习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只
球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】
故所求分布律为
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律;
(2) X 的分布函数并作图; (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
(2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0
当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)=
2235
当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 故X 的分布律为
分布函数
4.(1) 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=!
k a
k
λ,
其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N ,
试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知
故 e
a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
即 1a =.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7)
(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,
则有
即
200
200200
1
C (0.02)(0.98)0.01k k k
k N -=+<∑
利用泊松近似
查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则
故 13
p =
所以 4
451210
(4)C ()
33243
P X ===
. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3)
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3) 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分
布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.