课时规范练21 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用
基础巩固组
1.(2019宁夏银川模拟)要得到y=sin x 函数的图象,只需将函数y=sin (2x +π
6)的图象上所有的点的
( )
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π
6个单位长度 B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π个单位长度
C.横坐标缩短到原来的1
2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度
D.横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变),再向左平移π个单位长度
2.已知函数f (x )=cos (ωx +π
3)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点(π
3,0)对称 B.关于直线x=π4
对称
C.关于点(π4
,0)对称 D.关于直线x=π
3对称
3.将函数y=sin (1
2x ?π
3)的图象向右平移π
2个单位,再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的1
2(纵
坐标不变),则所得图象对应的函数的一个单调递增区间为
( )
A.[-π12,13π
12]
B.[13π12,25π
12]
C.[π
12,13π12
]
D.[7π
12,19π12
]
4.(2019浙江杭州西湖区模拟)据调查,某商品一年内出厂价按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b
A>0,ω>0,|φ|<π
2
的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()
A.f(x)=2sin(π
4x-π
4
)+6(1≤x≤12,x∈N*)
B.f(x)=9sin(π
4x-π
4
)(1≤x≤12,x∈N*)
C.f(x)=2√2sinπ
4
x+6(1≤x≤12,x∈N*)
D.f(x)=2sin(π
4x+π
4
)+6(1≤x≤12,x∈N*)
5.(2019天津,理7)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ
4
=√2,则f3π
8
=()
A.-2
B.-√2
C.√2
D.2
6.将函数f(x)=2sin(ωx+π
4)(ω>0)的图象向右平移π
4ω
个单位长度后得到g(x)的图象,若函数g(x)在区
间-π
6,π
3
上为增函数,则ω的最大值为()
A.3
C.3
2
D.5
4
7.(多选)对于函数f(x)=sin x+√3cos x,下列说法中不正确的是()
,0)对称
A.函数f(x)的图象关于点(π
6
),使f(α)=1
B.存在α∈(0,π
3
),使函数f(x+α)的图象关于y轴对称
C.存在α∈(0,π
3
),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立
D.存在α∈(0,π
3
),若sin2α+sin 2α=1,则tan α=;sin 2α=.
8.已知α∈(0,π
2
,a上的最大值是-1,则a的取值范围9.(2019山西大同模拟)若函数f(x)=cos 2x-2cos x在区间-π
2
是.
的图象.
10.(2019湖南郴州期末)如图为函数f(x)=sin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2
(1)求函数f(x)=A sin(ωx+φ)的解析式;
]时,函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,求实数m的取值范围.
(2)若x∈[0,π
2
综合提升组
11.(2019湖南衡阳二模)已知函数f(x)=sin x-cos x,将f(x)的图象向右平移π
2
个单位,得到函数g(x)的图
象,则函数y=f(x)g(x)x∈-π
12,π
6
的值域为()
A.[1
2,1] B.[-1,-1
2
]
C.[-1,-√3
2]
D.[√3
2,1]
12.将函数f (x )=2sin (2x +π
6)的图象向左平移π
12个单位,再向下平移1个单位,得到g (x )的图象,若
g (x 1)g (x 2)=9,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则2x 1-x 2的最大值为( )
A.55π
12 B.53π
12 C.25π
6
D.17π
4
13.已知函数f (x )=cos(2x+φ)的图象关于点(2π
3,0)对称,若将函数f (x )的图象向右平移m (m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m 的最小值为 .
14.(2019上海徐汇区期中)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π
2
在某一周期内的图
象时,列表并填入的部分数据如表:
-
(1)请写出上表的x 1,x 2,y 2,及函数f (x )的解析式;
(2)将函数f (x )的图象向右平移2π
3个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的1
2,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象,求g (x )的解析式及y=lo g 12
[g (x )-√3
2]的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下,若F (x )=g 2(x )+√3
3a ·g (x )-1在x ∈(0,2 019π)上恰有奇数个零点,求实数a 与零点个数n 的值.
