ψ(x ,y ,z )∣2d V ，∣ψ(x ,y ,z )∣2称为概率密度。

○3波函数满足归一化条件：(),r t dV ψΩ=?21 。对于概率分布来说，重要的是相对概

率分布。如果C 是常数(可以是复数)，则波函数ψ( r )与波函数C ψ( r )所描述的相对概率

分布是完全相同的，因为在空间任意两点 r 1和 r 2处，总有 C r C r r r ψψψψ()()()()

12221222=。这就是说，ψ( r )与C ψ( r )所描写的是同一个概率波，波函数有一个因子的不确定性。在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。一个经典波的振幅不同，波的能量也不同，代表完全不同的波动状态。因此，经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以归一化。

○

4波函数的标准条件：单值、有限、连续。不符合标准条件的波函数没有物理意义。玻恩提出的波函数的概率诠释，是量子力学的基本原理之一。

2．不确定性关系

由于运动粒子的波粒二象性，在任意时刻粒子的位置和动量都有一个不确定的量。1927年海森伯给出如下不确定关系：位置动量不确定关系：,x y z x p y p z p ????≥

??≥??≥ ???222 (22-3) 能量时间不确定关系：E t ??≥

(22-4) 对不确定关系的说明：

(1) 此关系完全来自物质的二象性，由物质的本性所决定，与实验技术或仪器的精度无关。

(2) 不确定原理对任何物体都成立。

4．薛定锷方程（非相对论情况）

对于质量为m 、动量为p 、能量为E 的自由粒子，在非相对论情况下有关系E=p 2 / 2m ，其自由粒子的薛定谔方程

ih t 2π??ψ( r ,t )= -h m

2228π?ψ( r ,t ) 如果粒子在势场U ( r )中运动，则薛定谔方程为

ih t 2π??ψ( r ,t )= [-2228?m

h π+ U ( r )]ψ( r ,t ) (22-5) 如果势能U ( r )不显含时间t ，机械能守恒，用分离变量法可求得定态薛定谔方程

[-h m 2

228π?+ U ( r )]ψ( r )= E ψ(

r ) (22-6) ψ( r )称为定态波函数，该波函数所描写的量子态称为定态。

如果粒子在一维空间运动，可得一维定态薛定谔方程

0)()]([8)(2222=-+x x U E h

m dx x d ψπψ (22-7) 5．一维定态薛定谔方程的应用

用定态薛定谔方程处理一维问题，可通过一些简单的例子体现量子体系的许多特征。

⑴ 一维无限深势阱：粒子势能：0 < x < a 区域U (x )= 0；x ≤ 0和x ≥ a 区域，U (x )= ∞。可以得到体系能量量子化的能级公式（本征值）和波函数表达式（本征函数），粒子具有最低能级不为零的零点能。

⑵ 线性谐振子：粒子在势能为U (x )=12m ω2x 2的一维空间中运动。

得到体系能量量子化的能级公式。线性谐振子的基态能量(零点能)也不为零的。它还给出一些与经典力学完全不同的量子效应。

⑶ 方势垒：能量为E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒U (x )，在0 ≤ x ≤ a 区域势能U (x )= U o ；在x < 0和x > a 区域势能U (x )= 0。

讨论一个粒子被势垒散射到各个方向去的概率。散射中粒子的能量可以取任意值，组成连续谱。解薛定谔方程可以得到一种奇特的结果：粒子能穿透比动能更高的势垒，称为隧道效应。

1982年，宾尼和罗雷尔等人利用电子的隧道效应，研制成功了扫描隧道显微镜(STM )。使人类第一次能够实时地观测单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质，这在表面科学、材料科学和生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景。

6．量子力学处理氢原子问题简介

假定氢原子核是固定的，讨论电子在原子核库仑场U (r )= - e /(4πεo r )中运动，这属于有心力场问题(严格地说，核是运动的，实际是个两体问题)。在经典力学和量子力学中，有心力场问题都占有特别重要的地位。此类问题的处理中，角动量守恒定律起了重要的作用。

