《数学建模课程》练习题一
一、填空题
1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。
2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 。
3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。
4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .
5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .
6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：
（1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C
10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .
7、若银行的年利率是x %，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的
8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 km.. A
9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生
产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = .
10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 .
二、分析判断题
1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.
3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。
4. 某营养配餐问题的数学模型为
minZ=4x 1+3x 2
s .t .???????≥≥+≥+≥+0
,)
3(,4256)2(,4085)1(,5051021212121x x x x x x x x
其中21,x x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解T x )6,2(*=，试分析解决下述问题：
（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？
（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.
5．据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。也就是说，这个比值越接近0.618，就越给人以一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0.58—0.60左右。
设躯干长为x ，身高为l ，一位女士的身高为1.60()m ，其躯干与身高之比:0.60x l =，若其所穿的高跟鞋高度为（单位与x ，l 相同），那么，她该穿多高的高跟鞋（d =？）才能产生最美的效应值。
三、应用题
1．从厂家A 往B 、C 、D 三地运送货物，中间可经过9个转运站123123123,,,,,,,,E E E F F F G G G .从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从1G 到C B ,的运价为9、10；从2G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3G 到D C ,的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。
2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：
表2
单位：百元/吨
3．某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.
（2） 原材料的利用情况.
4. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案，使总供水费最小？
5、有某种物资从城市1v 运往城市9v .中间可以通过28,,v v 七个城市运抵目的地。各城市之间的可通道路及其间距离如图所示（单位：km ）.试设计一个从1v 到9v 的运输路线，使得总运输路程最短，并求出最短路线.
《数学建模课程》练习题二
一、填空题
1. 若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是
2. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T （次/秒）、鱼身的长度L 和它的速度V 的关系式为 .
3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d 倍，且它的平均密度是地球的s 倍，则此行星质量是地球的 倍.
4. 马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了
5. 设S 表示挣的钱数，x 表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 .
6. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒秒，则加入较快队1的条件是 .
7. 在建立人口增长问题的逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率r 是人口数量)(t x 的递减函数，若最大人口数量记作,m x 为简化模型，采用的递减函数是 .
8. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f 和d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是
9. 设某种商品的需求量函数是()25()1200Q t p t =-+（万件），其中)(t p 为该商品的价格函数，那么该商品的社会最大需求量是 .
10. 设某种商品的供给量函数是()36(1)3600G t p t =--，其中)(t p 为该商品的价格函数，
那麽该商品下一时段的价格达到 ，才能迫使供给商停止供给。
二、分析判断题
1．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.
2. 假设某个数学模型建成为如下形式：
.])1(1[)(221
22
x e a
x x M x P --= 试在适当的假设下将这个模型进行简化.
3. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.
4. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),/(100/56ml mg 又过两个小时，含量降为),/(100/40ml mg 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)/(ml mg .
5、为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费，在一般月用水量的平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度。对此问题建立模型应该考虑那些问题和因素？至少列举三个。
三、应用题
1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有)(
2.2m 和)(5.1m 长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为),(6.4m 试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？
2. 求如图所示网络中1v 到9v 的最短路线及其路长.
3. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（3） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.
（4） 原材料的利用情况.
4. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？
5、求解以下线性规划模型，并回答所给两个问题：
12
121212max 12824,3212,5,
0,1,2.
j z x x x x x x x x x j =++≥??+≤??+≤??≥=? （1）该模型的最优解是否唯一？为什么？若有两个以上最优解，请至少给出两个。
（2）若其中的12,x x 代表两种商品的产量，且2x 的销售情况比较1x 要差些，那么你选择哪一个最优方案？为什么？
（3）若每个约束条件的右端项依次表示生产所需三种材料，那么对于你所选择的最优解，这些材料的利用情况怎样？
《数学建模课程》练习题一答案
一、填空题：
1.;)()0(,00rt e x t x x x rx dt
dx =?== 2. 80； 3. .2090,19**=≈Q T 4、图中奇点个数为0或2. 5. .)1(1)()0(),1(00rt
m m m e x x x t x x x x x rx dt dx --+=?=-=
6. ),10(,/)10(0
C T P T Kn N ≥-= K 是比例常数； 7、%)1ln(/2ln x +； 8、42.
9.0.1()100;t x t e = 10. 25p =；
二、分析判断题：
1、1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益
2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等
3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料
4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型
2、根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：
10005.01+=+n n X X
由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人.
递推计算的结果有， ).211(2000210n n n x X -+= 容易看出，,2000→n n X X ，且是单调递增的正值数列故结论正确.
3. （1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度
（5）设置斑马线地点的两侧视野等。
4. （1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解；
（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。
5、穿高跟鞋后新的比值应为0.6.x d l d l d l d
++=++ 令 0.60.618l d l d
+=+， 由此可解得7.54().d cm =
三、应用题：
1、先建立模型（图1），然后使用双标号法求解，得到图2。
图1 图2
由图2进行逆向搜索可知，从厂家A 到B 只有一条路线最短：
122min ,16A E F G B l →→→→=；
从厂家A 到C 有两条最短路线可选择：
122min 123min ,21,
,21;
A E F G C l A E F G C l →→→→=→→→→=
从厂家A 到D 也只有一条路线最短： 123min ,20A E F G D l →→→→=.
2、易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们利用最小元素法可得初始方案如表1，
表
使用闭回路法可得负检验数为12λ=-1，故令12x 进基。再使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案，再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故上述方案即为最优运输方案。最小费用为385（百元）。
3. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有
原材料限制条件：,202232121≤+≤+x x x x 和
又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：
,62≤x 以及 ,05221≤-x x
目标函数满足 ,93m ax 21x x z +=便可以得到线性规划模型：
2193m ax x x z +=