《基本不等式》教学设计
一.教学内容分析
《基本不等式》是高中教材人教A 版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.
因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
二．教学目标设置
《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：
（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；
（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.
（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.
三．学生学情分析
学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交
流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.
在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.
四．教学策略分析
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.
五、教学过程设计
1.创设情境
【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.
（请学生在学案上课前完成：
4S S S =+大正方形直角三角形小正方形
()2222142
c ab a b a b ∴=?+-=+.）
【引言】右图是在北京召开的第24届国际
数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设
计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友
好好客.
【思考1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还
记得这个证明过程吗？
（请学生表述推导过程，教师课件展示.）
【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？
【思考2】观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等
关系吗？
（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变
化的弦图，请学生观察并归纳：
生1：4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+；
生2：0S ≥小正方形，得()02≥-b a .） 【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.
【归纳】对于两直角边a b 、，有22
2a b ab +≥.
【思考3】上式中何时等号成立？
(请学生说明：当a b =时, 222a b ab +=；当a b ≠，222a b ab +>.教师归纳:当且仅当a b =时，等号成立.)
【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a b 、，上式都成立吗？请证明自己的结论.
（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明.教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调a b =和a b ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义.）
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数a b 、，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.
【设计意图】思考2请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义，由于此时学生还没有学习简易逻辑的相关知识，无需从“充分必要条件”的角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫.在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.
2.
基本不等式0,0)2
a b a b +≥>> 【过渡】实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样一个情境.
【探究2】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方
形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两
正方形边长分别为a b 、，问：切分出的两正方形面积和与两矩
形面积和的大小关系？
（请学生自主探究完成，并说明：
生1：22S S a b +=+12，32S S ab +=4，由不等式 222a b ab +≥
3S S S S +≥+124得： ，当且仅当a b =时，等号 成立.
生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的正方形翻
折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：
3S S S S +≥+124 ）
【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为a b 、, 根据上述
不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？
(请学生说明：若两正方形的面积分别为a b 、，则其边长分别为b a 、
，得：)0,0a b a b +≥>>
当且仅当a b =时，等号成立.)
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式
)0,0a b a b +≥>>，当且仅当a b =时，等号成立.
【设计意图】从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式22
2a b ab +≥，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法”在图形中体现不等式222a b ab +≥.进而提出引申问题，自然地由不等式222a b ab +≥过渡
到)0,0a b a b +≥>>，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式222a b ab +≥
与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系.
【思考4】回顾不等式()0,02>>≥+b a ab b a （①）的生成过程中，你发现它与
不等式ab b a 22
2≥+（②）有怎样的联系呢？
（请学生说明： 生1：(
)222222244,0,0
a b ab
a b ab ab a b ab a b a b +≥∴++≥∴+≥>>∴+≥
生2：因为0,0a b >>
a
b 即得①式.
生3：在②式中用a 代替2a ，b 代替2
b 即得①式.）
【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式222a b ab +≥
与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的.同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯.
【说明】
通常我们把上式写作0,0)2
a b a b +≥>>，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）
【思考5】你能否证明基本不等式？
（请学生思考完成.
生1：
（比较法）
210222a b a b +-=≥+∴≥ 当且仅当a b =时，等号成立；
生2：（综合法）(20a b a b -≥∴+≥
当且仅当a b =时，等号成立;
生3：（分析法）(
)
(
)(
)(
)
2200
a b a b a b a b +≥∴+≥∴+-∴≥∴+≥要证只要证只要证只要证上式显然成立。
当且仅当a=b 时，等号成立.
请学生展示不同的证明方法，并叙述证明方程.生3的做法是普遍错误，教师可引导学生纠错，进而加入关键词“要证…,只要证…”即可,对分析法不做过多说明.）
【设计意图】对于不等式的证明，学生已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明了基本不等式，但“分析法”证明的格式以及为什么要这样证明，是学生思维的盲点，一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错.因此此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.
【过渡】实际上，在许多图形中都蕴含着基本不等
式.
【探究3】如图，取线段AB a b =+，
其中,AC a BC b ==，以AB 为直径做圆O ，过点C 做垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD.
①.图中你能找到长度为2
a b +
的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？
②.移动点C 在线段AB 上的位置（几何画板），你有什么结论呢？
(请学生合作探究完成，并展示说明：
生1：直角三角形中，斜边大于直角边；
生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高.
生3：在圆中，半径不小于半弦.)
【设计意图】通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题.为了帮助学生，我将探究分解为两个小问题，从运动变化的角度帮助学生观察、归纳.
一方
面，帮助学生建立数学结合的基本思想；另一方面，培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，多角度认识基本不等式的几何解释.
【过渡】基本不等式的代数意义是什么呢？
【说明】我们通常把2
a b 均数.基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.应用举例
【过渡】怎样运用基本不等式解决生活中的不等问题呢？
【例】 学校用篱笆围一个面积为36平方米的矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？
（请学生尝试完成，并表述解题过程，教师板书.强调能取得最小值的原因及等号成立的条件.教师适度归纳：根据基本不等式发现，两个正数积为定值时，和存在最小值.）
【思考6】由数学的对称性，你认为利用基本不等式，我们还可以解决怎样的问题？ （请学生从数学对称性的角度反思，上例中能取得最小值的原因，观察基本不等式的结构，尝试归纳出：当正数x 、y 的和为定值，当且仅当x=y 时，积有最大值.）
【引申】现在学校仓库有一段长为36米的篱笆，要围成一个矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，花圃的面积最大，最大面积是多少？
【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫.
5.课堂小结
【思考7】（1）本节课我们学习的主要内容是什么?
（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？
（3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？
（请学生发言，并相互补充，教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法.）
【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，使学生对本节内容有一个更全面的认识.
6.作业布置：
（1）课本100页习题A组第1,2题；
（2）课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何解释，整理并相互交流.
【设计意图】安排一组教材上的习题，使学生继续加深对基本不等式的理解和应用.课后作业为拓展学生思维，进一步体会数形结合思想.