（1）氢原子的薛定谔方程

使用球坐标系讨论较为方便。设波函数ψ(r ,θ,?)= R (r )Θ(θ)Φ(?)，使用分离变量法求解，可得三个独立变量的方程如下

-=122

2ΦΦd d m ? (22-8) 1241222

R d dr r dR dr mr E e r o ()()()++=+ πε (22-9) m d d d d

211sin sin (sin )()θθθθθ-

=+ΘΘ (22-10) （2）四个量子数

求解上述三个方程，考虑波函数单值、有限、连续的条件，可得以下几个重要结果。 ○

1氢原子能量E 的量子化和主量子数n 解方程(22-9)，要求波函数连续，可得到氢原子量子化的能级公式

E n = -1

824

22n me h o ()ε= E 1 / n 2 (22-11)

式中n=1,2,3…，n 称为主量子数，E 1= -13.6 eV 。这一结果与玻尔用半经典理论所得完全一致,n = 1时氢原子处于基态,n > 1时处于激发态。

○

2电子轨道角动量L 的量子化和轨道角量子数解方程(22-9)、(22-10)，要求波函数有限，可得到电子轨道角动量L 的量子化条件

L = h /(2π) ()+1= ()+1 ， = 0,1,2…n -1 (22-12) 称为轨道角量子数，取值受到主量子数n 的限制，给定n ，只能取0,1,2…n -1等n 个值。与能量一样，氢原子中电子的轨道角动量也是量子化的，不能取任意值。

根据薛定谔方程解出的氢原子轨道角动量量子化条件与玻尔理论的量子化条件区别：薛定谔方程解出的轨道角动量量子化条件为L=)1(+ ，( =0,1,2,3…n -1)，轨道角动量

的最小值可以为零；根据玻尔氢原子理论，轨道角动量量子化条件为L=n ， = 1,2,3…，轨道角动量的最小值不为零，而是。实际结果证明薛定谔方程解出的氢原子轨道角动量量子化条件正确。

○

3轨道角动量空间取向L z 的量子化和轨道磁量子数m 解方程（22-8），要求波函数单值，可得电子轨道角动量L 的空间取向L z 的量子化条件

L z == m ，（22-13）

m = 0,± 1,±2…± 。m 称为轨道磁量子数，它的取值受到角量子数的限制，对于给定的，只能取0,± 1,±2…± 等2 + 1个值。

作圆周运动的带电粒子会产生一个磁矩m ，而磁矩m 是与粒子的轨道角动量 L 成正比

的，如果L 是量子化的，那么磁矩也将是量子化的。将原子放在外磁场中，我们观察到了这种量子化的效应。原子在沿z 方向的外加均匀强磁场的作用下，能级分裂，出现原子中电子轨道角动量L 沿外磁场方向上的分量L z 的量子化现象，称为轨道角动量的空间量子化。

○

4电子自旋角动量 S 的量子化和自旋磁量子数m s 与经典粒子对比，电子除了绕核的公转之外，还应该存在绕自身轴转动的自旋运动。在历史上，自旋这个概念是由解释原子光谱的精细结构而来的。许多光谱线看上去是一条，但在更精密的实验之下却是离得很近的两条或多条。1922年，美国物理学家施特恩与盖拉赫让穿过一行裂缝的中性银原子束通过非均匀磁场，并射到一块照相底板上。实验发现，原先不存在非均匀磁场时，在底板上产生的一条缝形细线，现在分裂成两条长的、明晰的踪迹。人们知道，银原子中的电子轨道角动量为零，那么由什么引起这种粒子束的分裂呢？荷兰莱顿大学的两位研究生乌伦贝克和古德斯密特认为电子不是点电荷，除了轨道角动量之外，还应有绕它本身的对称轴旋转的自旋角动量。银原子束的二重分裂是因为电子自旋在外磁场方向有两个不同的投影值，一个向上，一个向下，它们在非均匀磁场中所受的力也是相反的，故分裂成两束。电子自旋概念是在薛定谔量子理论之前提出的，后来被量子力学包括进去。

