第五章 不定积分
习题 5－1
1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221
sin , cos 2, cos 2x x x
-- 都是同一函
数的原函数.
解 221
(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x
=-=-=因为
221
sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数.
2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x
e e e e e e ---+-+都是
的原函数.
解 2
2
22[()]'
[()]'=2()
x x x x x
x
e e e e
e e -
--+=-+因为
2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数
3.已知一个函数的导数是2
11
x -，并且当x = 1时, 该函数值是3
2π，求这个函数.
解 设所求函数为f (x ), 则由题意知
'()f x =
'(arcsin )x 因为
'()()d arcsin f x f x x x C
===+?所以
又当x = 1时，
3
(1)2f π
=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.
3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程.
解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''
()2y f x x == 因为
2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C
=
==+?
?
又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1
故所求曲线方程为 2
1y x =+.
5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.
解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =
因为
'
(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C
==+?
又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.
6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2
ln cos 23x ，求常数k .
解 因为2
ln cos 23x
是f (x )的一个原函数
所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()
33cos 23x x x f x x =??-=-=
4
tan 2tan 234
.
3x k x
k -==-即 故
7. 已知 1(1)d x f x x xe C
++=+?
, 求函数f (x ).
解 因为由不定积分的性质, 有
'
111(1)d (1)(1)x x x f x x f x e xe x e +++??+=+=+=+?????
所以, 令t = x+1,有
(),().t x f t te f x xe ==即
8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.
证 由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x =
又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则
[]''()()()()F x F x f x f x -=--=--=
于是
[]'
()[()]'F x F x =- 即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.
9.设1
sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .
解 因为 1
sin ()f x x 是的原函数, 则
'
2211111sin cos ()cos ()
f x x x x x x ?
?=?-=-?= ???
'322321111
()cos (sin )()
1111
(2cos sin ).
f x x x x x x
x x x x =?--?-=-所以
习题 5－2
1. 求下列不定积分：
2
3
242
22
(1) (21)d (2)
(2)
(3) 1)d (4) d
331
(5) d (6) d
11
x x x
x
x x
x
x x x
x x x x
+-
-
-
++
++
?
??
??
2
3
2
62
(7) (13)d (8) d
3
cos2
(9) cos d (10) d
2sin cos
1sin
(11) d (12) cot(c
sin
x x
x x
x
e x x
x x
x x
x x
x
x x
x
-
-
+
-
??
??
?
2
2
sc sin)d
1cos1
(13) (1 (14)d
cos21
x x x
x
x x
x
x
-
+
-
+
?
??
解
4
23
3
(1)(21)d.
4
x x x x x C
+=+-+
?
31
22
1113
2222
2
3232
22
222
42
2
(2) d2.
2
(3) 1)d(11)d.
3
(2)14442
(4) d d ln.
111
(5) d d(1)d arctan.
111
331
(6)
1
x x x x C
x x x x x x C
x
x x x C
x x
x x x x
x x
x x x x x C x x x
x x
x
--
-
==-+
+-=+--=-+
-??
=-+=+-+
?
??
+-
==-=-+ +++
++
+
?
??
??
???
?23
2
1
d(3)d arctan.
1
x x x x x C
x
=+=++
+
?
(7) (13)d(3)d
x x x x
e x e e x
??
-=-
??
??
211 (3)(3).ln 31ln 3
622112(8) d 2()d 2()3ln 2ln 2ln 333212 ().
ln 2ln 2ln 331cos 11
(9)cos d d sin 2222x x x x x x x x x x
x x x x e e C e e C e x x C C x x x x x x C =-
+=--++-??=-=?-?+??-??=-+?+==++??
??
()()()2232
2
.
cos 2cos sin (10)d d cos sin d sin cos sin cos sin cos .
1sin (11)
d =
csc sin d cot cos .
sin (12) cot (csc sin )d cot csc cot sin d x x x
x x x x x
x x x x x x C x
x x x x x x C x
x x x x x x x x x
-==-++=++--=-++-=?-????
???
?357144442222
2
csc sin .
1
4
(13) (1d 4.
7cos 1cos 11(14) d d (1sec )d cos 2122cos 11
22x x C x x x x x x C x x x x x x x x x
x --=--+?? ?-=-=++ ???
++==++=+?
?
???
tan .
x C + 2. 21, 0
() , ()d .
