金融时间序列分析
第一章绪论
第一节时间序列分析的一般问题
人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价格、债券的收益等等，
例某支股票的价格。。。
如何从这些数据中总结、发现其变化规律，如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行从这些数据中总结为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。
研究方式
数据建立模型预测
数据数据的类型。
横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横剖面数据，剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存在的内在数值联系。例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城市的温度，都是横剖面数据；研究方法：多元统计分析。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据，称为纵剖面数据，纵剖面数据，又称为动态数据。它反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。例如，南京市1980 年至2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据研究方法：时间序列分析时间序列概念时间序列概念。时间序列：简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其中每一项的取值是随机的。严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。设(, β , P ) 是一个概率空间，其中是样本空间，β 是上的σ -代数，P 是Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析上的概率测度。又设T 是一个有序指标集。概率空间(, β , P ) 上的随机变量{ X t : t ∈T } 的全体称为随机过程。随机过程。
注：指标集T 可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离散之分。定义：定义：若{t i } 是R 中的一个离散子集，则称随机过程{ X t : t ∈{t i }} = { X ti } 是一个时间序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。注：1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此这数列表现出随机性。2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的历史行为的客观记录。。时间序列的特点: (1) 序列中的数据依赖于时间顺序；(2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性；(3)序列中前后的数值有一定的相关性----系统的动态规律(4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。。研究时间序列的意义通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。时间序列分析根据时间序列所包含的历史行为的信息，寻找相应系统的内在统计特征和发时间序列分析。展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析注：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。。时间序列分析的类型(详见P7) 。确定性时序分析：设法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法，称为确定性时序分析。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析第二节列的预测技术第二节时间序列的预测技术本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列，这些时间序列具有一些典型特征。时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研究其变化趋势。时间序列的基本变动。长期趋势变动：指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水平上的倾向。例如，1950 年至2000 年我国人口数一直保持增长的趋势；2000 年至2005 年人口数量稳定在13 亿。。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落
起伏波型相似的波动。例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。。不规则变动：由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国7 月份福建、浙江因台风遭受重大损失等。几种常见的预测模型几种常见的预测模型如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差σ 2 较小，并且有理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来，可以用如下一些经验方法来进行预测。。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即xt +1 = xt 。移动平均模型（滑动平均，Moving Average Model）：当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会产生较大偏差，可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的影响。设观察值序列x1 , x 2 , , x n , ，一次移动平均模型为x (1) t = 1 ( xt + xt 1 ++ xt ( n 1) ) n Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析我们用此值作为下一时刻的预测值，即令xt +1 = x (1) t 。注：1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化，并使趋势倾向更加明显。2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型来作预测。3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均模型，即 1 (1) x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t 1 ++ x (1) t ( n1) ) 。n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型xt + j = at + bt j ，j = 1,2, 其中：at = 2 x (1)t x ( 2 )t ，bt = 2 ( x (1) t x ( 2) t ) ，n 为周期长度。该模型在数n 1 据处理中常用来作为预处理，消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有效的。。指数平滑模型（Exponential Smoothing Model）：观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定：（1）下一期的预测值只与前n 期的历史数据有关，而与前n 期以前的历史记录无关；（2）前n 期的历史数据对预测值的影响是相同的，即都加权数 1 n 。然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我们不能充分利用数据带来的信息；假定（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数据对预测的影响应当越小。为了克服移动平均模型的缺点，更好地符合实际情况，我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。设观察值序列为x1 , x 2 , , x n , ，由
移动平均模型有1 ( xt + xt 1 ++ xt ( n 1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt 1 ++ xt ( n 1) + xt n ) xt n n n n 1 1 = xt + x (1) t 1 xt n n n 1 如用x (1) t 1 代替xt n ，并记α = ，则上式可以写成n x (1) t = x (1) t = αxt +(1 α ) x (1) t 1 一般地，一次指数平滑模型为S (1 ) t = α x t +(1 α ) S (1 ) t 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析其中α （0 < α < 1 ）为加权系数。利用上述递推公式，我们可以进一步得到St (1) = αxt +(1 α )[αxt 1 +(1 α ) S (1) t 2 ] = αx t +α (1 α ) xt 1 +(1 α ) 2 [αxt 2 +(1 α ) S (1) t 3 ] = = α ∑ (1 α ) j xt j j =0 ∞ 注：1、上式中加权系数呈指数函数衰减，加权平均能消除或减弱随机干扰的影响。2、指数平滑模型是以当前时刻t 为起点，综合历史数据的信息，来对未来进行预测的。其中加权系数α 的选择是提高预测精度的关键。根据经验，α 的取值范围一般为—。3、类似地，我们也有如下的二次、三次平滑公式，等等St St ( 2) = αS (1) t +(1 α ) S ( 2) t 1 ，= αS ( 2) t +(1 α ) S (3) t 1 ( 3) 加权系数α 的作用：由一次指数平滑公式有(1) xt +1 = S (1) t = S (1) t 1 +α ( xt S (1) t 1 ) = x (1) t +α ( xt x (1) t ) 其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正，因此，α 的大小反映了对上期预测误差修正的幅度的大小反映了对上期预测误差对上期预测误差修正的幅度α 值越大，加权系数的序列衰减速度就越快，采用的历史数据就越少。由此可以得到α 取值的一般原则：（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则α 值应取小些，以减少修正幅度，使预测模型包含更多历史数据的信息；（2）如果预测目标的基本趋势发生系统变化，则α 值应取大些，可以偏重新数据的信息队原来模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。金融时间序列及其特征第三节金融时间序列及其特征金融时间序列分析研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。它是一个带有高度经验性的学科，但也像其它科学一样，理论是形成分析推断的基础。然而，金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点：金融理论及其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统计理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析资产收益率多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 和MacKinlay (1997) 给出
了两个使用收益率的主要理由：第一，对普通的投资者来说，资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小；第二，收益率序列比价格序列有更好的统计性质，因而更容易处理。设Pt 是资产在t 时刻的价格，假定资产不支付分红。。单周期简单收益率若从第t 1 天到第t 天这一个周期持有某种资产，则单周期的简单毛收益率单周期的简单毛收益率定义为 1 + Rt = Pt Pt 1 或Pt = Pt 1 (1 + Rt ) 对应的单周期简单净收益率或称简单收益率为Rt = Pt P Pt 1 1 = t Pt 1 Pt 1 。多周期简单收益率若从第t k 天到第t 天这个k 个周期内持有某种资产，k 周期简单毛收益率则定义为1 + Rt [k ] = Pt P P P = t × t 1 × × t k +1 Pt k Pt 1 Pt 2 Pt k k 1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt 1 ) (1 + Rt k +1 ) = ∏ (1 + Rt j ) k 周期简单毛收益率也称为复合收益率。由上式可见，k 周期简单毛收益率恰是k 个单周期简单毛收益率的乘积k 周期简单净收益率为Rt [k ] = Pt P Pt k 1 = t Pt k Pt k 注：在实践中，实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的，例如是月收益率还是年收益率。若时间区间没有明确给出，那么一般认为隐含假定时间区间为一年。如果持有资产年限为k 年，则年度化的平均收益率定义为k 1 年度化的{Rt [k ]} = ∏ (1 + Rt j ) j =0 即为k 个单周期简单毛收益率的几何平均。1 k 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析由于算术平均要比几何平均容易计算，所以年度化的平均收益率也可以用算术平均来表示为： 1 k 1 年度化的{Rt [k ]} = exp ∑ ln(1 + Rt j ) 1 k j =0 注意到单周期收益率一般很小，利用一阶Taylor 展开式 e x ≈ 1 + x 与ln(1 +x) ≈ x ，年度化的平均收益率又可以进一步近似地表示为：年度化的{Rt [k ]} ≈ 1 k 1 ∑ Rt j k j =0 。连续复合收益率连续复合的含义：例假定银行存款的年利息为10%，最初存款为 1 美元。假如该银行每年支付一次利息，那么一年之后存款的额度变为1+= 美元。假如该银行每半年支付一次利息，六个月的利息率是10%/2=5%，第一年之后存款的额度为1(1 +/ 2) 2 = 美元。一般地，假如该银行一年支付m 次利息，那么每次支付的利息率为10%/m，一年后存款的额度变为1(1 +/ m) m 美元。下表给出一些常用的时间间隔下年利率为10%时存款1 美元的结果类型支付次数每周期利率净值（美元）一年 1 半年 2 季度 4 月12 周52 52 天365 365 连续地无穷多可见，净值趋于≈ exp ，这个值就是连续复合的结果。一般地，连续复合的净资产值为：A = C exp(r × n) 其中r 是年利率，C 是初始资本，n 是