电子自旋角动量 S 的大小是量子化的，而且只能取一个值

S = h /(2π))1(+s s =)1(+s s （22-14）

s 称为自旋量子数，只能取一个值s =1。即电子自旋角动量 S 的大小为S = 34。我们常把这一结果表达为：电子的自旋为12。

电子自旋角动量

S在外磁场方向(z方向)上的投影S z也是量子化的，只能取两个值：

S z =m s ，（22-15）

m s =±1

称为自旋磁量子数，不管别的量子数取什么值，自旋磁量子数m s所能取的可能值不

是-1

2就是+1

。对于这两个自旋态，通常的说法是：当m s =+1

时称为“自旋向上”，当

m s =-1

时称为“自旋向下”。

斯特恩－盖拉赫实验是直接证实电子自旋存在的最早的实验之一。

根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态可用n，，m

，m s四个量子数来描述。

主量子数n大体上确定原子中电子的能量。轨道角量子数确定电子轨道的角动量。轨道磁

量子数m

确定轨道角动量在外磁场方向上的分量。自旋磁量子数m s确定自旋角动量在外磁场方向上的分量。

1928年，狄拉克创立了相对论量子力学，奠定了电子自旋的理论基础。狄拉克发现了一个电子的相对论波动方程----狄拉克方程，它在非相对论极限(v<

7．多电子原子中的电子分布

（1）泡利不相容原理

氢原子的量子态是周期表的支柱。在研究多电子原子及它们在周期表中的排列之前，

必须熟悉氢原子的各种状态。氢原子的一个量子态用一组量子数(n, ,m

,m s)表征。一个原子的最低能态称为基态，氢原子的基态对应于n=1(E1=-13.6 eV)，由各量子数间的取值限

制知： =0，m

=0，m s=±1/2，所以两个量子态分别为(1,0,0,-1/2)和(1,0,0,+1/2)。次低

能级是n=2的能级(E2= -3.40 eV)，此时各量子数所能取的值分别为： =0,1；m

=0,±1；m s=±1/2。从而对于E2能量共有8个量子态：(2,0,0,-1/2)、(2,0,0,+1/2)、(2,1,0,-1/2)、(2,1,0,+1/2)、(2,1,-1,-1/2)、(2,1,-1,+1/2)、(2,1,1,-1/2)和(2,1,1,+1/2)。

一个原子的化学性质主要取决于它的基态，对于多电子原子也是如此。1924年，泡利指出一条一切多电子原子都必须遵守的规则，这一规则现在被称为泡利不相容原理。该原理

指出：同一原子中不可能有两个或两个以上的电子处于相同的量子态，即同一原子中的任何两个电子不能有完全相同的一组量子数(n, ,m

,m s)。按照这一原理，当能量较低的状态被

电子占据后，其余的电子就被迫处于能量更高的状态，这样就产生了原子形状的多样性。一个原子的基态只能是每个电子取不同的一组量子数时所构成的能量最低的态。

表22-1 氢原子的量子数

（2）原子的电子壳层结构

1869年，门捷列夫提出了元素周期表，当时按原子量大小的次序将元素排列起来，大体上反映了元素性质的周期变化特性。1913年莫塞莱指出，元素的原子序数应该是该元素原子核的电荷数，从而纠正了元素周期表中某些元素的位置。第一个对周期表给予物理解释的是玻尔，他认为元素性质呈周期性可用电子在原子内各轨道上的分布来解释。但是，直到泡利不相容原理出现之后，人们才较为清晰地认识到：元素的化学性质和物理性质的周期性变化来源于原子的电子组态的周期性变化，而电子组态的周期性变化与特定轨道可容纳的电子数有关。也就是说，这种周期性变化的本质在于原子的电子壳层结构。

原子的电子壳层结构是科塞耳1916年提出的。主量子数n相同的那些态构成一个壳层，每一个特定的壳层用一个符号来表示。在给定壳层中的各态，还可以进一步根据其轨道角动量量子数分成一些亚壳层，也称为支壳层或分壳层，每一个特定的亚壳层也用一个符号来表示。例如一个n=2的态在L壳层中，此态中的电子称为L壳层电子；又如n=3， =2的态是在M壳层的d亚壳层中。当讨论特定的亚壳层时常用数字表示法，如n=3， =2的态是在3d亚壳层中，而处于这个态中的电子称为3d电子。对于多电子原子，在上标中用数字来表示亚壳层中的电子数目，如3d10表示在3d亚壳层中共有10个电子。当一个原子中的每个电子的量子数n和均被指定，就称该原子具有某一确定的电子组态(electron configuration)。例如一价金属钠原子处于基态时的电子组态为1s2 2s2 2p6 3s1。为了简便起见，一般只写出价