21, 0x x f x f x x x x -≤??=?+>???
已知求.
解
21, 0
()
2 1 , 0x x f x x x -≤??=?+>??由已知 当0x ≤时,21
()d (1)d 2f x x x x x x C
=-=-+??
当x >0时, 222
()d (21)d 3f x x x x x x C
=+=++??
故 2
21, 02
()d 2, 03x x C x f x x x x C x ?-+≤??=?
?++>???
.
3. 设某企业的边际收益是 '()1000.01R x x =- (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0
时，收益R = 0. 试求收益函数R (x ) 和平均收益函数. 解 由已知边际收益是 '()1000.01R x x =- 所以在上式两端积分, 得
2
()(1000.01)d 100
0.005
R x x x x x C =
-=-+?
将0,0x R ==代入上式, 得C = 0
故收益函数为 2()100
0.005
R x x x =-
平均收益函数为 ()1000.005R x x =-.
4. 某商品的需求量Q 为价格P 的函数. 已知需求量的变化率为
'1
()1000ln 3()3p
Q p =-?且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.
解 由已知需求量的变化率为
'1
()1000ln 3()3p
Q p =-? 所以在上式两端积分, 得
'1
()()d 1000ln 3()d 3
111
1000ln 3()1000()(ln 3)33p p p Q p Q p p p
C C
==-?=-??+=+-??
又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0
故满足条件的需求函数
1
()1000()3p
Q p =. 5. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数. 如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染?
解 设()y t 为t 天被感染上的人数, 则由题意得 2
d 2403d y
t t t =- 所以在上式两端积分, 得
22
3()(2403
)d
120y t t t t t t C
=
-
=-+?
又当1,50t y ==时，代入上式, 得C = －69
2323()12069
(10)120(10)106910931()y t t t y =--=?--=故 而 人
习题 5－3(1)
1. 1. 填空：
22(1) d ( )d(3) (2) d ( )d(17)
(3) d ( )d (4) d ( )d(12)
1(5)d ( )d(2ln ) (6) x x x x x x x x x x x x e x -==-==+=1
1
331
d ( )d()3x x x
e -=-
2(7) sin2d ( )d cos 2 (8) cos(13)d ( )d sin(13)
1(9) d ( )d arctan 2 (10) 14x x x x x x x x x x =-=-==+解
11111111
(1);(2);(3);(4);(5);(6)3;(7);(8);(9);(10)2.37242232----
2. 求下列不定积分：
(1) (2) cos(51)d x x x
+?
2
2
22
2tan(21)1
(3) d (4)
d
cos (21)
9
1
(5) d (6) (19)d 9425
(7) d (8) 52
x x
x x x x x x e x x x x x x +++----+????
?21
(9)
d (10) d 32(1ln )(11) (12) d 1(13) d (14) ln x
x
x x
x
e x x e e e
x x x
x x x x -+++?
??
?32232
11
(15) cos d (16) d
arctan (17) tan sec d (18) d 111
(19) d (20) sin cos x x
x x e x x x
x
x x x x
x x x x -+??
??
d 1cos x
x +??
231(21) (22) d 25
1
(23) sin d (24) d 1x
x x
x x x x x e -++??
??
1
21
21
(1)
(25)d(25)
51
(25).
10x x x x C -=---=--+?
解 2
22221
(2) cos(51)d cos(51)d(51)
51
sin(51).
5
tan(21)1(3) d =tan(21)d tan(21)2cos (21)
1
tan (21).4
1d 1(4) d a 3
93x x x x x C x x x x x x C x x x x +=++=++++++=
++==++??
??
?
222
rctan .
3d(2)11132(5) d ln 21232943(2)x
C x x
x C x x x ++==+---?
??
22222222222
(6) (19)d (3)d 111
(3)22ln 3111
(3).
221ln 3
d(52)25
(7)d ln 52.5252
(8) 2x x x x x x x x e x e e x e e C
e e e C x x x x x x C x x x x x ??-=-??=-?+=-?++-+-==-++-+-+=??
??
?21
2222.d(32)11(9) d =ln 32.333232
1d (10) d arctan .11(11)
(12cos 2).
2(1ln )1
(12) d (1ln )d(1ln )(3x x
x
x x
x
x x x x
C e e x e C e e e x e C e e e
x x C x x x x x -=+=++++==+++=-=-+++=++=?
