高考数列专题汇总
1．[2014·北京卷]已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和．
2．[2014·福建卷] 在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求a n；
(2)设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.
3．[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝
n 2＋n
2
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
4.[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.
(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
5.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程
x 2－5x ＋6＝0的根．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列??????
???
?a n 2n 的前n 项和．
6．（2013年高考大纲卷文）等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == (I)求{}n a 的通项公式; (II)设{}1
,.n n n n
b b n S na =求数列的前项和
7.（2013年高考四川卷文）在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
8．（2013年高考江西卷文）正项数列{a n }满足2(21)20n n a n a n ---=. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)令1
(1)n n
b n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .
9.（2012高考全国文）已知数列{}n a 中， 11a =，前n 项和2
3
n n n S a +=
。 （Ⅰ）求2a ，3a ； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式。
10.（2012高考广东文）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N . （1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，
第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q)； (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解； (2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”.
1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( ) A.12×37－16 B ．310 C.318 D ．320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4＝a 23＝9.设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝3a 3 q ＋a 3q ，整理得q 2－4q ＋3＝0，由公比 不为1，解得q ＝3.所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝(a 81q 16 )·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝a 83· q 12＝94×312＝320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5 ＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一：由S 9＝27?9(a 1＋a 9) 2＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6 且a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2d ＝16. 解法二：同解法一得a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 2 3＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2 d ＝16.
高中数学《数列》复习知识点 一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90 C ．72 D ．24 【答案】B 【解析】 由于152436a a a a +=+=，所以1555()536 9022 a a S +?= ==，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点． 2．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ． 3 4 B ． 23 C ． 12 D ． 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】 ∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2 S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551 2 S S S -=-， ∴()151010551 1 24 S S S S S -=--=， ∴15510513 44 S S S S =+=， ∴1553:4 S S =． 故选A ． 【点睛】 在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
【高中数学】数学《数列》复习知识点 一、选择题 1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ?==，则数列{} (1)n n a -的前40 项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式 作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{} (1)n n a -，两两组 合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362 a a S += = ， ∴134a a +=，① ∵3422128a a ?=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-， ∴{} (1)n n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++???+-+==， 故选：B . 【点睛】 本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题 2．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,, (2222222222) n n n ，则该数列第2019项是（ ） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 【答案】C 【解析】 【分析】
高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
新数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21 C ．63- D ．21 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得 21112163S a ==-. 【详解】 ∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】 此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和. 2．在递减等差数列{}n a 中，2132 4a a a =-．若113a =，则数列1 1 { }n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ． 24143 B ． 1143 C ． 2413 D ． 613 【答案】D 【解析】 设公差为,0d d < ，所以由2 1324a a a =-，113a =，得 213(132)(13)42d d d +=+-?=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为 111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +?? ???? 的前n 项和等于 1111116 ()()213213213261313 n --≤--=-?- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中 间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +?? ???? (其中{}n a 是各项均不为零的等差数 列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类
1.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12 n a a 为递减数列，则（ ）. A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = . 2.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 3.（2014 广东理 13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5 10119122e a a a a +=， 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 5.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.