电子，如元素Na、Al、Ge的电子组态分别简写成3s1、3s2 3p1、3d10 4s2 4p2。

表22-2 壳层和亚壳层的符号

表22-3 用壳层和亚壳层表示的氢原子态

（3）能量最低原理

系统的能量最低时为最稳定状态，一般情况下，系统总是自不稳定状态趋于最稳定状态。原子通常是处于稳定状态的。因此，能量最低原理指出，基态时原子中的电子排布应使原子的能量最低。换句话说，原子处于正常状态时，原子中的每个电子都要占据最低能级。若将电子按原子轨道的能级顺序由低到高排布，通常可使原子体系的能量最低。也就是说，原子中的电子一般是自最内层开始，向外依次填满一个又一个壳层，从而形成周期性的结构。但由于原子轨道的能量随其本身以及其它轨道的电子占据情况而变化，因此不同的原子或离子的原子轨道能级顺序可能会有所不同。在多电子原子中，电子的能量与量子数n和有关，有时n较小的壳层中电子尚未填满，而在n较大的壳层中就开始有电子填入了。有一条经验规律：原子外层电子的能级高低可以用(n+0.7 )值的大小来比较，该值越大能级越高。例如，4s能级有n+0.7 =4+0.7?0=4，而3d能级有n+0.7 =3+0.7?3=4.4，所以3d能级比4s能级高，因此电子将先填入4s能级，而后填入3d能级。

【例题精选】

例22-1 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的［］

(A )动量相同。(B )能量相同。(C )速度相同。(D )动能相同。

解：λ1=h /(m 1v 1)， λ2=h /(m 2v 2)，而λ1=λ2，∴p 1=h / λ1=h / λ2=p 2。选A

例22-2 当电子的德布罗意波长与可见光波长(λ=5500 ?)相同时，求它的动能是多少电子伏特？ (电子质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s, 1 eV =1.60×10-19

J) 解： )2/()/()2/(22e e K m h m p E λ==

=5.0×10-6 eV 例22-3 考虑到相对论效应，证明实物粒子的德布罗意波长由下式决定λ=

hc E E m c k k o 222+，式中E k 为考虑相对论效应时粒子的动能，m o 为粒子的静质量。

解：据E k =mc 2 - m o c 2 =

m c v c o 2221-- m o c 2，得m =E m c c k o +22，及122222-=+?? ???v c m c E m c o k o ?v c E E m c E m c k k o k o =++2222。∴λ==+h mv hc E E m c k k o 222

例22-4 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.4 ?，则U 约为(A )150V 。(B )330V 。(C )630V 。(D )940V 。(h = 6.63 ? 10-34 J ?s )［ D ］

【解】电子获得的速度远小于光速，不考虑相对论效应。由经典理论212

m eU =v 和/h m λ=v 有2268

21931222

6.631094222 1.6109.1110410h U V em λ----?===??????选D 例22-5 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系：(A )λ ∝ v 。(B )λ ∝ 1 / v 。(C )λ ∝1

22v c -。(D )λ ∝c v 22-

解：

“高速运动”要考虑相对论效应。0h m λ===v C 。例22-6 若令λc = h /(m e c )λ(称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普朗克恒量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ = _____λ c 。解：需要考虑相对论效应，2k e E m c =，据例题29

：λ===。

。

或222k e e E E m c m c =+=，所以2γ=

，得=v

，即e h m λλ==v 。例22-7 如图所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝，在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于 (A )2 a 2 / R 。(B )2 h a / p 。(C )2 h a /(Rp )。(D )2 Rh /(a p )。

解：由单缝衍射中央明纹的宽度公式2/d f a λ=，此

时/h p λ=是电子的德布罗意波长，得d=2Rh/ap 。

选D 。例22-8 机械波的振幅，电磁波的振幅和物质波的振幅分别代表什么意义？

解：机械波的振幅，是质点振动的最大位移。电磁波的振幅，是电场强度矢量的最大值和磁场强度矢量的最大值。物质波的振幅是波函数的振幅。物质波振幅绝对值平方2

0(,,)x y z ψ表示粒子在t 时刻，在（x ，y ，z ）点处单位体积内出现的几率，称为几率密度。例22-9 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是____________。

解：得布罗意波是几率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。

例22-10 关于不确定关系?x ??p x ≥ ( = h /(2 π))有以下几种理解，其中正确的是_______ ① 粒子的动量不可能确定。② 粒子的坐标不可能确定。

③ 粒子的动量和坐标不可能同时确定。

④ 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。( )

解：正确的是③、④

例22-11 如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间，?x =0.5 ?，则电子动量x 分量的不确定量近似地为________________kg ·m ／s ． (不确定关系式?x ·?p ≥h ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)