?
?
??
??
31ln ).
x C ++
1
22211
(13) d d ln ln ln .
ln ln 11(14)(23).
63x x x C x x x
x x C ==+=-=--+?
?
333
2233
2
2311111
(15)cos d cos d sin .
11(16)d d().
33
(17)tan
sec d tan
d sec (sec 1)d sec 1
sec sec .
3
x x x x C x x x x x x e x e x e C x x x x x x x
x x C ---=-=-+=--=-+?==-=-+??
?
????
22
22arctan 1(18)d arctan d arctan arctan .211sin cos (19)d d sin cos sin cos (tan cot )d ln cos ln sin ln tan .
x x x x x C x
x x
x x
x x x x
x x x x x C
x C ==+++=?=+=-++=+?
?
?
?
?
22
22221
d 1(20)
d sec d 1cos 22
2(1sin )2
sec d tan .222
(21)
22arctan arctan .d(1(22)d 25x
x x x x x
x x x
C x C x x x x =
=
+-==+==-=-+?
??
?
?
?
?
?2
1)11
arctan .22(1)4
x C x -=+-+?
3223(23)sin d sin d cos (1cos )d cos 1
cos cos .
3
d(1)1d (24)d ln(1).
111x x x
x x x x x x x x x x x C e e x x e C e e e -----=-=--=-+++==-=-+++++???
???
习题 5－3(2)
1. 1. 求下列不定积分：
2(1) (3) (4) (5) (6) x
x x x
2(7) (8)
(9)
(11) (12)
x x
x ?
解
2d 11
(1)
2d 11t t t x t t t +-=++?
?
2
23
1
2(1)d22ln(1)
1
2ln(1.
(3)
(2)(2)d
1
2(3)d2(3)
3
t t t C
t
C
t
x t t
t
t t t t C
=-=-++
+
=-++
-
?-
=--=--+
?
??
?
13
22
153
6
32
3
2
11
1
36
2
2
6(3)(3).
3
6d
(3)6d
1
(1)11
6d6(1)d
11
2366ln
x x C
t t t
x t x t
t
t t
t
t t t t
t t
x x x
=--+-+
==
+
+
+-
==-+-
++
=-+-
??
??
令
1
6
(1).
x C
++
2
2
1
(4) d
1
d1
2ln
1
1
t
t
t t
t t
C
t
t
?
-
-
==+
+
-
?
.C
=+
222
222
2
2
sin
(5) sin cot d
cot
1cos2
sin d d
2
1
(sin2)
22
(arcsin
2
a t
x x a t a t t
a t
t
a t t a t
a
t t C
a x
a
=
-
==
=-+
=
?
??
令
2
arcsin.
2
C
a x
C
a
-+
=
222(6)
2sec 2tan d 2(sec 1)d 2tan 22
2arccos .1
1(7)
()d x x t t
t t t t t t C C x
t t
x
t ===-=-+=+=
?-??
令
令21 2 .
C C =-=-
=
+=
+
211
(8)()d x t
t t =-令
1
arccos3313
arccos .
3t C
C x =-=+=+
221d 1
(9) d 11111 ln .
212t t t
t t t t C C t ?=---=+=++??
22
2(2)(10)
(2)d t t t t -?-
2435135
2
22 2(44)d 82
83582
8(2)(2)(2).35t t t t t t C
x x x C =--+=-+-+=--
+---+?
2
(11)
1
d
ln 2
ln 2ln 1 ln 1).(12)
x x
x
x
x x C
x C =
??=+
??=+=++=+?
?
212212 (1)
.
t C C -
=-=-+
+
=+
2. 若己知
()d ()f x x F x C =+?. 求：
(1)()d f ax b x +? (2)
22()d x
x e f e x
--?
(3)
cos 3(sin 3)d xf x x
?
(4)x
解 （1）因为
()d ()f x x F x C =+?.
1
1
()d ()d()().f ax b x f ax b ax b F ax b C a
a +=
++=
++??
所以
（2）因为
()d ()f x x F x C =+?
222221
1
()d ()d ().
2
2
x x x x x e f
e x
f e
e F e C -----=-
=-+?
?
所以
（3）因为
()d ()f x x F x C =+?
11
cos3(sin3)d (sin3)dsin3(sin3).33xf x x f x x F x C =
=+?