年数。由此式我们可以得到 C = A exp( r × n) 称为n 年后价值为 A 的资产的现值连续复合收益率：资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率（log-return）: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析rt = ln(1 + Rt ) = ln Pt = pt pt 1 Pt 1 其中pt = ln Pt 注：连续复合收益率rt 与简单净收益率Rt 比较有一些优点：1、对多周期收益率，我们有rt [k ] = ln(1 + Rt [k ]) = ln(1 + Rt )(1 + Rt 1 ) (1 + Rt k +1 ) = ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt 1 ) + + ln(1 + Rt k +1 ) = rt + rt 1 ++ rt k +1 即，连续复合多周期收益率恰是各连续复合单周期收益率之和2、对数收益率有更容易处理的统计性质。3、根据泰勒公式，我们有如下有关系式ln Pt P Pt 1 P Pt 1 = ln(1 +t )≈ t ，Pt 1 Pt 1 Pt 1 即毛收益率的对数近似等于净收益率。。资产组合收益率由N 个资产组成的一个资产组合的简单净收益率是它所包含的各资产的简单净收益率的加权平均，其中每个资产的权重是资产组合的总价值中该资产的价值所占的百分比。设p 是一个资产组合，其在资产i 上的权重为ω i ，那么p 在时刻t 的简单收益R p ,t = ∑ ω i Rit ，i =1 N 其中Rit 是资产i 的简单收益率。收益率分布的假定收益率分布的假定分布。正态分布金融研究中传统的假设是：简单收益率{Rit | t = 1, , T } 是相互独立的，且都服从一个固定均值为、方差为σ 2 的正态分布。这个假设使得资产收益率的统计性质变得可以处理，但它遇到几个麻烦：第一，简单资产收益率的下界为-1，而正态分布的支撑是没有下界，它可以取到实直线上的任何值；第二，如果Rit 是正态分布的，那么多周期的简单收益率Rit [k ] 就不是正态分布的，因为它是单周期收益率的乘积；第三，经验结果不支持正态性假设，很多资产收益率数据表明它具有正的超出峰度，即具有厚尾性。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析。对数正态分布金融研究中另一个常用的假设是：资产的对数收益率rt 是相互独立的，且都服从一个均值为、方差为σ 2 的正态分布。此时，简单收益率Rt 就是独立同分布的对数正态的随机变量，由Rt =exp rt , 容易计算得到Rt 的均值和方差分别为 E ( Rt ) = exp( +σ2 2 ) 1，Var ( Rt ) = exp(2 +σ 2 )[exp(σ 2 ) 1] 这两个式子在研究资产收益率是有用的。如果简单收益率Rt 服从对数正态分布，均值和方差分别为m1 ，m2 ，通过计算可以得到其对数收益率rt 的均值和方差分别为m1 + 1 E (rt ) = ln m2 1+ (1 + m1 ) 2 ，
m2 Var (rt ) ln 1 + 2 (1 + m1 ) *第四节随机变量的矩第四节随机变量的矩最近的理论研究和实证结果表明：对收益率的两个传统假定并不成立，即收益率序列并不是服从正态分布的，实际上它存在着尖峰厚尾现象。为描述这一现象，我们需要下面矩的概念。。随机变量的矩设连续型随机变量X 的密度函数为 f (x) ，则X 的l 阶矩定义为ml′ = E ( X l ) = ∞ ∞ ∫x l f ( x)dx 一阶矩称为X 的均值或期望，它表示的是分布的中心位置，记为x 。X 的l 阶中心矩定义为ml = E[( X x ) l ] = ∞ ∞ ∫ (x x ) l f ( x)dx 二阶中心矩称为X 的方差，它表示X 取值变化的程度，记为σ 2 x 。方差的算术根Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析σ x 称为X 的标准差注：1、三阶中心矩度量X 关于其均值的对称性；四阶中心矩度量X 的尾部。X 的偏度(skewness)定义为标准化的三阶矩，即( X x )3 S ( x) = E 3 σ x X 的峰度(kurtosis)定义为标准化的四阶矩，即( X x )4 K ( x) = E 4 σ x 量K ( x) 3 称为超出峰度，具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性。注：2 、所谓“超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。正态分布的峰度K ( x) = 3 ，故其超出峰度为0。分布具有“厚尾性”意即该分布在其支撑的尾部有比正态分布更多的“质量” 。在实际中，这意味着来自于这样一个分布的随机样本会有更多的极端值。注：3、在应用中，偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。设{x1 , x 2 , , xT } 是X 的T 个观察值的随机样本，样本的均值为x = 1 T ∑ xt T t =1 样本方差为σ 2x = 1 T ∑ ( xt x ) 2 T 1 t =1 样本偏度为S ( x) = 1 (T 1)σ 3 x ∑ (x t =1 T T 3 t x ) 样本峰度为K ( x) 3 = 1 (T 1)σ 4 x ∑ (x t =1 4 t x ) 注：在正态分布假定下，S ( x) 和K ( x) 均渐近正态分布，均值为零，而方差分别为 6 / T 和24 / T 。（参见Snedecorhe Cochran(1980), ）注：4、类似地，我们也可以给出离散随机变量的偏度和峰度的定义。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析第二/三线性时间序列模型第二三章线性时间序列模型时间序列列的一个重要特征是它的前后数据之间具有相关性，这反映系统的现在行为与历史行为是有关联的，也就是说系统对过去行为具有记忆性，也叫做系统的动态性。记忆性（动态性）记忆性（动态性）。记忆性指某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的发生影响的性质。输入系统输出（响应）。动态性指系统现在行为与历史性为的相关性，
即在时间序列中，观察值之中蕴含有相关关系。从系统观点来看，动态性即指系统的记忆性。若某输入只影响系统的下一时刻的行为，而对其后的行为不发生作用，则称系统有一期记忆性或一阶动态性。类似可以定义系统的n 阶记忆性。阶记忆性。例：一个病人服用镇痛药，在时刻t 服用，相当于在时刻t 进入神经系统的一个输入----镇痛药，结构图如下：输入神经系统镇痛药t 精神状态X t 输出（响应）如果此药仅在下一个时刻有效，此后无效，该系统具有一期记忆性，其动态性可用下图表示：T T +1 T +2 假如服药后四小时内有效，且药力递减，第五个小时后无效，则系统的动态性图示如下：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析T T +1 T +2 T +3 T +4 T +5 注：如何定量描述系统的记忆性，这是时间序列分析的主要内容，时间序列模型就是系统记忆性的具体描述，建模过程驾驶记忆的定量描述过程。例如，若某系统的输入和输出为：时间t 1 2 输入输出则模型为X t = ψ 0Wt 。若某系统的输入和输出为：时间t 1 输入输出则模型为X t = ψ 1Wt 1 。若某系统的输入和输出为：时间t 1 输入输出Wt Xt 0 0 2 0 0 2 0 0 3 4 0 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 0 0 c ψ 0c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 c 0 ψ 1c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 c ψ 0c ψ 1c 则模型为X t = ψ 0Wt +ψ 1Wt 1 。一般地，系统的记忆性可以用如下模型表示：X t = ψ 0Wt +ψ 1Wt 1 +ψ 2Wt 2 +其中ψ j 表示在t 时刻系统对输入Wt j 的记忆程度，或者输入Wt j 对系统输出X t 的影响程度。称ψ j 为系统的记忆函数。实际上，我们所掌握系统的信息总是有限的，因此描述系统的记忆性的模型一般为有限形式：X t = ψ 0Wt +ψ 1Wt 1 +ψ 2Wt 2 ++ε t 其中的ε t 是一个随机误差。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析。线性时间序列若时间序列{xt } 能够写成xt = +∑ψ i at i ，i =0 ∞ 其中是xt 的均值，ψ 0 = 1 ，{a t } 是零均值、独立同分布的随机变量序列（即白噪声），则称{xt } 为线性时间序列。。线性时间序列理论。经济计量模型包括平稳性、动态相依型、自相关函数、建模和预测（1）简单自回归（AR）模型；（2）简单滑动平均（MA）模型；（3）混合的自回归滑动平均（ARMA）模型；（4）季节模型。第一节平稳性。严平稳对时间序列{xt } ，若对所有的t 、任意正整数k 和任意k 个正整数t1 , t 2 , , t k ，随机变量组(rt 1 , rt 2 , , rt k ) 的联合分布与随机变量组(rt1 + t , rt2 + t , , rtk +
t ) 的联合分布均是相同的，即满足关系式：Fk (rt1 , rt2 , , rtk ; t1 , t 2 , , t k ) = Fk (rt1 , rt2 , , rtk ; t1 + t , t 2 + t , , t k + t ) 则称{rt } 是严平稳的。换言之，严平稳性要求(rt , rt ,, rt ) 的联合分布在时间的平移下是不变。1 2 k 注：严平稳性的条件是相当强的，根据定义很难验证。稍微弱一点平稳性是如下的定义。。弱平稳对时间序列{xt } ，若（2）Cov( xt , xt l ) = γ l 仅与l 有关，（1）E ( xt ) = = const. ；则称{xt } 是弱平稳的或宽平稳的。换言之，若xt 和xt 与xt l 的协方差均不随时间变化，则{xt } 是弱平稳的。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析注：1、弱平稳性意味着数据的时间图显示出其值在一个常数水平上下以相同幅度波动；（请读者2、在弱平稳性的条件中，隐含地假定了rt 的头两阶矩均是有限的；验证）3、弱平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的头两阶矩上，严平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的概率分布上，二者的要求不同。。严平稳与弱平稳的关系命题若时间序列{rt } 是严平稳的，且它的头两阶矩是有限的，则{rt } 也是若平稳的。反之一般不成立，命题若时间序列{rt } 是正态分布的，则严平稳与弱平稳时等价的。。白噪声序列：若时间序列{xt } 是一个有有限均值和有限方差的、独立同分布的随机变量序列，则称{xt } 为白噪声序列，否则称为有色噪声。白噪声序列若{xt } 还服从均值为0、方差为σ 2 的正态分布，则称{xt } 为高斯白噪声。注：白噪声与白色光有相似的特性：白色的光谱在各频率上有相同的强度；白噪声的谱密度在各频率上的值也相同。例 1 高斯白噪声序列是弱平稳的。设高斯白噪声序列{xt } ，即它们是独立同分布的随机变量且 E ( xt ) = 0 ，又 E ( xt ) = σ 2 。故 2 E ( xt 2 ) = σ 2 E[( xt +l 0)( xt 0) = E ( xt +l xt )] = 0 所以{xt } 是弱平稳的。若l = 0 若l ≠ 0 。注：平稳性条件是难以验证的。在实际中，如果某过程前后的环境和主要条件够不随时间变化，就可以认为是平稳的。如在工业生产中，原料质量、机器性能、工艺过程、工人技术、自然条件（气温、雨量等）没有剧烈变化，就可以认为其过程是平稳的。若进行了工艺革新、设备改造、工人岗位变动等，则这一工业生产过程就是Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析非平稳的了。。自协方差对弱平稳时间序列{xt } ，协方差Cov( xt , xt l ) = γ l 称为间隔为l 的自协方差。自协方差。命题设弱平稳时间序列{xt } ，则自协方差具有如下性质：（1）