解：1.33×10-23 例22-12 用经典力学的物理量(例如坐标、动量等)描述微观粒子的运动时，存在什么问题？原因何在？

解：用经典力学的物理量例如坐标、动量等只能在一定程度内近似的描述微观粒子的运动，坐标x 和动量x p 存在不确定量x ?和x p ?，它们之间必须满足不确定关系式x x p h ???≥。这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。

例22-13 波长λ=5000 ?的光沿Ｘ轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ=10-3 ?，则利用不确定关系式?x ??p x ≥h 可得光子的x 坐标的不确定量至少为［］

(A )25 cm 。(B )50 cm 。(C )250 cm 。(D )500 cm 。

解：光子具有波粒二象性，也遵循不确定关系。由/x p h λ=，则在数值上有2

/x p h λλ?=?

例题22-7图

（微分可得），利用不确定关系式x x p h ???≥，有2//2.5250x x h p m c m λλ?≥?

=?==。

选C 。例22-14 设描述微观粒子运动的波函数为ψ( r ,t )，则ψ*ψ表示__________________________

__________________；ψ( r ,t )须满足的条件是________________________；其归一化条件

是____________________。

解：粒子在t 时刻在（x ，y ，z ）处出现的几率密度；单值、有限、连续；2

1dxdydz ψ=???。例22-15 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：ψ(x )=2/a sin (π x / a )，(0 ≤x ≤a )。求：发现粒子几率最大的位置。

解：粒子的位置几率密度2

2222()sin (1cos )2x x x a a a a ππψ==-；当2cos 1x a

π=-时2()x ψ有最大值，在0x a ≤≤范围内可得2x a ππ=，所以2a x =。例22-16 在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式E n =n 2?h 2/(8md 2)，n=1，2，3，…[提示：非相对论的动能和动量的关系E k =p 2 /(2m )]。

解：由题意知2d n λ

=，即2d n λ=，其中n=1，2，3…。德布罗意波长h p

λ=，因此粒子的动量为2/2h

h nh p d n d

λ===。在势阱中运动的粒子，势能U （x ）=0，因此能量22k p E E m ==。所以2222()2,1,2,328n k nh n h d E E n m md ==== 。例22-17 下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？

(A) n = 2，l = 2，m l = 0，21=

s m 。 (B) n = 3，l = 1，m l =-1，21-=s m 。 (C) n = 1，l = 2，m l = 1，21=

s m 。 (D) n = 1，l = 0，m l = 1，21-=s m 。解：B

例22-18 根据泡利不相容原理，在主量子数n = 4的电子壳层上最多可能有的电子数为___________个。

解：32

例22-19 玻尔氢原子理论中，电子轨道角动量最小值为________；而量子力学理论中，电子轨道角动量最小值为______。实验证明____________理论的结果是正确的。

解：

薛定谔方程解出的角动量量子化条件：0,1,2,3,1)L l n ==- ；角动量

的最小值可以为零。而根据玻尔氢原子理论，角动量量子化条件为：,1,2,3,2nh L n π=

= ；角动量的最小值不为零，而是2h π

。 2h π

；0；量子力学。例22-20 电子的自旋磁量子数m s 只能取_____和_____两个值。解：12，12

- 例22-21 泡利不相容原理的内容是_______________________________________________。解：一个原子内部不能有两个或两个以上的电子处于完全相同的量子态。

例22-22原子内电子的量子态由n 、、m 及m s 四个量子数表征。当n 、、m 一定时，不同的量子态数目为________；当n 、一定时，不同的量子态数目为_____________；当n 一定时，不同的量子态数目为_____________。

解：2；2(21)l +；2

2n 。

例22-23 在主量子数n =2，自旋磁量子数m s =1的量子态中，能够填充的最大电子数是____。解： n=2时共有8个量子态，因12

s m =±两个中只取一个，故能填 4个电子。例22-24 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为L= ()+1 ，当主量子数n=3时，电子动量矩的可能取值为____________。电子的动量矩在外磁场方向上的投影为L z =m ，当角量子数 =2时，L z 的可能取值为____________。

解：电子动量矩的可能取值为；z L 的可能取值为0,,2±± 。

例22-25 在原子的电子壳层结构中，为什么n = 2的壳层最多只能容纳8个电子？

解：泡利不相容原理指出，一个原子内不可能有两个或两个以上电子处于同一量子态。而电子在原子内的一个量子态是由四个量子数n 、、m 及m s 描述的。这样原子内不可能有两个或两个以上电子具有相同的四个量子数。n = 2时，可取0、1两个值。在 = 0时m = 0，但m s 仍可取±1 / 2两个值，有两个量子态；而在 = 1时m 可取0、± 1等三个值，对应每个m 值m s 可取±1 / 2两个值，即在 = 1时有6个量子态。故n = 2的壳层总共有8个量子态，所以最多只能容纳8个电子。