?
所以
（4）因为 ()d ()f x x F x C
=+?
.
x C ==+所以 3. 下列不定积分：
d d (1)
(2)
2cos 354sin 2x x
x x ++??
解 2222212(1)tan ,sin ,cos ,d 2111x u u du
u x x x u u u -====
+++令则
2
2
22
d 12d
2cos 3
112312d 5tan
.x
u x u u u u C u x C =
?
+-+?++==++=+?
?
?
于是
2
2
22222
2221 (2)tan ,sin ,cos ,d 111d 1
1d d 254sin 21585
5411d 5d 945459()1[()]25535u u du
u x x x x u u u x
u u u
x
u u u u u u
u u -====
+++=
?=+++++?
+==
++++?
??
??
令则于是
154154
arctan ()arctan (tan )335335u C x C
=++=++.
习题 5－3(3)
1． 1． 下列不定积分：
(1)l n d
x x x ?
2(2)ln(1)d x x
+?
l n l n (3)d
x x x ?
2
(4)ln d x x
?
(5)a r c s i n d x x ?
(6)x
?
2
(7)s i n d x x x ? 32
(8)cos d x x x
?
2(9)d x
xe x
-?
(10)x
? (11)sin 2d x
e x x
?
（12）cos d x
e x x -?
(13)
x
(14)ln(x x
+?
22
(15)cos d 2x
x x ?
22(16)(1)d x x x e x +?
解 222211111
(1)ln ln ln 2224x xdx x x x dx x x x C
x =-?=-+??
.
22222
2
22(2)ln(1)d ln(1)d 111 ln(1)2d 1 ln(1)2(arctan ).x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x C +=+-?++-=+-+=+--+??
?
ln ln (3)
d ln ln d ln 11 ln ln ln ln d ln ln ln ln ln .x
x x x x
x x x x x x
x x x C ==?-?
?=?-+?
?
?
2221
(4)ln d ln 2ln d ln 2ln 2.x x x x x x x
x x x x x x C =-??=-++??
122(5)arcsin d arcsin arcsin (1)
.x x x x x x x C =-=+-
+??
22
2
2(6)arctan arctan 2d 1
arctan d 1 arctan arctan .x t t t t t t t
t
t t t t C x C ?=?-+=-++=-+??
22223222222222(7)sin d cos 2cos d cos 2sin 2sin d cos 2sin 2cos .
11
(8)cos d cos d (sin sin d )221 si 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x x x =-+=-+-=-+++=
=-=??
?
???
22222221
n cos .
211(9)d d 2211
.
24x x x
x x x x C xe x xe e x
xe e C -----++=-+=--+??
222(10)d 3(2d ) 3(22) 6).
(11)sin 2d sin 22cos 2d sin 22(cos 22sin 2d t t t t t t x x x x x x x e t t t e te t t e te e C C e x x e x x e x
e x e x e x x ?=-=-++=++=-?=-+?
??
??
)
?
移项解方程, 得
sin 2d (sin 22cos 2)5x
x e
e x x x x C =
-+?
.
(12)cos d cos sin d cos sin cos d x x x x x x e x x e x e x x
e x e x e x x
------=--=-+-??
?
移项解方程, 得
1
cos d (sin cos ).
2x x e x x e x x C --=-+?
(13)arcsin2
2
.
x x x
x
x C
=-
=-
=++
2
222
(14)ln(ln(
1
ln(
2
ln(.
1
(15)cos d(sin)(sin)d
22
x x x x x x
x x
x x C
x
x x x x x x x x x
+=+-?
=+-
=+-
=+-+
??
??
323
32
111
sin sin d
223
11
sin cos cos d
62
x x x x x x x
x x x x x x x
=+--
=++-
?
?
222
22
222
32
23
222
2
11
sin cos sin.
62
(16)(1)d d d
11
d d
22
11
()
22
x x x
x x
x x x
x x x x x x C
x x e x xe x x e x
e x x e x
e x e e C
=++-+
+=+
=+
=+-+
???
??
2
2
1
.
2
x
x e C
=+
2. 2.已知()
f x的一个原函数是sin x，求
'()d
xf x x
?
.
解因为()
f x的一个原函数是sin x, 则
()d sin
f x x x C
=+
?