γ 0 = Var ( xt ) ；（2）γ t = γ t 。第二节相关系数和相关函数对资产收益率rt ，我们希望用简单模型来刻画rt 与t 时刻之前所拥有的信息之间的线性关系。这里的信息可以包括rt 的历史值和决定资产价格的经济环境的状态。所以，相关系数在理解这些模型中起着重要作用，所研究的变量与其过去值的相关系数是线性时间序列分析的重点。这些相关系数被称为自相关系数，它们是研究平稳时间序列的基本工具。随机变量的相关性随机变量的相关性两个随机变量X , Y 的相关系数为：ρ xy = Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y ) = E[( X x )(Y y )] E ( X x ) 2 E (Y y ) 2 其中x 和y 分别是X , Y 的均值，并且假定方差是存在的。注：1、相关系数ρ xy 度量的是随机变量X , Y 线性相关的程度。我们知道有以下性质：（1） 1 ≤ ρ xy ≤ 1 且ρ xy = ρ yx ；（2）若ρ xy = 0 ，则随机变量是不相关的；（3）若X , Y 都是正态随机变量，则ρ xy = 0 X , Y 是互相独立的。2、如果有样本{( xt , y r )}T=1 ，相关系数可以由它所对应的样本相关系数来估t 计：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析T ρ xy = ∑ (x t =1 T t =1 t x )( y t y ) T ∑ ( xt x ) 2 ∑ ( y t y ) 2 t =1 其中x = ∑ xt / T ，y = ∑ y t / T 分别为X , Y 的样本均值。t =1 t =1 T T 自相关函数（自相关函数（ACF）函数）。自相关函数设时间序列{xt } ，xt 与xt l 的相关系数称为{xt } 的间隔为l 的自相关系数，记为ρ l (t ) ，即ρ l (t ) = Cov( xt , xt l ) Var ( xt )Var ( xt l ) 注：当时间序列{xt } 是弱平稳时，自相关系数ρ l 与时间t 无关，而只是间隔l 的函数，此时由于Var ( xt ) = Var ( xt l ) ，我们有ρ l == 进一步还有，(1) ρ 0 = 1 ；Cov( xt , xt l ) γ l = Var ( xt ) γ0 (2) 弱平稳序列{xt } 是前后不相关对所有l > 0 ，ρ l = 0 。例2 设高斯白噪声{xt } ，由例 1 已经算得σ 2 , 若l = 0 γ (τ ) = Cov( xt , xt +l ) = 0, 若l ≠ 0 故高斯白噪声的自相关函数为：γ ( 0) = σ 2 ρ (l ) = 1, 若l = 0 。0, 若l ≠ 0 例3 设X 是随机变量，Var ( X ) = σ 2 。记x1 = x 2 = = X ，则时间序列{xt } 有γ (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X ) = σ 2 ，又γ (0) = σ 2 。所以对任意l ≥ 1 ，ρ (l ) = 1 。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析注：例3 的结论表明时间序列{xt } 具有极强的相关性。实际上，该序列的每一项是相同的，因而也是严平稳的。与例 2 比较可知，白噪声是另一个极端的情形。。样本自相关函数（ACF）假定有样本{xt }T=1 ，则{xt } 的间隔为1 的样本自t 相关系数为ρ1 = ∑ (x t =1 T t
x )( xt 1 x ) t ∑ (x t =1 T x) 2 一般地，{xt } 的间隔为l 的样本自相关系数定义为T ρl = t = l +1 ∑ (x t x )( xt l x ) , t ∑ (x t =1 T 0 ≤ l < T 1 x) 2 注：1、若{xt } 是独立同分布(iid)序列，且 E ( xt ) < ∞ ，则对任意固定的l ，ρ l 是 2 渐近地服从均值为0、方差为 1 / T 的正态分布（见Brockwellhe 和Davis(1991)）。此结果可以用来检验原假设H 0 : ρ1 = 0 对备选假设H a : ρ1 ≠ 0 。检验统计量为通常的t 比，即T ρ1 ，它渐近地服从标准正态分布。q 2、若{xt } 是一个弱平稳序列，满足xt = +∑ψ i at i ，其中ψ 0 = 1 ，{a j } 是i =0 高斯白噪声序列，则对于l > q ，ρ l 渐近地服从均值为0、方差为(1 +2∑ ρ i ) / T 2 i =1 q 的正态分布（见Box, Jenkins 和Reinsel(1994)）。3、对于有限样本，ρ l 是ρ l 的有偏估计。T 事实上，若记γl = ∑ ( xt x )( xt 1 x ) ，称其为样本自协方差。因为对于t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析0 ≤ l < T 1，E (γl ) = t = l +1 ∑ E[( xt x )( xt l x )] = T t =l +1 ∑γ T l = (T l )γ l ≠ γ l 所以，γl 是γ l 的有偏估计。又由于ρ l = γl ，所以ρ l 也是ρ l 的有偏估计。γ0 4、由于偏差的阶为 1 / T ，因此，在样本容量T 较小时是不容忽视的。但在大多数金融应用中，T 都是相当大的，故这个偏差影响并不大。定义称函数ρ1 ，ρ 2 , 为{xt } 的样本自相关函数注：自相关函数（ACF）在线性时间序列分析中起着重要作用。事实上，线性时线性时间序列的建模就是用样本ACF 来间序列模型可以完全由其ACF 所决定，刻画数据的线性动态关系的。第三节滑动平均模型在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型，它可以看作是白噪声序列的简单推广。滑动平均模型概念滑动平均模型的英文为：Moving-Average Model, 缩写为：MA 模型。。MA(q)模型假定{a t } 是均值为零、方差为σ a 的白噪声序列，则称 2 xt = at θ 1 at 1 θ q a t q , q>0 为q 阶滑动平均模型，简记为MA(q)模型。注：1、MA 模型是用白噪声序列组成的一个加权平均；2、MA 模型具有许多吸引人的特点，包括简单的均值和自协方差结构。MA 模型性质。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 ，Var ( xt ) = (1 +θ12 )σ a 对MA(1)模型：xt = at θ 1a t 1 ，两边取期望可得E ( xt ) = 0 ；两边取方差可Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) 2θ 1 E (at a t 1 ) +θ12 E (a t2 ) = σ a +θ 12σ a = (1 +θ 12 )σ a 。一般地，我们有如下命题：命题对MA 模型，我们有(1) MA 模
型是零均值的；(2) MA(q)模型的方差为 2 Var ( xt ) = (1 +θ12 ++θ q2 )σ a 。。MA 模型的平稳性因为 E ( xt ) = 0 ，且MA 模型总是弱平稳的。总Cov( xt , xt l ) = E ( xt xt l ) = E (at at l ) θ1 [ E (at 1at l ) + E (at at l 1 )] +θ1 E (at 1 at 1l ) 2 2 2θ1σ a = 0 l =1 。l >1 。MA(1)模型的自相关函数在MA(1)模型ρ 0 = 1 ，ρ1 = θ1 ，ρl = 0 对l > 1 1 +θ12 xt = at θ1a t 1 。两端同乘以xt l ，得xt l xt = xt l a t θ1 xt l a t 1 ，利用MA(1)模型的递推性质，将上式右端用白噪声表示，有xt l xt = xt l at θ1 (at l θ1 at l 1 )at 1 = xt l at θ1 at l at 1 +θ1 at l 1 at 1 2 两边取期望，得γ l = E ( xt l at ) θ1 E (a t l a t 1 ) +θ12 E (a t l 1 at 1 ) 2 θ1σ a = 0 2 由于Var ( xt ) = (1 +θ12 )σ a ，故l =1 l >1 ρ 0 = 1 ，ρ1 = θ1 ，ρl = 0 对l > 1 。1 +θ12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing Uni versity of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析类似的计算可以得到（请同学自己验证）：。MA(2)模型的自相关函数对MA(2)模型xt = at θ1 at 1 θ 2 at 2 ，有ρ 0 = 1 ，ρ1 = θ1 +θ1θ 2 θ2 ，ρ2 = ，ρl = 0 对l > 2 。2 2 1 +θ1 +θ 2 1 +θ12 +θ 22 注：1、上述自相关函数式表明：MA(1)模型的自相关函数在间隔为 1 以后是截尾的；MA(2)模型的自相关函数在间隔为2 以后是截尾的；一般地，对MA(q)模型有ρ q ≠ 0 ，但对l > q 有ρ l = 0 ，即MA(q)模型的自相关函数在间隔为l > q 以后是截尾的。因此MA(q)序列是一个“有限记忆”模型。2、某些金融时间序列有时会有正的均值，这时就应当是把这个常数均值添加入到模型中去，使得MA(q)模型变为xt = +a t θ1 a t 1 θ q a t q 那么，通过计算可以得到 E ( xt ) = ，而方差和自相关系数均保持不变。例考虑MA(1)模型：yt =
a t 1 θ1 a t 1 ，通过计算（同学自己完成）可得ρ 0 = 1 ，ρ1 = θ1 ，ρl = 0 对l > 1 。
1 +θ1
2 即与上面MA(1)模型xt = at θ1a t 1 具有相同的自相关函数。问题：问题：MA(1)序列{xt } 与{ y t } 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合适呢为回答这个问题，我们将白噪声{a t } 分别用数据{xt } 与{ y t } 表示：at = xt +θ1 at 1 = xt +θ1 ( xt 1 +θ1 at 2 ) = xt +θ1 xt 1 +θ1 xt 2 + 2 (1) (2) at = yt +1 θ1 at 1 = y t +1 θ1 ( y t 1 +1 θ1 at 2 ) = yt +1 θ1 y t 1 +1 θ1 2 yt 2 +如果| θ1 |< 1 ，方程(1)收敛而方程(2)发散，此时我们应当选择MA(1)序列{xt } 。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析MA 模型的阶的识别模型的阶的阶的自相关函数是识别MA 模型的阶的非常有用的工具。如果MA 时间序列{xt } 的自相关
函数满足：ρ q ≠ 0 ，但对l > q 有ρ l = 0 ，则xt 服从一个MA(q)模型。注：在实际问题中，我们是计算序列的样本自相关函数，如果从某ρ q 以后的样本自相关函数显著的小，则可以近似地视样本自相关函数在q 项以后是截尾的，从而是q 阶MA 模型。第四节自回归模型另一类常用的模型是自回归模型。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）价值指数的月收益率rt 具有统计显著的间隔为 1 的自相关系数，这表明延迟的收益率rt 1 在预测rt 时会有一定的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。自回归模型概念自回归模型的英文为：Auto Regressive Model，缩写为：AR 模型。。AR( p)模型假定{a t } 是均值为零、方差为σ a 的白噪声序列，则称2 xt = 1 xt 1 ++p xt p + a t ，p > 0 为p 阶自回归模型，简记为AR(p)模型。注：1、自回归模型从形式上看与线性回归模型很相似，但是，两者又有显著的不同。下面以一阶自回归模型为例来与一阶线性回归模型进行比较：一阶回归模型：yi = bxi +ε i 一自回归模型：xt = 1 xt 1 +at xi 是确定性取值，y i 是随机性变量值，xt 均是随机变量Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析一随机变量对另一确定性变量的依存一随机变量对自身过去值的依存关系关系静态条件下研究动态条件下研究 a t 独立，xt 之间有相关性无条件回归ε i ，y i 皆是独立的条件回归二者之间的联系：若固定时刻t 1 且xt 1 已知时，AR(1)是一元线性回归；而当我们用时间序列的过去（滞后）值代替线性回归模型的预测子后，就得到一个AR 模型。因此我们有理由相信经典回归所导出的大部分统计结果可以只作少量的修改就可以推广到AR 情形。2、p 阶自回归模型反映了系统的p 期记忆性，或p 阶动态性质，即，系统的t 时刻的状态主要与该时刻之前的p 个时刻的状态有关，而与t 时刻之前p 个时刻以前的状态无关。3、模型中xt 是因变量，xt 1 , , xt p 是解释变量，j 表示xt 对xt j 的依赖程度。4、对AR(1)模型，在已知过去收益率rt 1 的条件下，我们有 E (rt | rt 1 ) = 1 rt 1 ，Var (rt | rt 1 ) = Var (at ) = σ a ， 2 即，给定过去收益率rt 1 ，现在的收益率将以 1 rt 1 为中心取值，离散程度以σ a 衡量。2 AR 模型的性质。AR(1)模型的均值当AR(1)序列是弱平稳时，其均值为零，即 E ( xt ) = = 0 ， 1 ≠ 1 在AR(1)序列xt = 1 xt 1 + at 的两边取期望，得Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing
University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析E ( xt ) = 1 E ( xt 1 ) + E (a t ) 由弱稳定性假设可知 E ( xt ) = E ( xt 1 ) = ，以及对所有的t ，E (a t ) = 0 ，我们有= 1 ，于是，当 1 ≠ 1 时有 E ( xt ) = = 0 。。AR(1)模型的方差当AR(1)序列是弱平稳时，其方差为Var ( xt ) = 将AR(1)模型写为σ a2 ， 1 ≠ 1 2 1 1 xt = a t + 1 xt 1 两边取方差，得Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at ) + 21 E ( xt 1 at ) + 12 E ( xt21 ) 2 2 为计算E ( xt 1 a t ) ，我们利用叠代方程，重复叠代可推得，∞ xt = at + 1a t 1 + 1 a t 2 += ∑ 1 at i 2 i i =0 将（）式两边同乘以 a t +1 再取期望，得∞ E ( xt at +1 ) = ∑ 1 E (a t i at +1 ) i i =0 利用白噪声序列{a t } 的独立性，我们有 E ( xt at +1 ) = 0 。由式得Var ( xt ) = 1 Var ( xt 1 ) +σ a 。 2 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt 1 ) ，故σ a2 Var ( xt ) = 。 2 1 1 注：类似等式 E ( xt at +1 ) = 0 的证明，可以得到等式 E ( xt l at ) = 0 ，这表明白噪声序列{a t } 在t 时刻的噪声 a t 与其以前各时刻的历史记录xt l 是独立的。。AR(1)模型的弱平稳性由于AR(1)模型弱平稳的条件之一是方差非负有限，即0 ≤ Var ( xt ) < ∞ ，所以 1 < 1 ，即| 1 |< 1 。于是，我们得到2 命题AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 是弱平稳的必要条件是| 1 |< 1 。注：由命题，我们可以推得：对AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at ，若系数| 1 |≥ 1 ，则该模型不是弱平稳的。问题：我们如何判断AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 是弱平稳的呢问题事实上，我们可以证明：命题AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 是弱平稳的| 1 |< 1 。。AR(1)模型的自相关函数当AR(1)序列是弱平稳时（即| 1 |< 1 ），ρ l = 1 l ，l ≥ 0 在AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 的两边乘以xt l ，再取期望得到E ( xt xt l ) = 1 E ( xt 1 xt l ) + E (a t xt l ) 为计算E ( xt at ) ，我们在模型xt = 1 xt 1 + at 的两边同乘以a t 并取期望，得Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析E (at xt ) = 1 E (at xt 1 ) +E (at ) = E (at ) = σ t ，2 2 2 这里用到了a t 与xt 1 的独立性。由式及关系γ l = γ l ，我们有1γ 1 +σ a 2 γl = 1γ l 1 , 对l > 0 ，由后一方程γ l = 1γ l 1 推得若l = 0 若l > 0 ρ l = 1 ρ l 1 。又因ρ 0 = 1 ，故有ρ l = 1 。l 注：1、AR(1)模型的自相关系数从ρ 0 = 1 开始以比率为1 指数衰减，因此不能在任意有限间隔后截尾。（然而由于是一指数衰减，实际问题的计算时，也可以视为是截尾的。）2、1 为正时，若AR(1)模型的自相关函数图在上方以1 比率指数衰减；1 若为负时，
AR(1)模型的自相关函数图由上下两个都以1 比率衰减的图形组成。2 1 = 的ACF 图：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 1 = 的ACF 图：3、如果把一个常数0 加入到方程中，使得AR(1)模型变为xt = 0 + 1 xt 1 + a t 仿照上面方法计算可得（请同学自己验证）：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 E ( xt ) = = σ a2 0 l，Var ( xt ) = ，ρ l = 1 ，l ≥ 0 2 1 1 1 1 这表明序列xt 的均值与常数项0 有关，而方差和自相关函数均保持不变。易见，xt 的均值为零0 = 0 。[为求方差，由上述均值公式可得0 = (1 1 ) ，代入得xt = at + 1 ( xt 1 ) 利用此方程重复叠代可推得，xt = at + 1 at 1 + 1 at 2 += ∑ 1 a t i 2 i i =0 ∞ 将（）式两边乘以 a t +1 再取期望，并利用序列{a t } 的独立性，我们有E[( xt )a t +1 ] = 0 。由协方差定义，Cov( xt 1 , at ) = E[( xt 1 )at ] = 0 。故对（）式两边平方再取期望，可得E[( xt ) 2 ] = E[1 ( xt 1 ) 2 + 21 ( xt 1 )at + at ] 2 2 即Var ( xt ) = 1 Var ( xt 1 ) +σ a 2 2 2 其中σ a 是a t 的方差。在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt 1 ) ，故σ a2 Var ( xt ) = ] 2 1 1 。AR(2)模型的均值用类似上面的方法（请同学自己验证），可以证明均值当AR(2)序列是弱平稳时，其均值为 E ( xt ) = = 0 ， 1 +1 ≠ 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析。AR(2)模型的自相关函数由AR(2)模型xt = 1 xt 1 + 2 xt 2 + at 两端同乘以xt l ，有xt l xt = 1 xt l xt 1 + 2 xt l xt 2 + at xt l 利用AR(2)模型的平稳性以及 E ( xt l at ) = E ( xt l a t ) E (a t ) = 0 ，l > 0 ，对式两边取期望，得γ l = 1γ l 1 + 2 γ l 2 ，（l > 0 ）称为平稳AR(2)模型的矩方程。对上述矩方程两边同乘除以γ 0 ，我们可以得到平稳AR(2)时间序列的自相关函数ρ l 满足条件：ρ l = 1 ρ l 1 + 2 ρ l 2 （l > 0 ）进一步，有(1) ρ 0 = 1 ，ρ1 = 1 ，ρ l = 1 ρ l 1 + 2 ρ l 2 1 + 2 （l ≥ 2 ）(2) 对间隔为 1 的自相关函数，利用ρ 0 = 1 以及ρ t 的对称性，有ρ1 = 1 ρ 0 + 2 ρ 1 = 1 + 2 ρ1 ，（l > 0 ）命题若AR(2)序列是弱平稳的，则其自相关函数满足二阶差分方程(1 1 B 2 B 2 ) ρ l = 0 （l > 0 ）其中B 是向后推移算子，即Bρ l = ρ l 1 。注：对弱平稳AR(2)序列，我们没能得到自相关函数的具体表达式，而仅得到了自相关函数所满足的差分方程。。AR(2)模型的特征方程与特征根上述自相关函数所满足的差分方程决定了平稳AR(2)时间
序列的自相关函数的特性，同时也决定了xt 的预测方法。定义：与二阶差分方程(1 1 B 2 B 2 ) ρ l = 0 对应的二次多项式为Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析x 2 1 x 2 = 0 ，称为AR(2)模型的特征方程，其解称为AR(2)模型的特征根。模型的特征方程，记AR(2)模型的特征根为ω1, 2 = 1 ± 12 + 4 2 2 。(i) 若12 +4 2 ≥ 0 ，则ω1 和ω 2 均是实数，此时模型中二次差分方程能分解这表明AR(2)模型可以看成两个AR(1)模型的叠加。此时xt 成(1 ω1 B)(1 ω 2 B) ，的自相关函数是两个指数衰减的混合。(ii) 若12 + 4 2 < 0 ，则ω1 和ω 2 均是复数，xt 的自相关函数将呈现出减幅的正弦和余弦的图像。在经济和商业的应用中，复数特征根是很重要的，它们会导致商业环的出现。对于经济时间序列模型来说，复数特征根是经常出现的。对AR(2)模型而言，若出现一对共轭复特征根，则其随机环的平均长度为k = 360 cos 1 [1 /(2 2 )] 。例考虑美国的实际国民总产值（GNP）的嫉妒增值率，时间是从1947 年第二个季度到1991 年的第一个季度。可以简单利用AR(3)模型来分析，用rt 表示增长率，建立模型为：rt = + 1 + 2 3 + a t ，σ a = 改写成rt 1 2 + 3 = + a t 得到对应的三阶差分方程1 B B 2 + B 3 = 0 将方程分解为(1 + B )(1 B + B 2 ) = 0 第一个因子(1 + B ) 表示所考虑的GNP 增长率大体上呈指数衰减；对第二个因子 1 B + B 2 = 0 ，有12 + 4 2 = < 0 。因此，这个AR(3)模型的第二个因子说明美国的实际GNP 的嫉妒增长率中存在随机商业环。这一点是合理的，因为美国经济经历了膨胀和紧缩期。随机环的平均长度大约为k= 360 cos [1 /(2 2 )] 1 = (季度) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析这大约为3 年。若用一个非线性模型把美国经济分解成“膨胀期”和“紧缩期” ，数据将表明紧缩期平均长度大约为三个季度，而膨胀期的平均长度为 3 年。个季度是这两个平均长度的折中。。AR(2)模型的弱平稳性命题AR(2)模型xt = 1 xt 1 + 2 xt 2 + at 是弱平稳的条件是其两个特征根ω i 的模都小于1，即| ω1 |< 1 ，| ω 2 |< 1 。（推导从略）注：如果把一个常数0 加入到方程中，使得AR(2)模型变为xt = 0 + 1 xt 1 + 2 xt 2 + a t 仿照上面方法计算可得（请同学自己验证）： E ( xt ) = = 0 ，1 +1 ≠ 1 1 1 2 且自相关函数也满足二阶差分方程(1 1 B 2 B 2 ) ρ l = 0 ，即具有与原来相同的特征根。[为求的自相关函数满
足的条件，由此均值公式可得0 = (1 1 2 ) ，代入得xt = 1 ( xt 1 ) + 2 ( xt 2 ) + a t 两端同乘以xt l ，有( xt l )( xt ) = 1 ( xt l )( xt 1 ) + 2 ( xt l )( xt 2 ) + at ( xt l ) 利用AR(2)模型的平稳性以及E[( xt l )a t ] = E ( xt l at ) E (at ) = 0 ，l > 0 ，对上式两边取期望，得γ l = 1γ l 1 + 2 γ l 2 ，（l > 0 ）Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析两边同乘除以γ 0 ，得ρ l = 1 ρ l 1 + 2 ρ l 2 （l > 0 ）即ρ l 满足二阶差分方程(1 1 B 2 B 2 ) ρ l = 0 ] 。AR(p)模型均值当AR(p)序列是弱平稳时，其均值为E ( xt ) = 0 ，1 ++p ≠ 1 特征方程x p 1 x p 1 p = 0 平稳性条件特征根ω i 的模皆小于1，即| ω i |< 1 。自相关函数当AR( p )序列是弱平稳时，则其自相关函数满足差分方程(1 1 B p B p ) ρ l = 0 （l > 0 ）模型的识别AR 模型的阶AR 模型的阶的识别并不像MA 模型直接利用其自相关函数那么简单，需要所谓的偏自相关函数而偏自相关函数的引入比较麻烦且不容易理解，偏自相关函数。我们留在偏自相关函数下一章再去介绍。第五节简单的ARMA 模型在有些应用中，为了把握较复杂现象的时间序列，我们需要高阶的MA 模型或AR 模型才能充分地描述数据的动态结构，这样就会有多个参数需要估计，问题就变得复杂起来。为避免由此带来的困难，人们想到AR 模型与MA 模型结合起来，这就是自回归滑动平均模型（见Box, Jenkins 和Reinsel (1994) ）。自回归滑动平均模型概念自回归滑动平均模型的英文为：Auto Regressive and Moving Average Model, 简记为：ARMA 模型。。ARMA(p,q)模型假定{a t } 是均值为零、方差为σ a 的白噪声序列，则称 2 xt = 1 xt 1 ++p xt p +a t θ 1 at 1 θ q at q 为ARMA（p,q）模型。注：金融中的收益率序列，直接用ARMA 模型的机会较少。然而，ARMA 模型Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析的概念与波动率建模有密切联系。事实上，推广的自回归条件异方差（GARCH）模型就可以近似地认为是关于序列{at } 的ARMA 模型。ARMA(1,1)模型的性质模型的性质。ARMA(1,1)模型的均值 2 当ARMA(1,1)序列xt = 1 xt 1 +a t θ1 at 1 是弱平稳时，其均值为零，即 E ( xt ) = = 0 ， 1 ≠ 1 在ARMA(1,1) 模型xt = 1 xt 1 +a t θ1 at 1 的两边取期望，得 E ( xt ) 1 E ( xt 1 ) = E (a t ) θ1 E (a t 1 ) 由弱平稳性可知：对所有的t ，E ( xt ) = E ( xt 1 ) = 。又由E (a t ) = 0 ，我们有 1 = 0 。于是，当1 ≠ 1 时有E ( xt ) = =