. .页脚. 绝密★启用前 2012-2013学年度???学校3月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 【答案】B 【解析】由等差数列的性质知，1104816a a a a +=+=，故选B 考点定位：本题是等差数列问题，意在考查学生对于等差数列的性质:若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+的运用能力 2．计算2 3 201012222+++++的结果是（ ） A ．2011 2 1- B ．2011 2 1+ C ．20111(21)2- D ．20111 (21)2 + 【答案】A 【解析】本题考查等比数列的前n 项和及基本运算. 数列2 3 2010 1,2,2,2,2???是首项为1,公比为2的等比数列，2010 2 是该数列的第2011项， 所以 2010 2 + +=故选A 3．在函数)(x f y =的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是 等比数 列，则函数)(x f y =的解析式可能为 A ．12)(+=x x f B ．2 4)(x x f = C ．x x f 3log )(= D ．x x f ?? ? ??=43)(
【答案】D 【解析】对于函数f (x )＝? ????34x 上的点列(x n ，y n )，有n x n y ?? ? ??=43，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此 d x x x x n n n n n n y y ??? ??=??? ??=?? ? ????? ??=-+++4343434311 1，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D. 4．已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则n a n 的最小值为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】B 【解析】略 5．设0,0.a b >>若11 333a b a b +是与的等比中项，则的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 14 【答案】B 【解析】略 6．在等差数列}{n a 中，48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列}{n a 的前13项的和为（ ） A 、24 B 、39 C 、52 D 、104 【答案】C 【解析】略 7．数列815241,,,,579 -- 的一个通项公式是（ ） A 、2(1)21n n n -+ B 、(2)(1)1n n n n +-+ C 、2 (2)1(1)2(1)n n n +--+ D 、(2)(1)21 n n n n +-+ 【答案】D 【解析】略 8．（满分6分）设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]2.52=，[]2.53-=-， 令{}[]x x x =-，则512???????，512?+? ?? ，512，三个数构成的数列（ ） A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】略 9．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 【答案】B
题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .
【最新】数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ?=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2 12 4 n -- B ．1 12 2 n -- C ．21n - D ．122n +- 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】 由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ?=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ?=，3510a a +=， 所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q > 可得214128 a q a q ?=?=?，解得11,22a q ==， 所以数列{}n a 的前n 项和 11(12) 122122 n n n S --==- -. 故选：B . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力. 2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数 列，则4 2 S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13 【答案】C 【解析】 【分析】 设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2 60,0q q q --=>，解得q ，
08高考数学理科数列训练题 1.某数列{}n a 的前四项为 ①1(1)2n n a ??=+-?? ② n a = ③0 n a =?? )(n n 为奇数为偶数）（ 其中可作为{}n a 的通项公式的是（） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 2.设函数()f x 满足()()212 f n n f n ++= ()n N *∈，且()12f =，则()20f =（） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 3.已知数列中{}n a ，11a =，()111n n n n a a a --=+- ()2,n n N *≥∈，则35a a 的值是（） A ．1516 B ．158 C ．34 D ．38 4.已知数列{}n a 的首项11a =，且121n n a a -=+ (2)n ≥，则5a 为（） A ．7 B ．15 C ．30 D ．31 5．已知数列{}n a 是等差数列，且31150a a +=，又413a =，则2a 等于（ ） A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 6.若lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，则（ ） A ．2a c b += B ．()1lg lg 2 b a b =+ C ．a 、 b 、 c 成等差数列 D ．a 、 b 、 c 成等比数列 7．38，524-，748，980- … 一个通项公式是____ 8．已知{}n a 是递增数列，且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范 围是____ 9．设等差数列{}n a 的公差为2-，且1479750a a a a +++???+=，则36999a a a a +++???+=______． 10．等比数列中{}n a ，公比1q ≠±，200100S =，则 4020 1S q =+______．
【高中数学】高中数学《数列》期末考知识点 一、选择题 1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16， 得810 2 16a q a = =，得q 2＝2. ∴4 624a a q ==，即a 6＝b 6＝4， 又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116 1111442 b b S b +?= ==. 故选：C. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题. 2．已知数列{}n a 的通项公式是2 21sin 2n n a n π+?? = ??? ，则12312a a a a +++???+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．78 【答案】D 【解析】 【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+?? ??? 的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】 解：由题意得，当n 为奇数时， 213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+????? ?=+=+==- ? ? ?????? ?，
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当 时，，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但 ，即