所以两边求导, 得()c o s
f x x
=
于是
'()d()()d
xf x x xf x f x x
=-
??
故
'()cos sin
xf x dx x x x C
=-+
?
.
3.已知
'()1
x
f e x
=+，求()
f x.
解设,ln
x
t e x t
==
则
由已知
'()1
x
f e x
=+，则'()1ln
f t t
=+
所以
'
()()d(1ln)d ln ln
f t f t t t t t t t t C t t C
==+=+-+=+
??
故()ln
f x x x C
=+.
4. 已知()f x 的一个原函数是ln x x ，求
''()xf x dx
?
.
解 因为()f x 的一个原函数是ln x x ,则
()d ln f x x x x C =+?
所以两边求导,得
'1()ln 1,()f x x f x x =+=
且
于是 '''''()()()()()xf x dx xf x f x dx xf x f x C
=-
=-+??
故 ''
()d ln xf
x x x C
=-+?
.
习题 5－4
求下列不定积分：
21.d
32x
x x x -+?
解2
2
(23)1
d =d 232
32
x x
x x x
x x x
x -+-+-+?
?
2
2
1311
ln(2)(1)()d 22211133
ln(2)ln(1)ln(2)ln(1)2222
(2) 2ln(2)ln(1)ln .
121
2.
d (1)x x x
x x x x x x C
x x x C C x x x
x =--+---=-+-+---+-=---+=+-+-?
? 解
2
221
11d 2d 3d 1(1)(1)x x x x x x x +=+---?
??
21
2ln 13.
1
1
3. d 25x C x x x
x x =--+-+-+?
解 222
11222
d d d 225
25(1)4x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+???
211
ln 25arctan .
22x x x C -=-+++
224. d (1)(4)x
x
x x ++?
解
222214(1)(4)(1)(4)x A B C D
x x x x x x =+++
++++++因为 222 (1)(4)(4)(1)(4)A x x B x C x x x +++++++=则
2
2
, 5154 ,,,27
9279
d (1)(4)A B C D x
x
x x ==-=-=-
++?比较等式两边的系数解之得所以 22511d 5d 4
d d 27192749
(1)(4)x x x x x x x x =
--
-++++?
?
?
?
4
3
511541
ln 1ln 4.
2791279451114
ln ().
274914
5.
d 1
x x C x x x C x x x x x x
=++-++++++=+++++++?
解
4
33211
3(1)1
1
3(1)x
x x x x x x x x x +=-
=+
-
+++-+因为
4
32
22
222
11
d []d 3(1)13(1)
1111
ln 1d 2331111211
1
ln 1d d 236211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
x +=+-++-++=++--+-=++--
-+-+?
?
?
?
?所以
222221111d ln 1ln 1112362
()24
111ln 1ln 1.236x x x x x x x x x x C =++--+--+
=++--+-+?
321
6. d 1x x
x +-?
解
3211
11x x x x +=+
--因为 322111
d ()d ln 1.
121x x x x x x C x x +=+=+-+--??
所以
2d 7.
(1)x
x x -?
解 22
1111
=+ 1(1)(1)x x x x x ----因为
2
2d 111
[+]d 1(1)(1)11
ln ln 1ln .111x x
x x x x x x x x C C x x x =----=---+=-+---??
所以
2
d 8.
(1)(12)x
x x ++?
解
22141121
5125(1)(12)
1x x x x x -=
-
++++因为
22
222
d 41121
d d 5125(1)(12)1211
ln 12ln 1arctan 555
(12)11
ln arctan .551
9.
x
x x x x x x x x x x C
x x
C x *-=
-++++=+-++++=+++?
??
所以
解 321
(2),d d 3t x t x t t
=-=令 2
32233
1d 1(2)3
(33)3d 3d 3232t t
t t t t t
t t t t t =?---+==----?
??
于是
3332
31
ln 323d 32
1111111
9291332(1)11111
d ln 2ln 1993132t t
t
t t t t t t t t t t C
t t t =--+--=--
-+--+=--++++--?
?
又因为 所以
2
111ln 2
(1)ln(2)ln 133
1t t t
t C
t =-++--++++故 451
ln 2ln 133145 2ln 1.
33t t C
t C =-+++++=-+++
综合习题五
1.选择填空：
(1) 设3
()d ln sin 44f x x x C
=+?