0 。注：一般地，当序列是弱平稳时，ARMA(1,1) 模型与AR(1)模型具有相同的期望值。。ARMA(1,1)模型的方差当ARMA(1,1)序列是弱平稳时，其方差为2 (1 21θ1 +θ12 )σ a Var ( xt 1 ) = ，1 ≠ 1 1 12 在ARMA(1,1) 模型xt = 1 xt 1 +a t θ1 at 1 的两端乘以a t 再取期望，得 2 E ( xt at ) = 1 E ( xt 1 at ) +E (at ) θ1 E (at 1 at ) = σ a 2 再在模型xt = 1 xt 1 + a t θ1 at 1 的两端取方差，得Var ( xt ) = E ( xt ) = E (1 xt21 + at2 +θ12 at21 + 21 x t 1at 21θ1 xt 1 at 1 2θ1at at 1 ) 2 2 = 1 E ( xt21 ) + E (at2 ) +θ12 E (at21 ) 21θ1 E ( xt 1at 1 ) 2 2 2 2 = 1 Var ( xt 1 ) +σ a +θ12σ a 21θ1σ a 2 （由a t 与xt 1 不相关及）Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析所以2 Var ( xt 1 ) 1 Var ( xt 1 ) = (1 21θ1 +θ12 )σ a 2 当序列{xt } 平稳时，有Var ( xt 1 ) = Var ( xt 1 ) ，故当12 ≠ 1 时，有2 (1 21θ1 +θ12 )σ a Var ( xt 1 ) = 。1 12 。ARMA(1,1)模型的平稳性由于ARMA(1,1) 模型弱平稳的必要条件之一是方差是非负有限的，即0 ≤ Var ( xt ) < ∞ ，所以1 < 1 ，即| 1 |< 1 。于是，我们又有2 命题AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 是弱平稳的必要条件是| 1 |< 1 。（这又与AR(1)模型的条件是相同的。）。ARMA(1,1)模型的自相关函数弱平稳时，其自相关函数为：θσ2 1 1 a ρl = γ0 ρ 1 l 1 l =1 l≥2 当ARMA(1,1)模型xt = 1 xt 1 +a t θ 1 at 1 是在ARMA(1,1) 模型xt = 1 xt 1 + a t θ1 at 1 的两端乘以xt l ，有xt l xt 1 xt l xt 1 = al xt l θ1 xt l a t 1 假定序列xt 是弱平稳的，则有γ l = Cov( xt , xt l ) 。对l = 1 ，在上式两端取期望，并利用t 1 时的式，我们有 2 γ
1 1γ 0 = θ1σ a （注意：此结果与AR(1)情形的γ 1 1γ 0 = 0 不同）注意：注意对l =
2 ，取期望后得到γ 2 1γ 1 = 0 。注意：此结果与AR(1)情形是相同（注意注意：的）一般地，对l ≥ 2 我们可以得到γ l 1γ l 1 = 0 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析2 θ1σ a ，且对l ≥ 2 有ρ l = 1 ρ l 1 。γ0 因此，ρ1 = 1 注：ARMA(1,1) 模型的自相关函数与AR(1) 模型的自相关函数相像，不同之处是ARMA(1,1) 模型的自相关函数从间隔 2 开始以比率 1 指数衰减，因此不能在任意有限间隔后截尾。。ARMA(p,q)模型的性质将ARMA(p,q)模型xt = 1 xt 1 ++p xt p +a t θ 1 at 1 θ q at q 改写为xt 1 xt 1 p xt p = a t θ 1a t 1 θ q a t q 或(1 1 B p B p ) xt = (1 θ1 B θ q B q )at 记( B) = 1 1 B p B p ，θ ( B ) = 1 θ1 B θ q B q ，则上式可以写成( B ) xt = θ ( B ) a t 这里
分别称多项式( B ) = 1 1 B p B p 和θ ( B ) = 1 θ 1 B θ q B q 为ARMA 模型的AR 多项式和MA 多项式。此地要求AR 多项式与MA 多项式没有公因式，否则模型的阶(p,q)将会降低。注：1、与AR 和MA 模型一样，ARMA 模型的性质通常也可以由它的自相关函数来刻画。例如，AR 多项式引进了ARMA 模型的特征方程。若特征方程的所有根的模皆小于1，则ARMA 模型是稳定的；此时序列的均值为 E ( xt ) = 0 。
4、在识别ARMA 模型的阶时，其自相关函数和偏自相关函数都不是很有用的。而要用到所谓的推广的自相关函数，其思想是简单的。如果我们能得到ARMA 模型的AR 部分的相合估计，则能导出AR 部分，对所导出的MA 序列，用自相关函数来决定MA 部分的阶（见Tsay 和Tiao (1984))。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析第四章时间序列模型的建立第一节时间序列模型的特征函数自相关函数是时间序列模型的一个特征函数，其分析方法基本上与平稳随机过程理论类似，只是结果有很大不同。在时间序列分析中还有一些在平稳随机过程中所没有的特征函数，如格林函数、逆函数、偏自相关函数等，它们从不同的侧面来反映时间序列模型的特性。下面我们就来介绍这几个函数。。格林函数（Green 函数，G 函数）格林函数刻画的是时间序列模型对于过去时刻进入系统扰动的记忆性。由ARMA 模型( B) xt = θ ( B)at 解出xt ，得θ ( B) at ( B) xt = 用多项式除法，可得xt = (1 + G1 B + G 2 B 2 + )a t 或xt = ∑ G j B j at = ∑ G j a t j ，G0 ≡ 1 j =0 j =0 ∞ ∞ 式中的系数G j 称为格林函数。利用格林函数G j ，xt 表示为完全由过去时刻的进入系统的噪声 a t j 所产生把注：的对xt 的影响，即系统对过去噪声的记忆性。因此，我们可以用一个MA 模型来逼近xt 的行为。这种表达式称为xt 的传递形式。具体地说，格林函数G j 是j 个单位之前进入系统的噪声a t j 对现在响应的权重。记换句话说，G j 表示了系统对先前噪声 a t j 记忆的程度，因此也称为记忆函数。。MA(q) 模型的格林函数G0 = 1 , G j = θ j ，1 ≤ j ≤ q , G j = 0 ，j > q Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析由MA(q)模型xt = at θ 1 at 1 θ q a t q 显见。。AR(1) 模型的格林函数G j = 1j ，j = 0,1,2, 由AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at 改写为(1 1 B ) xt = at ，解出xt 得 1 1 1 B xt = a t = (1 + 1 B + 12 B 2 + )a t = at + 1 at 1 + 12 at 2 += ∑ 1j at j j =0 ∞ 所以G j = 1j 。注：对于AR(1)模型，如果| 1 |< 1 ，则当
j → ∞ 时，G j → 0 ，即系统在充分长时间后将恢复到它的平衡位置（期望为零）。这从另外一个角度导出了AR(1)模型平稳的条件。。ARMA(2,1) 模型的格林函数ω θ ω θ1 j G j = 1 1 ω1j + 2 ω ω ω ω ω 2 ，j = 0,1,2, 1 2 2 1 其中ω1 ，ω 2 为模型的AR 多项式的两个根。由ARMA(2,1)模型xt = 1 xt 1 + 2 xt 2 +a t θ1 a t 1 改写为(1 1 B 2 B 2 ) xt = (1 θ1 B )at ，解出xt 得xt = 1 θ1 B at 1 1 B 2 B 2 （* ）若ARMA(2,1)模型有特征根ω1 与ω 2 ，即其自回归多项式有分解式：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 1 1 B 2 B 2 = (1 ω1 B)(1 ω 2 B) ，则（*）可以作部分分式分解xt = ω θ 1 θ1 B ω θ1 1 1 at = 1 1 +2 at 2 1 1 B 2 B ω1 ω 2 1 ω1 B ω 2 ω1 1 ω 2 B ω θ = 1 1 ω1 ω 2 ω 2 θ1 ∞ j j ∑ ω B +ω ω ∑ ω 2 B at j =0 2 1 j =0 ∞ j 1 j ∞ ω θ ω θ1 j = ∑ 1 1 ω1j +2 ω 2 at j ω 2 ω1 j = 0 ω1 ω 2 ω θ ω θ1 j 所以，G j = 1 1 ω1j + 2 ω ω ω ω ω 2 。 1 2 2 1 注：对于ARMA(2,1)模型，仅当两个特征根的模均小于1 时，即| ω1 |< 1 且| ω 2 |< 1 ，才有G j → 0 ，j → ∞ ，即系统是平稳的。如果两个特征根有一个模大于1，将导致G j 发散，系统就不平稳了。例1 判定ARMA(2,1)模型xt = xt 1 xt 2 + a t t 1 的平稳性，并计算它的格林函数求解该模型的AR 多项式w 2 += 0 的根，得w1 = ，w2 = 。由于两个特征根均是小于 1 的正数，所以该模型是平稳的。将特征根w1 = ，w2 = 代入格林函数计算公式有Gj = 0 .8 0 .4 0 .5 0 .4 1 × 0 .8 j + × 0 .5 j = × ( 4 × 0 .8 j 0 .5 j ) 0 .8 0 .5 0 .5 0 .8 3 于是 1 G0 = × (4 × 1 1) = 1 3 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析1 G1 = × (4 × ) = 3 G2 = 1 × (4 × 2 2 ) = 3 1 G3 = × (4 × 3 3 ) = 3 。。。。。。由此可见，该模型的格林函数呈现快速下降的趋势。。逆函数（I 函数）逆函数刻画的是时间序列模型的对于过去时刻记录xt 的记忆性。由ARMA 模型( B) xt = θ ( B)at 解出at ，得( B) xt θ ( B) at = 用多项式除法，可得at = (1 I 1 B I 2 B 2 +) xt = ∑ ( I j ) B j xt = ∑ ( I j ) xt j ，I 0 ≡ 1 j =0 j =0 ∞ ∞ (**) 或xt = ∑ I j xt j +a t j =1 ∞ 式中的系数I j 称为逆函数。注：1、利用逆函数，把xt 表示为过去所有历史时刻的xt j 对系统所产生的影响。即系统对于过去所有历史时刻的xt 的记忆性。因此，我们可以用一个AR 模型来逼近xt 的行为。这种表达形式称为“逆
精品文档 浙江农林大学 2009 - 2010 学年第 二 学期考试卷（A 卷） 课程名称： 应用时间序列分析 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共12分） 1. 关于严平稳与（宽）平稳的关系，不正确的为 。 ( ) A. 严平稳序列一定是宽平稳序列 B. 当序列服从正态分布时，两种平稳性等价 C. 二阶矩存在的严平稳序列一定为宽平稳的 D. MA(p)模型一定是宽平稳的 2. 下图为某时间序列的相关检验图，图1为自相关函数图，图2为偏自相关函数图，请选择模型 。 ( ) 图1 图2 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. AR(1) B. AR(2) C. MA(1) D. MA(2) 3. 下图中，图3为某序列一阶差分后的自相关函数图，图4为某序列一阶差分后的 偏自相关函数图，请对原序列选择模型。( ) 图3 图4
A.ARIMA(4，1，0) B. ARIMA(0，2，1) C. ARIMA(0，1，2) D.ARI MA(0，1，4) 4. 记B 为延迟算子，则下列不正确的是 。 ( ) A. 0 1B = B. (1)k t t k t X X B X --=- C. 12t t BX X --= D. 11()t t t t B X Y X Y --±=± 5.对于平稳时间序列，下列错误的是 ( ) A.)(212εσεE = B.),(),(k t t k t t y y Cov y y Cov -+= C.k k -=ρρ D.)(?)1(?1k y k y t t +=+ 6.下图为对某时间序列的拟合模型进行显著性水平0.05α=的显著性检验，请选择 该序列的拟合模型 。 ( )
时间序列分析在金融市场价格波动分析中应用
B 题 金融市场价格波动分析 摘要 本文基于),,(q d p ARIMA 模型以及GARCH 模型结合数据图法，自相关函数检验法，差分法，借助SAS 软件和views E 软件建立数学模型，针对金融市场特性与走势并检验金融指数序列的平稳性及波动性，分析不同金融市场的风险并进行拟合与预测，并对不同金融市场的波动溢出等问题进行了检验与分析，最后给出了结论。 对于问题一，我们直接运用数据图法对纽约道琼斯指数进行分析。通过运 用SAS 软件编程得到2012年纽约道琼斯连续两百天的收盘指数时序图，得出道琼斯指数呈现循环上升下降的特性，总体呈现上升的走势。 对于问题二，我们运用GARCH 模型与自相关函数检验法对道琼斯指数进行指数序列的波动性及平稳性检验。通过建立GARCH 模型并结合views E 给出了波动性检验表，最后得出了过去的波动对未来的影响是逐渐减小的结论。运用自相关函数检验法，用SAS 程序得出道琼斯指数序列的自相关图，通过对自相关图的分析，我们得出金融时间序列存在一定的非平稳性。 对于问题三，我们运用差分法对道琼斯价格指数进行平稳化处理和白噪声 检验。我们先对先对时间序列进行一阶差分运算，然后用SAS 画出时序图，判断出经过一阶差分后的时间序列为平稳的，并且用自相关函数检验法进行检验再次验证了一阶差分后的时间序列为平稳的，即完成了平稳化处理。 对于问题四，我们建立),,(q d p ARIMA 模型通过SAS 程序对道琼斯价格指数与上证指数进行拟合，然后进行了模型的适应性检验、参数的显著性检验和残