创新应用组
15.(2019吉林梅河口市模拟)函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象,如图所示,∠ABC=120°,则ω等于()
A.π
12B.π
6
C.π
4
D.π
3
16.(2019湖南郴州期末)定义运算|a b
c d
|=ad-bc,如果f(x)=|
sinx-1
2cosx√5
|,并且不等式f(x) 数x恒成立,则实数m的取值范围是. 参考答案 课时规范练21函数y=A sin(ωx+ φ)的图象及应用 1.A只需将函数y=sin(2x+π 6 )的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标 不变),可得y=sin(x+π 6 )函数的图象;再向右平移π 6 个单位长度,可得y=sin x函数的图象, 故选A. 2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+π 3=kπ(k∈Z),解得x=kπ 2 ?π 6 (k∈Z),当k=1 时,x=π 3 ,故选D. 3.C将y=sin(1 2x-π 3 )的图象向右平移π 2 个单位,得到y=sin 1 2 (x-π 2 )?π 3 =sin(1 2 x-7π 12 )的 图象, 再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的1 2 倍(纵坐标不变),所得的图象对应的 解析式为y=sin(x-7π12 ), 令2kπ- π≤x-7π≤2kπ+π,k∈Z,解得2kπ+π≤x≤2kπ+13π,k∈Z, 当k=0时,所得图象对应的函数的一个单调递增区间为π 12 ,13π 12 ,故选C. 4.A由3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,所以当x=3时,函数有最大值为8;当x=7时,函数有最小值4, 即{A+b=8, -A+b=4, 解得A=2,b=6. 又函数f(x)的周期为T=2(7-3)=8,由T=2π ω ,得ω=2π T =π 4 , 且x=3时,函数f(x)有最大值, 所以3ω+φ=3×π 4 +φ=π 2 +2kπ,k∈Z;解得φ=-π 4 +2kπ,k∈Z; 又|φ|<π 2 ,取k=0,得φ=-π 4 , 所以f(x)=2sin(π 4 x-π 4 )+6. 故选A. 5.C已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=A sinωx.∴g(x)=A sin x. ∵g(x)的最小正周期为2π,∴2π ω =2π,∴ω=1.∴g(x)=A sin x. 由g π4=√2,得A sin π 4=√2,∴A=2.∴f (x )=2sin2x. ∴f 3π8 =2sin 3π 4=√2.故选C . 6.C 由题意知,g (x )=2sin ωx-π 4π+π 4=2sin ωx ,由对称性,得π 3?(-π 3)≤1 2×2π ω,即ω≤3 2,则ω的最大值为3 2. 7.ABD 函数f (x )=sin x+√3cos x =2sin (x +π3), 对于A:函数f (x )=2sin (x +π 3), 当x=π 6时,2sin (π 6+π 3)=2,不能得到函数f (x )的图象关于点(π 6,0)对称,故A 错误; 对于B:ω∈(0,π3 ),可得α+π3 ∈ π3,2π3 ,f (α)∈(√3,2],不存在f (α)=1,故B 错误; 对于C:函数f (x+α)的对称轴方程为x+α+π 3=π 2+k π,可得x=k π+π 6-α,当k=0,α=π 6时,可得图象关于y 轴对称,故C 正确; 对于D:f (x+α)=f (x+3α)说明2α是函数的周期,函数f (x )的周期为2π,故α=π,所以不存在ω∈(0,π 3),使f (x+α)=f (x+3α)恒成立,故D 错误. 故选ABD . 8.12 45 由sin 2 α+sin2α=1,得sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1,所以tan 2α+2tanα tan 2α+1=1,解得 tan α=12.sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α = 2tanαtan 2α+1 = 2×12 (12 )2 +1 =4 5. 9.(-π 2,π 2 ]f(x)=2cos2x-2cos x-1,令cos x=t,则f(t)=2t2-2t-1,当t=0或t=1时,f(t)=-1,函数开 口向上,即t∈[0,1],有最大值-1, ∴cos x∈[0,1],则x∈-π 2,π2 . ∴a的取值范围是-π 2,π2 . 10.解(1)由图象可知T 2=2π 3 ?π 6 =π 2 , 则T=π,ω=2,∵2×π 6+φ=2kπ,k∈Z,及|φ|<π 2 ,∴φ=-π 3 , 而f(0)=A sin(-π 3 )=-1,A>0, ∴A=2√3 3 , ∴f(x)=2√3sin(2x-π). (2)∵x∈[0,π 2 ], ∴2x-π 3∈[-π 3 ,2π 3 ], ∴f(x)∈[-1,2√3 3 ], 又函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,∴方程m=[f(x)]2-2f(x)有实根, ∵f(x)∈[-1,2√3 3 ], ∴[f(x)-1]2-1∈[-1,3], 因此,实数m的取值范围为[-1,3]. 