, 则f(x ) = ( ) .
① cot4x
② －cot4x ③ 3cos4 x ④ 3cot4 x
(2) 设(1)sin 2d cos 2k x x k x C -=+?, 则k = ( ) .
① -1 ② -2 ③ 1 ④ 2
(3) 设
11()d x x
f
x e x
e C
=
+? , 则f(x ) = ( ) .
① 1x
② 1x -
③ 2
1x
④ 21x -
(4) 如果 x
e -是函数f(x ) 的一个原函数, 则
()d xf x x =?( ).
① (1)x
e x C --+ ② (1)x
e x C --+
③ (1) x e x C --++ 1 ④ (1)x
e x C -++
(5) 设 =?-+=?dx x xf C x dx x f )1(,)(2
2则 ( ) .
① 22
2(1)x C -+
② 22
2(1)x C --+
③ 221(1) 2x C --+ ④ 221(1) 2x C -+
解 (1) ④; (2) ①; (3) ④; (4) ④; (5) ③. 2.计算下列不定积分：
1
(1) (2) d 1x x x e +?
3cos 2(3) (4) sin d (5) (6)
(7) (8) (arcsin )d (9)
x x e x x
x x x x x ??
??
2102 (10) sin d
2
cos 2sin (11) d (12) d 1sin cos 1sin d (13) (14) (`1)x x
e x x x
x x
x x x
x
x x x -+++?
?
?
?
解
211
(1) )d x x t
t t =- 令
-
1
arcsin arcsin.
d(1)
1
(2)d d ln1.
111
(3)2
.
x
x
x
x x x
t t C C
x
e
e
x x e C
e e e
x x x x x
x C
-
-
-
-
=-=-+=-+
+
==-=-++
+++
=-=-
=-
???
?
3cos3cos3cos
1
(4)sin d d cos.
3
(5)arcsin.
x x x
e x x e x e C
C
=-=-+
==+
??
?
3
2
2
2
(6)ln)(1ln) .
3
(7)
1
ln
2
x x x C
x x x
x C
=+=++
=+
=+++
22
2
ln.
(8)(arcsin)d(arcsin)2arcsin
(arcsin)2arcsin
x C
x x x x x x
x x x =+++
=-
=+-
??
?
22417
4
3333222 (arcsin )2arcsin 2.(9)
34
d d .
73
111
(10)sin d sin cos d 222222
x x x x x x C x x
x x
x x
x x C x x x e x e e x
---=+-+=
=-=-+=-+?
?
??
222222221111sin (cos sin d )
2242222111 sin cos sin d 22821622sin d (cos 4sin ).
21722
cos 2cos 2d sin 2(11)d 2d 1sin cos 2sin 22x x x x x x x x x x x
e e e x x x x
e e e x
x x x
e x e C x x x
x x x x x --------=-+--=---=-++==
++?
?
?
??移项得2sin 2 ln 2sin 2.
sin 1
(12)
d (1)d 1sin 1sin 1sin 1sin d d (1sin )(1sin )cos 1
tan cos x x C x x x
x x
x x
x x x x
x x x
x x C x
+=++=-++--=-=-+-=-++?
??
??
.
21(13) 1 arcsin 21
arcsin arcsin .x x t
t t t C C x
=-=-
-
=-+=++=-+
+令
10102
222
1022
d 1d (14) 10(`1)(1)1
111
1(1)(1)d 1111
()d 101(`1)(1)x t t x
x x t t t t t t t x t t t x x t =++=--
+++=--+++??
??
令因为
所以 1010101010101111 ln ln 110101011111
ln ln 1101010111
[ln ].
1011
t t C t x x C
x x C x x =
-++++=-++++=++++
3. 已知x x
sin 是f (x )的一个原函数, 求'()d xf x x
?
.
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
习题
第五章 不定积分复习资料练
学生学习档案 要求：仔细，认真！
一 选择题:
1. 若 f (x)dx x2e2x c ,则 f (x) ( ).
(a) 2xe2x ,
(b) 2x2e2x , (c) xe2x ,
(d) 2xe2x (1 x) .
2. 如果 F(x) 是 f (x) 的一个原函数, c 为不等于 0 且不等于 1 的其他任意常数,那么( )也
必是 f (x) 的原函数。
(a) cF(x) ,
(b) F(cx) ,
(c)
F
x c
,
(d) c F (x).