例22-26 多电子原子中，电子的排列遵循__________________原理和_______________原理。解：泡利不相容；能量最小。

例22-27 钴(Z = 27)有两个电子在4s 态，没有其它n ≥4的电子，则在3d 态的电子可有____个。

解：由关系(0.7)n l +知3d 能级比4s 能级高，电子先填入4s 能级，后填入3d 能级。填充

顺序1223343s s p s p s d →→→→→→。

自1s 能级到4s 能级已填充电子2+8+2+6+2=20个，3d 能级有10个量子态，故剩余的7个电子填入3d 能级。

【练习题】

22-1 若α粒子(电量为2e )在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，⑴ 求α粒子的德布罗意波长。⑵ 若B = 0.025 T ，R = 0.83 cm ，试计算其德布罗意波长。⑶ 若使质量m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速率运动。则其波长为多少？(α粒子的质量m α =

6.64 ? 10-27 kg ，普朗克常量h = 6.63 ? 10-34 J ?s )

解：(1)2h eBR

λ= (2)0.1 ?。(3)6.63 ? 10-34m 。分析：(1)洛仑兹力Bqv=m αv 2 / R eBR 2v m e 2q =??→?α=，

∴λ=eBR

2h v m 2h =α (2) 由(1)知λ2h eBR ==2

1934

1083.0025.0106.121063.6---??????=9.985?10-12m=0.1 ?。 (3)由(1)知：λ=λ==ααm m eBR 2m m h m v h =42710

11063.6--???9.985?10-12=6.63 ? 10-34m 。 22-2 能量为15 eV 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长．

(电子的质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，1 eV =1.60×10-19 J)

解：远离核的光电子动能为

4.16.1315212=-==

v e K m E eV 则 ==e

K m E 2v 7.0×105 m/s 光电子的德布罗意波长为

===v

e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 ? 22-3 质量为m e 的电子经电势差为U 12的静电场加速后，⑴ 考虑相对论效应，试计算其德布罗意波长λ。⑵ 不考虑相对论效应，计算其德布罗意波长λ'。⑶ 如果U 12 = 100 kV ，则上述两波长各为多少? 相对误差是多少?

(电子静止质量m e =9.11 ? 10-31 kg ，普朗克常量h = 6.63 ? 10-34 J ?s ，e = 1.60 ? 10-19 C ) 解：(1)考虑相对论效应：eU 12=m e c 2(γ-1)，∴γ=1+

2e 12c m eU =2e 122e c m eU c m + ， ∴v=122e 2

1222e 12eU c m U e c m eU 2c ++，∴λ=212

22e 12e U e c m eU 2ch v m h m v h +=γ=。

(2)不考虑相对论效应：eU 12=m e v 2 / 2，∴v=

e 12m eU 2，∴λ'=12

e e eU m 2h v m h =。 (3)U 12 = 100 kV=105V ，则上面两种情况： (a )eU 12+m e c 2=9.8?10-14，21222e 12U e c m eU 2+=5.367?10-14，v=1.643?108m / s ，

得相对论波长λ=3.706?10-12m 。

(b )不考虑相对论效应：12e eU m 2=1.71?10-22，λ'=h /

12e eU m 2=3.877?10-12m 。

相对误差是706.3706.3877.3-=λλ

-λ'= 4.6%。 22-4为使电子的德布罗意波长为1 ?，需要的加速电压为_____。(m e = 9.11 ? 10-31 kg )

解：(1)eU=21mv 2，∴λ=mv h ，∴U=()me 2h 2λ=()[]19312

103410

6.11011.921011063.6----??????=151V 。 22-5 计算以下几种情况下的德布罗意波长：

⑴ 设质量为m 的氢原子的动能等于它处于温度为T 的热平衡状态时的平均动能，那么此氢原子的德布罗意波为________。质量m=1.67?10-27kg 的中子，当它的动能等于温度为 T = 300 K 的热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为________。

⑵假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，其德布罗意波长为多少?(电子静止质量m e =9.11?10-31 kg )