差的白噪声检验并且都通过了，最后对两个股市指数进行了未来五个时刻的预测并且给出了区域，预测效果比较好。 对于问题五，我们运用GARCH模型通过views E对道琼斯股市和上证股市两个市场的波动是否存在波动溢出进行了分析。通过对提取的条件方差GARCH01和GARCH02进行ranger G因果检验最后得出了两个股票市场不存在明显的溢出效应的结论。 关键词：金融指数自相关函数检验差分法) p d ARIMA模型SAS (q , , G因果检验 views E GARCH模型ranger 一.问题重述 2008年全球金融危机昭示了金融市场价格波动的严重后果。金融时间序列收益率序列的波动是动态变化的，是不可知，或可知但不可测。不同金融市场的波动还存在波动溢出。 请收集不同金融市场的指标数据（如上海、深圳、新加坡、纽约等地的股市指数）进行如下建模与分析： 1、单个分析金融市场的特性与走势 2、分析与检验金融指数序列的平稳性及波动性 3、根据价格波动性，进行平稳化处理 4、分析每个市场的风险，并进行拟合和预测 5、请讨论多个不同金融市场之间的波动溢出问题 二．问题分析
应用时间序列分析试卷 一 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
应用时间序列分析（试卷一） 一、 填空题 1、拿到一个观察值序列之后，首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验，这两个重要的检验称为序列的预处理。 2、白噪声序列具有性质纯随机性和方差齐性。 3、平稳AR （p ）模型的自相关系数有两个显着的性质：一是拖尾性；二是呈负指数衰减。 4、MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内，等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外。 5、AR （1）模型的平稳域是{}11<<-φφ。AR （2）模型的平稳域是 {}11,12221<±<φφφφφ且， 二、单项选择题 1、频域分析方法与时域分析方法相比（D ） A 前者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。 B 后者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。 C 前者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。 D 后者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。 2、下列对于严平稳与宽平稳描述正确的是（D ） A 宽平稳一定不是严平稳。 B 严平稳一定是宽平稳。 C 严平稳与宽平稳可能等价。 D 对于正态随机序列，严平稳一定是宽平稳。 3、纯随机序列的说法，错误的是（B ）
A时间序列经过预处理被识别为纯随机序列。 B纯随机序列的均值为零，方差为定值。 C在统计量的Q检验中，只要Q 时，认为该序列为纯随机序列，其 中m为延迟期数。 D不同的时间序列平稳性检验，其延迟期数要求也不同。 4、关于自相关系数的性质，下列不正确的是（D） A. 规范性； B. 对称性； C. 非负定性； D. 唯一性。 5、对矩估计的评价，不正确的是（A） A. 估计精度好； B. 估计思想简单直观； C. 不需要假设总体分布； D. 计算量小（低阶模型场合）。 6、关于ARMA模型，错误的是（C） A ARMA模型的自相关系数偏相关系数都具有截尾性。 B ARMA模型是一个可逆的模型 C 一个自相关系数对应一个唯一可逆的MA模型。 D AR模型和MA模型都需要进行平稳性检验。 7、MA（q）模型序列的预测方差为下列哪项（B） A、 []2 2 , Va() , l t l q r e l l q ξ ξ θθσ θθσ ?< ? =? > ?? 22 1-1 22 1q （1++...+） （1++...+） B、 []2 2 , Va() , l t l q r e l l q ξ ξ θθσ θθσ ?≤ ? =? > ?? 22 1-1 22 1q （1++?+） （1++?+） C、 []2 q 2 , Va() , t l l q r e l l q ξ ξ θθσ θθσ ?≤ ? =? > ?? 22 1-1 22 1 （1++?+） （1++?+） D、 []2 2 , Va() , l t l q r e l l q ξ ξ θθσ θθσ ?≤ ? =? > ?? 22 1-1 22 1q-1 （1++?+） （1++?+）
Graduate School of Business,University of Chicago Business41202,Spring Quarter2008,Mr.Ruey S.Tsay Solutions to Midterm Problem A:(30pts)Answer brie?y the following questions.Each question has two points. 1.Describe two methods for choosing a time series model. Answer:Any two of(a)Information criteria such as AIC or BIC,(b)Out-of-sample forecasts,and(c)ACF and PACF of the series. 2.Describe two applications of volatility in?nance. Answer:Any two of(a)derivative(option)pricing,(b)risk management,(c)portfolio selection or asset allocation. 3.Give two applications of seasonal time series models in?nance. Answer:(a)Earnings forecasts and(b)weather-related derivative pricing or risk man-agement. 4.Describe two weaknesses of the ARCH models in modelling stock volatility. Answer:Any two of(a)symmetric response to past positive and negative shocks, (b)restrictive,(c)Not adaptive,and(d)provides no explanation about the source of volatility clustering. 5.Give two empirical characteristics of daily stock returns. Answer:any two of(a)heavy tails,(b)non-Gaussian distribution,(c)volatility clus-tering. 6.The daily simple returns of Stock A for the last week were0.02,0.01,-0.005,-0.01,and 0.025,respectively.What is the weekly log return of the stock last week?What is the weekly simple return of the stock last week?Answer:Weekly log return is0.03938; weekly simple return is0.04017. 7.Suppose the closing price of Stock B for the past three trading days were$100,$120, and$100,respectively.What is the arithmetic mean of the simple return of the stock for the past three days?What is the geometric average of the simple return of the stock for the past three days? Answer:Arithmetic mean=1 2 120?100 100 +100?120 120 =0.017.and the geometric mean is 120×100?1=0. 8.Consider the AR(1)model r t=0.02+0.8r t?1+a t,where the shock a t is normally distrib- uted with mean zero and variance1.What are the variance and lag-1autocorrelation function of r t? Answer:Var(r t)=1 1?0.82 =2.78and the lag-1ACF is0.8. 1
成都信息工程学院考试试卷 2012——2013学年第2学期 课程名称：《金融时间序列分析》 班级：金保111本01、02、03班 试卷形式：开卷□闭卷日 一、判断题（每题1分，正确的在括号内打"，错误的在括号内打x,共15分） 1?模型检验即是平稳性检验（）。 2.模型方程的检验实质就是残差序列检验（）。 3?矩法估计需要知道总体的分布（）。 4. ADF检验中：原假设序列是非平稳的（）。 5?最优模型确定准则：AIC值越小、SC值越大，说明模型越优（）。 6?对具有曲线增长趋势的序列，一阶差分可剔除曲线趋势（）。 7?严平稳序列与宽平稳时序区分主要表现在定义角度不同（）。 8?某时序具有指数曲线增长趋势时，需做对数变换，才能剔除曲线趋势（）9.时间序列平稳性判断方法中ADF检验优于序时图法和自相关图检验法（）10?时间序列的随机性分析即是长期趋势分析（）。 11 ? ARMA（ p,q ）模型是ARIMA（p,d,q）模型的特例（）。 12?若某序列的均值和方差随时间的平移而变化，则该序列是非平稳的（）。 13.MA（2）模型的3阶偏自相关系数等于0（）。 14.ARMA（p,q）模型自相关系数p阶截尾，偏自相关系数拖尾（）。 15 ? MA（q）模型平稳的充分必要条件是关于后移算子B的q阶移动自回归系数多项式根的绝 对值均在单位圆内（）。 二、填空题。（每空2分，共20分） 1? X t 满足ARMA（ 1,2 ）模型即：X t = 0.43+0.34 X t/+；t + 0.8 “ - 0.2 ；t＜，则均值 = _______________________ ，片（即一阶移动均值项系数）二 _______________________ 。
《金融时间序列分析》讲义 主讲教师：徐占东 登录：https://www.doczj.com/doc/106907899.html,徐占东《金融时间序列模型》 参考教材： 1．《金融时间序列的经济计量学模型》经济科学出版社米尔斯著2．《经济计量学手册》章节 3．《Introductory Econometrics for Finance》 Chris Brooks 剑桥大学出版社 4．《金融计量学：资产定价实证分析》周国富著北京大学出版社5．《金融市场的经济计量学》 Andrew lo等上海财经大学出版社6．《动态经济计量学》 Hendry著上海人民出版社 7．《商业和经济预测中的时间序列模型》中国人民大学出版社弗朗西斯著 8．《No Linear Econometric Modeling in Time series Analysis》剑桥大学出版社 9．《时间序列分析》汉密尔顿中国社会科学出版社10．《高等时间序列经济计量学》陆懋祖上海人民出版社11．《计量经济分析》张晓峒经济科学出版社 12．《经济周期的波动与预测方法》董文泉高铁梅著吉林大学出版社 13．《宏观计量的若干前言理论与应用》王少平著南开大学出版社14．《协整理论与波动模型——金融时间序列分析与应用》张世英、樊智著清华大学出版社 15．《协整理论与应用》马薇著南开大学出版社 16．（NBER working paper）https://www.doczj.com/doc/106907899.html,
17．（Journal of Finance）https://www.doczj.com/doc/106907899.html, 18．（中国金融学术研究网） https://www.doczj.com/doc/106907899.html, 教学目的： 1）能够掌握时间序列分析的基本方法； 2）能够应用时间序列方法解决问题。 教学安排 1单变量线性随机模型：ARMA ; ARIMA; 单位根检验。 2单变量非线性随机模型：ARCH,GARCH系列模型。 3谱分析方法。 4混沌模型。 5多变量经济计量分析：V AR模型，协整过程；误差修正模型。