3. 下列哪一个不是 sin 2x 的原函数( ).
;
(a) 1 cos2x c , 2
(c) cos2 x c ,
4. xex2 dx (
).
(b) sin 2 x c , (d) 1 sin 2 x c .
2
(a) ex c , (b) 1 ex2 c , (c) 1 ex2 c , (d) ex2 c .
2
2
5．设 f (x) 2x ，则 f (x) 的一个原函数是（ ）
(a) x3 ,
(b) x2 1,
6．设 f (x) ex ，则 f (x) 为（
）
(c) 1 x2 c , (d) 2x c . 2
(a) 1 ex , (b) e2x , (c) ex c , (d) 2ex 1 . 2
7. cos xdx ( )
(a) cos x , (b) sin x , (c) sin x c ,
·
(d) cos x c.
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成
正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π ，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）
一. 单项选择题 1 ( D ); (A) (B) (C) (D) 2 设 的一个原函数是，则（ ） (A) (B) (C) (D) 3 ，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4 ( ); (A) (B) (C) (D) 5下列等式中正确的是 ( ); (A) (B) (C) (D) 6 ( ) (A) (B) (C) (D) 7 设且，则（ ） (A) (B) (C) (D) 8 设存在，则下式不正确的是( ) =?)(arcsin x d x sin C x +sin x arcsin C x +arcsin x x f 2tan 3 4 )(-=)2ln(cos x k ?=k 32- 3234-3 4C x x dx x f +=?ln )(=)(x f 1ln +x x x +ln 1ln +x x x x x +ln ?=xdx dx d cot x 2sec x tan x sec ln x cot 2 3 x dx x C =+?3 44x dx x C ---=+?sin cos xdx x C =-+?33x x dx C =+? 1 12dx x =-?ln |12|x C -+1 ln |12|2 x C - -+2 1 (12)C x +-1ln |12|2x --2 /11)(x x F -= 2 3)1(π = F =)(x F 2 arcsin π + x π+x arcsin 2 12π + -x π+-21x )(/ x f
(A) (B) (C) (D) 9若 ,则( ) (A) (B) (C) (D) 10 已知是的一个原函数，则( A ) （A ） (B) (C) (D) 二, 求下列不定积分 １） ２） ３） ４） ５） ６） ７） ８） 9） 10） 11） 12） 13） 14） 15） 16） )()(/x f dx x f ?=? +=c x f dx x f dx d )()(c x f dx x f +=? )2()2(/? =)2()2(x f dx x f dx d ? +=c e x dx x f x 22)(=)(x f x xe 22x e x 222x xe 2)1(22x xe x +x x +2 )(x f =? dx x xf )(/ c x +2 x x 21323+343 1 41x x +c x +22?2x dx ?x x dx 2dx x ?-2)2(dx x x ?+22 1??-?dx x x x 32532dx x x x ?22sin cos 2cos ?-++dx x x x 103322dx x x ?+33 dx x ?-3 )23(?-3 32x dx dt t t ? sin ?-+x x e e dx dx x x )cos(2?dx x x ?-4313dx x x ?3cos sin dx x ?3cos
第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx
５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=?一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =?、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=??????、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κ??=+==-====???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+????、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+?、设则：
精品文档不定积分（Ａ） １、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１） ?dx2?dx)(x?22x1?４）３） 2x ??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos 13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７） ２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５） ?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７） 3x3 x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９） dx?3?dxxcos21?2x12）11 ） 3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13) ??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15) 3x1 ??dxdx)x?(x12x?117) 18) x2arccos arctanx10 精品文档． 精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１） ?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３） 2x24x? dx dx??32)1(x?x21?６）５） dxdx??22?1?x1?x1?x７）８） ４、求下列不定积分（分部积分法） ??xdxarcsinxsinxdx１）２） x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）
?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22 ５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１） 3x?2?dx210??3xx２） dx?2)?x(x1 3 ） （Ｂ） 2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。时函数值为 精品文档． 精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。xsin??dxx(xf) )(xfx。4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１） 1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４） dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx ?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7） ?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx ?dx?dx341x?x2e４）３） 5x x earctan ??dxdx8xxsincos?1?x５）６） 5x?xxxsincos 精品文档． 精品文档不定积分第四章 答案习题 （Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）