解：(1)21mv 2=23KT ，∴λ=mv h =mKT 3h =3001038.11067.131063.6232734??????---=1.456 ?。 (2)∵ E=E k +m 0c 2=3m 0c 2，∴ γ=22c v 11-=3 ?v=3c 8，

∴λ=mv h =v m h 0γ=8

31341031011.981063.6?????--=8.58?10-13m 。 22-6 设粒子运动的波函数图线分别如图(A )、(B )、(C )、(D )所示，水平向右为x 轴正方向，若用位置和动量描述它们的运动状态，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？哪一粒子位置的不确定量较大？哪一粒子的动量的不确定量较大？为什么？解：第1个图坐标的不确定量?x 最大，以下依次减小；因此，由?x ??p x ≥h 可知，第1个图动量的不

确定量?p x 最小，以下依次增大。也即，第1个图是

确定粒子动量的精确度最高的波函数；第4个图动

量的不确定量较大。

9.一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的

动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意

波长的关系．(不确定关系式h x p x ≥??). x

x (B) x (C) x (D) 习题22-6图

解：由x p x ??≥h 即 x ?≥x

p h ? ① 据题意v m p x =? 以及德布罗意波公式v m h /=λ得 x p h ?=

λ ② 比较①、②式得 x ?≥λ

18. 根据海森堡不确定关系?x ??p x ≥h ：⑴ 光子的波长为λ=3000 ?，如果确定此波长的精确度?λ / λ = 10-6，试求此光子位置的不确定量。

⑵ 同时测量能量为1 keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1 nm (1 nm=10-9 m )内，则动量的不确定值的百分比?P / P 至少为何值?

解：根据海森堡不确定关系?x ??p x ≥h 。

(1)∵p=λh ，∴?p x =2λλ?h ，∴?x ≥x

p h ?=λ?λ?λ=λ?λ2=6710103--?=0.3m 。 (2)一维运动电子能量即为其动能，E=E k =mv 2 / 2=1keV=103?1.6?10-19=1.6?10-16J ， p=mv=K m E 2=1631106.11011.92--????=1.71?10-23kgm / s ，

∵?p ≥x

h ?，∴p p ?=p x h ??=23241071.11063.6--??=38.8%。 19. 试证：如果确定一个低速运动粒子的位置时，其不确定量等于这粒子的德布罗意波长，则同时确定这粒子的速度时，其不确定量将等于这粒子的速度。(不确定关系式?x ??P x ≥h ) 解：?p=?(mv )=m ?v (低速时m 不变)，?p ≥h / ?x=h / λ=p ，∴m ?v ≥mv ，即?v ≥v 。

20. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将［］(不变? 增大D 2倍? 2D 倍? D 倍?)

解：不变。

21. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，⑴(4428[8B ])波函数为：()ψπx a x a

?132cos (-a ≤ x ≤ a )，那么粒子在x = 5 a / 6处出现的几率密度为__________。

⑵ 波函数为：ψ n (x )=2/a sin (n π x / a )，(0 < x < a )。若粒子处于n = 1的状态，在0～a / 4

区间发现该粒子的几率是多少?［提示：?sin 2 x dx =12x -(1 / 4)sin 2x + C ］解：(1)()()a

2145cos a 1a 65a 23cos a 1a x 22522=π?=?π?=ψ=ψ。 (2)dx )x (a 02??=?a 0a 2sin 2a n πxdx ??→?=1n ?a 0a 2?πa sin 2(a πx )d (a πx ) =π24

/a 0x a 2sin 41a 2x ??????π-π=π2[8π-41]=9.1%。

22. 原子中电子的量子态可以用四个量子数来描述，指出下面正确的组态：

⑴ 氢原子中处于3d 量子态的电子：

(A )(3,1,1,-12)。(B )(1,0,1,-12)。(C )(2,1,2,12)。(D )(3,2,0,12)。

⑵ 氢原子中处于2p 状态的电子：

(A )(3,2,1,-12)。(B )(2,0,0,12)。(C )(2,1,-1,-12)。(D )(1,0,0,12)。

⑶ 氩(Z = 18)原子基态的电子组态是：(A )1s 2 2s 8 3p 8。

(B )1s 2 2s 2 2p 6 3d 8。(C )1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6。(D )1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 43d 2。