金融时间序列分析 第一章绪论 第一节时间序列分析的一般问题 人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价格、债券的收益等等， 例某支股票的价格。。。 如何从这些数据中总结、发现其变化规律，如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行从这些数据中总结为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。 研究方式 数据建立模型预测 数据数据的类型。 横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横剖面数据，剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存在的内在数值联系。例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城市的温度，都是横剖面数据；研究方法：多元统计分析。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据，称为纵剖面数据，纵剖面数据，又称为动态数据。它反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。例如，南京市1980 年至2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据研究方法：时间序列分析时间序列概念时间序列概念。时间序列：简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其中每一项的取值是随机的。严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。设(, β , P ) 是一个概率空间，其中是样本空间，β 是上的σ -代数，P 是Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析上的概率测度。又设T 是一个有序指标集。概率空间(, β , P ) 上的随机变量{ X t : t ∈T } 的全体称为随机过程。随机过程。
时间序列分析试卷1 一、 填空题（每小题2分,共计2０分） 1. ARMA(p, q)模型＿_＿___＿____＿___＿＿____＿______＿___＿，其中模型参数为＿＿ ___＿___＿_＿＿_＿__＿＿＿。 2. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为____＿___＿___＿＿_＿__＿__＿＿__。 3. 设AR ＭA (２， 1)： 1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为__＿＿_＿__＿_＿_＿_＿____＿_＿＿. 4. 对于一阶自回归模型A Ｒ（1)： 110t t t X X φε-=+＋,其特征根为_________，平稳域 是___＿___＿＿__＿______＿_＿__. 5. 设ARM Ａ（2, 1）：1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-,当ａ满足_______＿_时，模型 平稳。 6. 对于一阶自回归模型ＭA(1）： 10.3t t t X εε-=-,其自相关函数为__＿____________＿__＿___. 7. 对于二阶自回归模型AR （2）： 120.50.2t t t t X X X ε--=++ 则模型所满足的Yule-Wal ｋer 方程是______________＿__＿＿_＿_。 8. 设时间序列{}t X 为来自A ＲMA （p,q)模型: 1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=++++++ 则预测方差为＿____＿___＿＿＿＿＿_＿＿＿_。 9. 对于时间序列{}t X ，如果_＿_＿＿____＿_____＿__＿,则()~t X I d 。 10. 设时间序列{}t X 为来自GARCH （p ，q ）模型，则其模型结构可写为＿______＿＿____。 二、（１0分）设时间序列{}t X 来自()2,1ARMA 过程,满足 ()()2 10.510.4t t B B X B ε-+=+,
· 《金融时间序列分析》 综合实验二 金融系金融工程专业2014 级姓名山洪国 学号20141206031048 实验地点：实训楼B305 实验日期：2017.04，21 实验题目：ARIMA模型应用 实验类型：基本操作训练 实验目的： 利用美元对欧元汇率1993年1月到2007年12月的月均价数据，进行ARIMA模型的识别、估计、检验及预测。 实验容： 1、创建Eviews文件，录入数据，对序列进行初步分析。绘制美元对欧元汇率月均价数据折线图，分析序列的基本趋势，初步判断序列的平稳性。 2、识别ARIMA（p,d,q）模型中的阶数p，d，q。运用单位根检验（ADF检验）确定单整阶数d；利用相关分析图确定自回归阶数p和移动平均阶数q。初步选择几个合适的备选模型。 3、ARIMA（p,d,q）模型的估计和检验。对备选模型进行估计和检验，并进行比较，
从中选择最优模型。 4、利用最优模型对2008年1月美元对欧元汇率的月均价进行外推预测。 评分标准：操作步骤正确，结果正确，分析符合实际，实验体会真切。 实验步骤： 1、根据所给的Excel 表格的数据，将表格的美元对欧元的汇率情况录入到EViews9中，并对所录入数据进行图形化的处理，所得到的图形结果如下图所示。（时间段：1993.01至2007.12） 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 EUR/USD 分析图形数据可得，欧元对美元的汇率波动情况较为明显，其中在1999年至2003年期间欧元和美元的比值一度在1.0以上。但近些年以来，欧元的汇率一度持续下滑，到了2007年底的时候和和美元的比值在0.7左右。
考核课程 时间序列分析（B 卷） 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟 注：B 为延迟算子，使得1-=t t Y BY ；?为差分算子，。 一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。） 1. 若零均值平稳序列{}t X ，其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性，则对{}t X 可能建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.MA(1) 2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ B ）。 A. )1(MA B.)1(AR C.)1,1(ARMA D.)2(MA 3. 考虑MA(2)模型212.09.0--+-=t t t t e e e Y ，则其MA 特征方程的根是（ C ）。 （A ）5.0,4.021==λλ （B ）5.0,4.021-=-=λλ （C ）5.2221==λλ， （D ） 5.2221=-=λλ， 4. 设有模型112111)1(----=++-t t t t t e e X X X θφφ，其中11<φ，则该模型属于（ B ）。 A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1) 5. AR(2)模型t t t t e Y Y Y +-=--215.04.0，其中64.0)(=t e Var ，则=)(t t e Y E （ B ）。 A.0 B.64.0 C. 1 6.0 D. 2.0 6.对于一阶滑动平均模型MA(1): 15.0--=t t t e e Y ，则其一阶自相关函数为( C )。 A.5.0- B. 25.0 C. 4.0- D. 8.0 7. 若零均值平稳序列{}t X ?，其样本ACF 呈现二阶截尾性，其样本PACF 呈现拖尾性，则可初步认为对{}t X 应该建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.)2,1(IMA C.)1,2(ARI D.ARIMA(2,1,2) 8. 记?为差分算子，则下列不正确的是（ C ）。 A. 12-?-?=?t t t Y Y Y B. 212 2--+-=?t t t t Y Y Y Y C. k t t t k Y Y Y --=? D. t t t t Y X Y X ?+?=+?） ( 二、填空题（每题3分，共24分）；
时间序列分析期末考试 Prepared on 22 November 2020
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 湖南大学课程考试试卷 课程名称：时间序列分析；课程编码：试卷编号： A ；考试时间：120分 题号一二三四五六七八九十总分 应得分20 20 15 15 20 10 100 实得分 评卷人 一、简答题（每小题5分，共计20分） 1、说明平稳序列建模的主要步骤。 2、ADF检验与PP检验的主要区别是什么 3、如何进行两变量的协整检验 4、简述指数平滑法的基本思想。 二、填空题（每小题2分，共计20分） 1.对平稳序列，在下列表中填上选择的的模型类别 ____年___月___日 考试用
2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显着性检验，那么检验的对象为___________，检验的原假设是___________。 3. 时间序列预处理常进行两种检验，即为_______检验和_______检验。 4. 根据下表，利用AIC 和BIC 准则评判两个模型的相对优劣，你认为______模型优 于______模型。 5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型平稳。 6. 设ARMA (2, 1)： 1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为_______________________。 7. 简单季节差分模型的模型结构为: ______________________。 8、对于时间序列{}t X ，如果___________________，则()~2t X I 。 9. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。 10. k 步差分的定义为k t X ?=___________________________。
诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2012— 2013学年第二学期期末考试试卷 《时间序列分析》 开课单位：计算学院 ；考试形式：闭卷；考试时间：2013年7月7日； 所需时间：120分钟 一．简答和计算题(本大题共9题，第1到5题每题5分，第6到9题每题7分，共53分。) 1. 写出(,,)ARIMA p d q 模型的结构。 2. 写出(,)ARMA p q 模型的传递形式和格林函数的递推式。 3. 写出(,)ARMA p q 模型的逆转形式和逆函数的递推式。 第1页共5页
4.计算模型120.5t t t t x x x ε--=--+的偏自相关系数。 5.判断模型121 0.80.5 1.1t t t t t x x x εε---=-++-的平稳性与可逆性。 6. 对于(1)AR 模型： 11()t t t x x μφμε--=-+，根据t 个历史观察值数据： ,10.1,9,6，已求 出?10μ=，1?0.3φ=，29εσ=，求： （1）之后3期的预测值及95%置信区间。 （2）假定获得新的观察值数据为110.5 t x +=，求之后2期的预测值及95%置信区间。 第2页共5页
7.已知某地区每年常住人口数量近似服从(3)MA 模型（单位：万人）： 21231000.80.60.2,25t t t t t x εεεεεσ---=+-+-= 最近3年的常住人口数量及一步预测数量如下： 年份 统计人数 预测人数 2002 104 110 2003 108 100 2004 105 109 请预测未来5年该地区常住人口的95%置信区间。 8. 使用指数平滑法得到 ?5t x =， 2? 5.26t x +=，已知序列观察值 5.25 t x =， 1 5.5 t x +=，求指数 平滑系数α。 9. 某一10期观察值序列为5.43, 6.19, 6.63, 7.18, 8.95, 10.14, 11.74, 12.60, 17.26, 21.07 （1）使用6期移动平均法预测12?x 。 （2）使用指数平滑法确定12?x ，其中平滑系数为0.4α= 第3页共5页
说明：答案请答在规定的答题纸或答题卡上，答在本试卷册上的无效。 一、填空题（本题总计25分） 1. 常用的时间序列数据，有年度数据、（ ）数据和（ ） 数据。另外，还有以（ ）、小时为时间单位计算的数据。 2. 自相关系数j ρ的取值范围为（ ）；j ρ与j -ρ之间的关系是（ ）；0ρ=（ ）。 3.判断下表中各随机过程自相关系数和偏自相关系数的截尾性，并用 2. 如果随机过程{}t ε为白噪音，则 t t Y εμ+= 的数学期望为 ；j 不等于0时，j 阶自协方差等于 ，j 阶自相关系数等于 。因此，是一个 随机过程。 1.（2分）时间序列分析中，一般考虑时间（ ）的（ ）的情形。 3. （6分）随机过程{}t y 具有平稳性的条件是： （1）（ ）和（ ）是常数，与 （ ）无关。 （2）（ ）只与（ ）有关，与 （ ）无关。 7. 白噪音的自相关系数是：
1.白噪音{}t y 的性质是：t y 的数学期望为 ，方差为 ；t y 与j -t y 之间的协方差为 。 1.（4分）移动平均法的特点是：认为历史数据中（ ）的数据对未来的数值有影响，其权数为（ ），权数之和为（ ）；但是，（ ）的数据对未来的数值没有影响。 2. 指数平滑法中常数α值的选择一般有2种： （1）根据经验判断，α一般取 。 （2）由 确定。 3. （5分）下述随机过程中，自相关系数具有拖尾性的有（ ），偏自相关系数具有拖尾性的有（ ）。 ①平稳(2) ②(1) ③平稳(1,2) ④白噪 音过程 4.（5分）下述随机过程中，具有平稳性的有（ ），不具有平稳性的有（ ）。 ①白噪音 ②t t y 1.23t+ε=+ ③随机漂移过程 ④t t t 1y 16 3.2εε-=++ ⑤t t y 2.8ε=+ 2.（3分）白噪音{}t ε的数学期望为（ ）；方差为（ ）；j 不等于0时，j 阶自协方差等于（ ）。 （2）自协方差与（ ）无关，可能与 （ ）有关。 3. （5分）下述随机过程中，自相关系数具有截尾性的有（ ），偏自相关系数具有截尾性的有（ ）。