，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数 列.已知，，，. （I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s 高中数学《数列》期末考知识点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =， 所以73 173a a d -= =-，1320a a d =-=， 故1777() 212 a a S += = 故选：B 【点睛】 （2019全国1理）9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ） A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案： A 解析： 依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?，可得13 2a d =-??=?，25n a n =-，24n S n n =-. （2019全国1理）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113 a =，2 46a a =，则5S = . 答案： 5S = 121 3 解答： ∵113 a = ，2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案： （1）见解析 （2）21)21(-+=n a n n ，2 1)21(+-=n b n n . 解析： (1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a += +++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ， 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①； 一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 2．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 3．已知数列{}n a 满足: 12a =，11 1n n a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007 B ．1008 C ．1009.5 D ．1010 4．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 5．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a ，若( )12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 7．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．设函数()m f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n * ????∈?????? 的前n 项 和是（ ） A ． 1 n n + B ． 21 n n + C ． 21 n n - D ． () 21n n + 【答案】B 【解析】 【分析】 函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可 求出m ，a ，利用裂项相消法求出()() 2N n f n * ????∈?????? 的前n 项和即可． 【详解】 Q 1()21m f x mx a x -'=+=+， 1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+， 11 2()()(1)221 f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111 n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用． 2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列 {}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．1,3? ?-∞- ??? C ．1,3??-+∞ ??? D ．()3,-+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1 21 n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】 ∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. 1. 设数列{a n }的前n 项和S n =na ＋n （n-1）b （n=1、2，…）a 、b 是常数，且b ≠0． （1）证明{a n }是等差数列． （2）证明以（a n ， Sn n -1）为坐标的点P n 都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。 (1)略；(2)x-2y ＋a-2=0. 2.设f(n)=1+ 12131 +++Λn ，是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)…＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n ≥2的一切自然数都对立，并证明你的结论。 答：g(n)=n 3.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试 证：这n 条弦将圆面分割成1+n 2 1 +n 21= )n (f 2个区域。 答：n=k+1时，第k+1条弦被前k 条弦分成k+1段，∴增加了k+1个区域，故共有 223211)(2++=++k k k k f 个区域。此时，22 3 21)1(2++=+k k k f . 4. 已知数列{a n }满足条件：a 1=1，a 2=r ，(r>0)且{a n a n+1}是公比为q(q>0)的等比数列，设b n =a 2n-1＋a 2n (n=1，2，…)， (1)求出使不等式a n a n+1＋a n+1a n+2>a n+2a n+3(n ∈N)成立的q 的取值范围； (2)求b n 和lim n n S →∞1 ，其中S n =b 1＋b 2＋…＋b n ； (3)设r=2 19.2 -1，q= 1 2，求数列{n 21+n 2b log b log }的最大项与最小项的值。 答：(1)(0， 15 2 +)； (2)b n =(1＋r)q n-1 ，lim n n S →∞1?110101-+<<≥?????q r q q ()() ； (3)当n=20时，最小项为-4，当n=21时，最大项为2.25 5. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0. (Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 解： (Ⅰ)依题意,有 02 ) 112(1212112>?-?+ =d a S 回扣4 数 列 1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列(其中n ∈N *) 等差数列 等比数列 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n － 1(q ≠0) 前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d ①q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ； ②q ＝1，S n ＝na 1 2.活用定理与结论 (1)等差、等比数列{a n }的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列 ④若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ⑤a n ＝a m ·q n － m ； ⑥S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S m ≠0) (2)判断等差数列的常用方法 ①定义法 a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)?{a n }是等差数列； ②通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)?{a n }是等差数列； ③中项公式法 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)?{a n }是等差数列； ④前n 项和公式法 S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)?{a n }是等差数列. (3)判断等比数列的常用方法 ①定义法 a n ＋1 a n ＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列； 【最新】数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．平面向量a →与b → 的夹角为π3 ，()2,0a → =，1b →=，则2a b →→-=（ ） A ．B C ．0 D ．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】 ()2,0a → =Q ， ||2a → ∴= 2 2 222(2)||4||444421cos 43 a b a b a b a b π → →→ → ∴-=-=+-?=+-???=r r r r ， |2|2a b ∴-=r r ， 故选：D 【点睛】 本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题. 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ） A ．,,M N P 三点共线 B ．,,M N Q 三点共线 C ．,,N P Q 三点共线 D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以() 2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r , 因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量, 又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B 【点睛】高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编及答案
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