11.A将函数f(x)=sin x-cos x=√2sin x-π 4的图象向右平移 π 2 个单位,得到函数 g(x)=√2sin(x-3π 4)的图象,则函数y=f(x)g(x)=√2sin x-π 4 ·√2sin(x-3π 4 )=-2sin x-π 4 cos x- π4=-sin(2x-π 2 )=cos2x. ∵x∈[-π 12 ,π 6 ],∴2x∈-π 6 ,π 3 ,∴cos2x∈[1 2 ,1],故选A. 12.A由题意得g(x)=2sin2x+π 12+π 6 -1,故g(x)max=1,g(x)min=-3, 由g(x1)g(x2)=9,得{g(x1)=-3, g(x2)=-3, 由g(x)=2sin(2x+π 3 )-1=-3得2x+π 3 =2kπ-π 2 ,k∈Z,即x=kπ-5π 12 ,k∈Z,由x1,x2∈[-2π,2π], 得x1,x2=-17π 12,-5π 12 ,7π 12 ,19π 12 . 故当x1=19π 12,x2=-17π 12 时,2x1-x2最大,即2x1-x2=55π 12 ,故选A. 13.π 12∵函数的图象关于点(2π 3 ,0)对称, ∴2×2π 3+φ=kπ+π 2 ,k∈Z, 解得φ=kπ-5π 6 ,k∈Z, ∴f(x)=cos(2x+kπ-5π 6 ),k∈Z. ∵f(x)的图象平移后得函数y=cos(2x-2m+kπ-5π 6 )(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ- 5π6=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k-k1)π 2 ?5π 12 . ∵m>0,∴m的最小正值为π 12 ,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z). 14.解(1)由表格根据五点法作图的规律,可得π 3+2π 3 =x1-π 3 =x2-x1=10π 3 -x2,解得 x1=4π 3,x2=7π 3 ,A=√3,y2=-√3,T=2π ω =10π 3 +2π 3 =4π,得ω=1 2 , 即函数f(x)的解析式为f(x)=√3sin(1 2 x+4π 3 ). (2)将函数f(x)=√3sin1 2x+4π 3 的图象向右平移 2π 3 个单位,可得y=√3sin 1 2 x-π 3 +4π 3 =-√3sin1 2x的图象;再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函数 g(x)=√3sin x的图象.即得y=lo g1 2g(x)-√3 2 =lo g1 2 √3sin x-√3 2 , 由√3sin x-√3 2>0,可得sin x>1 2 , 要求函数的单调递增区间,即求y=sin x的减区间,而y=sin x的减区间为 π2+2kπ,5π 6 +2kπ(k∈Z), 故y=lo g1 2 g(x)-√3 2 的单调递增区间为 π 2 +2kπ,5π 6 +2kπ(k∈Z). (3)F(x)=g2(x)+√3 3 a·g(x)-1=3sin2x+a sin x-1, 令F(x)=0,则a sin x=1-3sin2x, 显然当sin x=0时,F(x)不存在零点,因此只需考虑sin x≠0时,F(x)的零点情况, 令t=sin x(sin x≠0且0 1-3t2=1-3t,则函数y=1-3t在[- 1,0)和(0,1]上单调递减,且t=1时,y=2,当t=-1时,y=-2, ∴当y∈(-2,2)时,y=t与y=1 t -3t有两个交点,此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根, 当y∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,y=t与y=1 t -3t有一个交点,此时方程a sin x=1-3sin2x存在2 个实根, 当y=2或y=-2时,y=t 与y=1 t -3t 有两个交点,此时方程a sin x=1-3sin 2x 存在3个实根. ∵F (x )=g 2(x )+√3 a·g (x )-1在x ∈(0,2019π)上恰有奇数个零点, ∴当x ∈(2018π,2019π)时,F (x )只可能存在2个零点,因此只有a=2时符合条件,∴x ∈(0,2019π)时F (x )的零点为2018×3 +2=3029个. 15.B 由∠ABC=120°,点B 的纵坐标为√3,得B 与A 横坐标之差为3, 则T=4×3=12,即2π ω=12, 得ω=π 6.故选B . 16.(3,+∞) f (x )=| sinx -1 2cosx √5 |=√5sin x+2cos x=3sin(x+θ),θ为辅助角,由不等式f (x ) 任意实数x 恒成立,可得m>f (x )max ,由f (x )的最大值为3,可得m>3. 快乐分享，知识无界！感谢您的下载! 由Ruize收集整理！
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