圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）
A ．20
m A
B ．21
m A
C ．20
20+m A
D ．21
20+m A
2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 15
3．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种
4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．122
6. 在(a-b)99
的展开式中，系数最小的项为( )
A.T 49
B.T 50
C.T 51
D.T 52 7. 数11100
-1的末尾连续为零的个数是( )
A.0
B.3
C.5
D.7
8. 若4
25225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）
A ．4
B ．7
C ．4或7
D ．不存在
9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．3
4C
B ．3
718C C
C ．3
71
8C C -6
D ． 124
8-C
10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些
取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则n
m
等于（ ） A ．
10
1
B ．
51 C ．10
3 D ．
5
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．
则
T
12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．
13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.
14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．
三、解答题（共计76分）
15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?
（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?
m
12
n
中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项?
17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？
18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。（2）之后，按确定程序进行淘汰赛（即每两队赛一场，输者被淘汰），由16强决
少场呢？
19．（15分）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ （1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； （2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；
（2）一人得一本，一人得二本，一人得三本； （3）平均分给甲、乙、丙三人；
（4）平均分成三堆． 20．（14分）某班有男、女学生各n 人，现在按照男生至少一人，女生至多n 人选法，将选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有)12(2 n
n
种.
高中数学选修2-3计数原理测试题参考答案
11.32 ( S:82 ,T:38C ,7
32
=T S )
12．84 (84)68(6)(2
22422331424
=+?=+C C A C C C ) 13． －102
14． 201(将最高的3人放在后排，其余3人放在前排，有3
333A A ?；则2016
6
3
333=?A A A ) 三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分)解：（1）条3112426=+-C C ；（解法2 ：11
514
25++C C C ＝31） （2）803439=-C C ( 解法2:3515242514C C C C C ++=80)
(3)不共线的五点可连得25A 条射线，共线的四点中，外侧两点各可得到1条射线，内部两点各可得到2条射线；而在不共线的五点中取一点，共线的四点中
取一点而形成的射线有221514A C C 条． 故共有：66221222151425=+?+?+A C C A 条射线．
（4）任意两点之间，可有方向相反的2个 向量各不相等，则可得到7229=A 个向量． 16．(11分) 解：(1)T r+1＝C 12
r
a 12-r x 12m-mr
b r x nr ＝C 12
r
a 12-r
b r x 12m-mr+nr .
令???=+=+-02012n m nr mr m ∴r ＝4 系数最大项为第5项
17．(12分) 解：（l ）把7个数字进行全排列，可有7
7
A 种情况，所以符合
题意有5040
77=A 个．
（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有7203355=A A 个．
（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有
2882
23344=A A A 个．
（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有14403
54
4=A A 个．
18．(12分) 32支球队分成8组，每组4支球队，进行单循环赛，每组取前二名，
一共应进行8×2
4C =48,16强队按程序进行淘汰赛决出前八名，应进行8场比赛，
19．（15分）
（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有1
6C 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有2
5C 种取法，再后从余下三本取三本作为
一堆，有33C 种取法，故共有分法16C 25C 3
3C =60种．
（2）由（1）知．分成三堆的方法有16C 25C 3
3C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为16C 25C 3
3C =60 种． （3）由（1）知，分成三堆的方法有16C 25C 3
3C 种，但每一种分组方法又有
33P 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有
16C 25C 33C 33P =360（种）．
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有222426C C C =90种方法．
（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有X 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33X A ?种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人
2本的方法有222426C C C 种．
所以32223
6
4
2
X A C C C ?= ，则222642
3
3
15C C C X A == （种） 20．(14分) 证：依题意，这些小组中女生人数分别是C n 0，C n 1,C n 2,…,C n n
个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有C n 1,C n 2,…,C n n 个，根据乘法
原理和加法原理可得C n 0C n 1+C n 0C n 2+…+C n 0C n n +C n 1C n 1+…+C n 1C n 2+C n 2C n 1+C n 2C n 2
+…
+C n 2C n n +…C n n C n 1+C n n C n 2+…+C n n C n n ＝C n 0(C n 1+C n 2+…+C n n )+C n 1(C n 1+C n 2+…+C n n )+C n 2(C n 1+C n 2+…+C n n )+…+C n n (C n 1+C n 2+…+C n n )＝(C n 1+C n 2+…+C n n )(C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n )＝(2n -1)2n
∴ 依题意所编成的小组共有2n (2n -1)个.