⑷ 在原子的K 壳层中的电子：①(1,1,0,12)。②(1,0,0,12)。③(2,1,0,-12)。

④(1,0,0,-1)。⑤(1,0,-1,1)。⑥(1,1,0,-1)。

⑸ 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，，m ，m s )是：①(2,0,1,12)。

②(2,1,0,-12)。③(2,1,1,12)。④(2,1,-1,-12)。⑤(1,0,0,-12)。⑥(2,1,-1,12)。

⑦(2,0,1,-12)。⑧(3,1,-1,12)。

解：(1)D ；(2)C ；(3)C ；(4)②，④；(5)②，③，④，⑥。

23. 在以下各种情况中，填入适当的量子数，使它们可以描述原子中电子的状态：

⑴(2,____ ,-1,-12)，(2,0,____ ,12)，(2,1,0,____)。

⑵ 处于基态的氦原子内两个电子的量子态可由__________和_________两组量子数表征。 ⑶ 锂(Z = 3)原子中含有3个电子，电子的量子态可用(n , ,m ,m s )四个量子数来描述，若

已知其中一个电子的量子态为(1,0,0,12)，则其余两个电子的量子态分别为(____________)

和(____________)。

解：(1)1，０，±1 / 2；

(2)(1，0，0，1 / 2)，(1，0，0，-1 / 2)；

(3)(1，0，0，-1 / 2)，(2，0，0，1 / 2)或(2，0，0，-1 / 2)。

24. ⑴ 根据量子力学理论，氢原子中电子的运动状态可用n ，，m ，m s 四个量子数来描述。试说明它们各自确定什么物理量?

⑵ 根据薛定谔方程解出的氢原子角动量量子化条件与玻尔理论的量子化条件有何区别？ ⑶ 试求d 分壳层最多能容纳的电子数，并写出这些电子的m 和m s 值。

⑷ 一价金属钠原子，核外共有11个电子，当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其

价电子可能取的量子态数为[ ]。(11，14，16，18)

解：⑴主量子数n ，大体上确定原子中电子的能量；

角量子数，确定电子轨道的角动量；

磁量子数m ，确定轨道角动量在外磁场方向上的分量；

自旋磁量子数m s ，确定自旋角动量在外磁场方向上的分量。

⑵ 根据薛定谔方程解出的氢原子角动量量子化条件：L=()1+ h / 2π( =0，1，2，3 n -1)最小值为0；玻尔理论的量子化条件：L= nh / 2π(n=1，2，3 )，最小值为h / 2π。 ⑶ d 壳层就是角量子数 =2的分壳层，最多能容纳的电子数为：

Z =2(2 +1)=2(2?2+1)=10个，m =0，±1，±2；m s =±1 / 2。

⑷ 一价金属钠原子处于基态，即核外共有11个电子依次填满各最低能级，1s 22s 22p 63s 1，即价电子在n=3即M 壳层，此时n=3为该原子基态，由于n 大体上确定原子中电子的能量，电子在n=3壳层中各量子态均为基态，n ≥4不为基态，∴量子态数为2n 2=2?32=18。

25. ⑴ 1921年施特恩和盖拉赫在实验中发现：一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束。对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释只能用________________________________________来解释。

⑵ 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是[ ]

(A )康普顿实验。(B )卢瑟福实验。(C )戴维逊－革末实验。(D )斯特恩－盖拉赫实验。解：⑴电子自旋的角动量空间取向量子化；⑵选：(D )斯特恩－盖拉赫实验。

6.已知电子在垂直于均匀磁场B 的平面内运动，设电子的运动满足玻尔量子化条件，求电子轨道的半径r n =？

解：设轨道半径为r n ，电子运动速度为v ．则由

n r m B e /2v v =

n r m L n ==v

得 n eB r n ?=2/1)/( ( n = 1，2，3……)

7.在玻尔氢原子理论中势能为负值，而且数值比动能大，所以总能量为________值，并且只能取____________值．

解：负不连续

第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题 1. “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。对否解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）

第22章量子力学基础教案

第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，

会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意

义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的

第十六章量子力学基础

第十六章量子力学基础 16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别：（1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。（2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。（3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立： ()() ()() 222 2 ,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ= ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。 16-2概述概率波波函数的物理意义。答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2 ,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数

第一章量子力学基础和原子结构

第一章量子力学基础和原子结构一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道，第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1，氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3，请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化

为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m）（C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是（A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着（A）粒子处于概率最大的状态（B）粒子处于势能为0的状态（C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态

第一章量子力学基础知识

《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军

第一章量子力学基础知识（第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。能量波长黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν

第十三章量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。图 19-6