组
合
教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；
2、掌握组合数的计算公式；
3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念
一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2、排列数概念
一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作m
n A 。
3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()m
n A n n n n m m n =---+≤
!n
n A n =
()!
!
m n n A n m =
-
二、学习新课
课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。
【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)
解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为2
3A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲
丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙
丙 乙
分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合
一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。 组合数
同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为m
n C 。
【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）
解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为2
3A ，对应的排列为：
ab ba ac ca bc cb
变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为2
3C ，对应的组合为：
ab
ac bc
总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。
通过例题讲解区分排列与组合问题。 【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？
(1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
(2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为2
6C （先
标记在后面，一会再求解）。
(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序，这是一个排列问题，对应的排列数为2
6A （学生求解排列数2
6A ，复习巩固上节课排列数的计算公式）。 课堂练习：书55页课后练习题3
(1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？
解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为2
8C （先标记在后面，一会再求解）。 (2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张?
解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，是排列问题，排列数为2
6
A （学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）
(3)某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？
解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列问题，排列数为2
5A （学生求解）；
第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是组合问题，组合数为2
5C （标记在后面，一会再求解）。
(4)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？
解：线段AB 与线段BA 为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为2
10C （标记在后面，一会再求解）；
有向线段（有方向的线段，即：有向线段AB 与有向线段BA 是两条不同的线段），因此有顺序性，是排列问题，排列数为2
10A （学生计算）。
组合数计算公式
思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？
回到问题2，从三个不同的元素,,a b c 中每次取出2个的排列与组合的关系如图：
23A ：ab ba 22A
ab 23C
ac ca ac
bc cb bc
从图中关系可以看出组合共有2
3C 个；
将每一个组合中的元素进行全排列，均有2
2=2A 个排列；
因此，从3个不同的元素中取出2个元素的排列数2
3A ，可以分成以下两个步骤来完成： 第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为2
3C ；
第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为2
2A 。
根据分步乘法原理，得
222
332A C A =?
从而有 2
233
22
=A C A
（从特殊回到一般）一般地，从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即
m m m n n m A C A =?
由此得到组合数计算公式：(1)(2)(1)
!
m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==
由于()
!
!m
n n A n m =
-，所以组合数公式还可以表示为
!!()!
m
n n C m n m =
-（其中，,n m N *
∈，m n ≤）
由于计算需要，规定 0
1n C =
【例2】计算7
10C
解：由组合公式得77
1010
7710987654
1207654321
A C A ??????===??????
课堂练习
通过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）
1、2266
2265
1521
A C A ?===?
2、2288
2287
2821
A C A ?===?
3、2255
2254
1021
A C A ?===?
4、22
1010
22109
4521
A C A ?===?
习题讲解，提出计算组合数需要注意3点： 1、 公式不要列错； 2、 项不要列错；
3、 计算不要马虎。
【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为正品，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：
分析：通过画图进行图形结合法，如图
(1)共有多少种不同的抽法？
分析：从20件产品中任意抽取3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法等于组合数。
解：332020
33201918
1140321
A C A ??==??
(2)恰有一件次品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成： 第一步：从2件次品中任意抽取1件，有1
2C 种不同的抽法； 第二步：从18件正品中任意抽取2件，有218C 种不同的抽法。 根据分步乘法原理，所有的抽法种数为
解：21
121822
18
121221817
306121
A A C C A A ??=?=?=?
(3)全是正品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品全是正品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为
解：33
1818
33181716
816321
A C A ??===??
(4)至多有一件次品的不同抽法有多少种?
分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（解释至多的概念，并与学生一起分析包含几类情况）
第一类：3件产品中没有次品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为3
18C 第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有1
2
218C C ? 根据分类加法原理，不同的抽法总数为
解：231
1
23181822
18
18
12312321817181716
8163061122121321
A A A C C C A A A ???+=?+=?++=???
(5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？（解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况）
第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有1
2
218C C ?；
第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有21
218C C ?（请同学思考，借
鉴第二题给出）
根据分类加法原理，所有的抽法总数为
解：21121
2211818222
18
2
18
122112212181718
306183241211
A A A A C C C C A A A A ?+=?+?=?+=+=?
三、课堂小结： 1、组合的概念； 2、组合数的概念； 3、组合数的计算公式；
4、区分排列问题与组合问题；
5、根据组合公式求解组合应用题。 四、课后作业
书58页练习1、2、3；书60页习题A 组2