一、单项选择题（每题2分，共20分） P61关于严平稳与（宽）平稳的关系； 弱平稳的定义：对于随机时间序列y t ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t 的变化而变化，则称y t 为弱平稳随机变量，即y t 必须满足以下条件： 对于所有时间t ，有 （i ） E （yt ）=μ为不变的常数； （ii ） Var （yt ）=σ2为不变的常数； （iii ） γj =E[y t -μ][y t-j -μ]，j=0，±1，,2，… （j 为相隔的阶数） （μ=0，cov （y t ，y t-j ）=0，Var （yt ）=σ2时为白噪音过程，常用的平稳过程。） 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与y t 和y t-j 之间的之后期数j 有关，而与时间t 没有任何关系。 严平稳过程的定义：如果对于任何j 1,，j 2，...,j k ,随机变量的集合（y t ， y t+j1,，y t+j2，…，y t+jk ）只依赖于不同期之间的间隔距离（j 1，j 2，…， j k ），而不依赖于时间t ，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳 过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。 P46 t X 的k 阶差分是；△ ｋ X t =△ ｋ-1 X t -△ ｋ-1 X t-1，△ 表示差分符 号。 滞后算子；P54对于AR ： L p y t =y t-p ，对于MA ：L ｐ εt =εt-ｐ AR （p ）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其特 征方程为：λp -α1λp-1 -α2λp-2 -…-αp =0，若所有的特征根的│λ│<1 则平稳 补充：逆特征方程为：1-α1ｚ1 -α2ｚ2-…-αp ｚp =0，若所有的逆特征根│ｚ│>1，则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。 如：p57作业3： y t =1.2y t-1-0.2y t-2+εt ，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。 MA(q )模型121.10.24t t t t X εεε--=-+，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88 所谓可逆性，就是指将MA 过程转化成对应的AR 过程 MA 可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外， 即1+θ1ｚ 1 +θ2ｚ2+…+θp ｚp =0，│ｚ│>1， 此题q 为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ2=0，
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《时间序列分析》课程考试卷 课程代码 课程序号 20 —20 学年第一学期 姓名 学号 班级 一、 填空题（每小题2分，共计20分） 1. ARMA(p, q)模型_________________________________，其中模型参数为 ____________________。 2. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为_________________________。 3. 设ARMA (2, 1)： 1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为_______________________。 4. 对于一阶自回归模型AR(1): 110t t t X X φε-=+＋，其特征根为_________，平稳域 是_______________________。 5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型 平稳。 6. 对于一阶自回归模型MA(1): 10.3t t t X εε-=-，其自相关函数为______________________。 7. 8. 对于二阶自回归模型AR(2) : 120.50.2t t t t X X X ε--=++ 则模型所满足的Yule-Walker 方程是______________________。 9. 10. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型： 1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=++++++L L …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
Lecture Notes of Bus41202(Spring2010) Analysis of Financial Time Series Ruey S.Tsay Simple AR models:(Regression with lagged variables.) Motivating example:The growth rate of U.S.quarterly real GNP from1947to1991.Recall that the model discussed before is r t=0.005+0.35r t?1+0.18r t?2?0.14r t?3+a t,?σa=0.01. This is called an AR(3)model because the growth rate r t depends on the growth rates of the past three quarters.How do we specify this model from the data?Is it adequate for the data?What are the implications of the model?These are the questions we shall address in this lecture. Another example:U.S.monthly unemployment rate. AR(1)model: 1.Form:r t=φ0+φ1r t?1+a t,whereφ0andφ1are real numbers, which are referred to as“parameters”(to be estimated from the data in an application).For example, r t=0.005+0.2r t?1+a t 2.Stationarity:necessary and su?cient condition|φ1|<1.Why? 3.Mean:E(r t)=φ0 1?φ1
内蒙古财经学院2011——2012学年第1学期 《金融时间序列分析》试卷答案 一、填空题（1分*15空=15分） 1. ，。 q -t 1-t 1t p t p 2t 21-t 1t x x x x εθεθεφφφq ---++++=-- q θθφφφ、、，、 、 1p 212. 描述性； 3. ，0,1,0； t t t x x ε+=-1 4. 平稳性检验，纯随机性检验； 5. ?p x t =(1?B)p x t ，?k x t =(1?B k )x t ；6. 宽平稳，严平稳，宽平稳； 7. 自回归 二、不定项选择题（2分*5题=10分） 1、A C 2、A B D 3、A B 4、A B CD 5、A B D 三、判断并说明理由（2题*5分=10分） 1、如果一个时间序列宽平稳，则它肯定不是严平稳；如果一个时间序列严平稳，则它一定是宽平稳。 答：说法是错误的。（1分） 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，该定义表明，一个序列的所有统计均平稳时，该序列才是平稳的。而宽平稳则是条件宽松的平稳性定义，即只要求序列的二阶矩平稳，则序列就是平稳的。由定义可知，在一般情况下，如果一个时间序列是宽平稳的，则它肯定不是严平稳的；如果一个时间序列是严平稳的，则它一定是宽平稳的。 （2分） 但两种情况各有例外，如多元正态分布，二阶矩包括所有统计性质，所以对于服从多元正态分布的序列，宽平稳也是严平稳；再比如柯西分布不存在二阶矩，因此如果一个序列服从柯西分布，且为严平稳，但却推不出其为宽平稳。确切的说应该是对于存在二阶矩的序列，严平稳才能推出宽平稳。（2分） 2、差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 答：说法是正确的。（5分） 四、简答题：（25分） 1、简述平稳序列的建模步骤（7分） 答：（1）时间序列分析的第一步是获得观察值序列，然后对这个序列进行平稳性检验，对平稳的序列进行纯随机性检验，如果是纯随机序列，分析结束；如果不是纯随机序列，选择模型拟合该序列； （2）求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF ）和样本偏自相关系数（PACF ）的值。 （3）根据平稳非纯随机序列的自相关图和偏自相关图，选择阶数适当的ARMA （p,d ）模型进行拟合； （4）利用一定的方法估计模型中的参数，即模型估计； （5）检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤（2），重新选择模型再拟合。 （6）模型优化。在通过检验的模型中选择相对最有模型，即模型优化； （7）利用相对最优模型对序列未来值进行预测。 2、答：（1）wold 分解定理：对于任何一个离散平稳过程它都可以分解为两个不相关的平稳序列之}{t x 和，其中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作 t t t V x ξ+=
成都信息工程学院考试试卷 2012——2013学年第2学期 课程名称：《金融时间序列分析》 班级：金保111本01、02、03班 一、判断题（每题1分，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×，共15分） 1．模型检验即是平稳性检验（ ）。 2．模型方程的检验实质就是残差序列检验（ ）。 3．矩法估计需要知道总体的分布（ ）。 4．ADF 检验中：原假设序列是非平稳的（ ）。 5．最优模型确定准则：AIC 值越小、SC 值越大，说明模型越优（ ）。 6．对具有曲线增长趋势的序列，一阶差分可剔除曲线趋势（ ）。 7．严平稳序列与宽平稳时序区分主要表现在定义角度不同（ ）。 8．某时序具有指数曲线增长趋势时，需做对数变换，才能剔除曲线趋势（ ）。 9．时间序列平稳性判断方法中 ADF 检验优于序时图法和自相关图检验法（ ）。 10．时间序列的随机性分析即是长期趋势分析（ ）。 11．ARMA （p,q ）模型是ARIMA(p,d,q)模型的特例（ ）。 12．若某序列的均值和方差随时间的平移而变化，则该序列是非平稳的（ ）。 13. MA(2)模型的3阶偏自相关系数等于0（ ）。 14．ARMA(p,q)模型自相关系数p 阶截尾，偏自相关系数拖尾（ ）。 15．MA(q)模型平稳的充分必要条件是关于后移算子B 的q 阶移动自回归系数多项式根的绝对值均在单位圆内（ ）。 二、填空题。（每空2分，共20分） 1．t X 满足ARMA （1,2）模型即：t X ＝0.43+0.341-t X +t ε＋0.81-t ε–0.22-t ε，则均值＝ ，1θ（即一阶移动均值项系数）＝ 。 2．设｛x t ｝为一时间序列，B 为延迟算子，则B 2 X t = 。 3．在序列y 的view 数据窗，选择 功能键，可对序列y 做ADF 检验。
时间序列分析期末考 试
谢谢2 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 湖南大学课程考试试卷 课程名称： 时间序列分析 ；课程编码： 试卷编号： A ；考试时间：120分 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 应得分 20 20 15 15 20 10 100 实得分 评卷人 一、 简答题（每小题5分，共计20分） 1、 说明平稳序列建模的主要步骤。 2、 ADF 检验与PP 检验的主要区别是什么？ 3、 如何进行两变量的协整检验？ 4、 简述指数平滑法的基本思想。 二、 填空题（每小题2分，共计20分） 1. 对平稳序列，在下列表中填上选择的的模型类别 ____年___月___日 考 试 用
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显著性检验，那么检验的对象 为___________，检验的原假设是___________。 3. 时间序列预处理常进行两种检验，即为_______检验和_______检验。 4. 根据下表，利用AIC 和BIC 准则评判两个模型的相对优劣，你认为 ______模型优 于______模型。 5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型平稳。 6. 设ARMA (2, 1)： 1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为_______________________。 7. 简单季节差分模型的模型结构为: ______________________。 8、对于时间序列{}t X ，如果___________________，则()~2t X I 。 9. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。 10. k 步差分的定义为k t X ?=___________________________。