P46:
第一章习题:
1.验证(),()d m 满足距离定义。
解:设{}i x ξ=,{}i y η=属于X ,α是数,()1
,sup .j j j d x y ξη≥=-
(1)对j ?,有0j j ξη-≥,所以1
sup j j j ξη≥-,(),0d x y ≥,
且1
sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=?
-=?=,即(),0d x y =当且仅当.x y =
(2) ()()1
1
,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=;
(3)设{}i z ζ=
()()1
1
1
1
,sup sup ()()sup sup ,(,)
j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1),(2),(3),(),d 满足距离定义。
3.试证明:在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证:设{}()(),1,2,
n n j
x s n ξ=
∈=,{}()(0)0j
x s ξ=
∈,
()?若0n x x →,则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞
==,
否则,j N +
?∈,00ε>,与正整数列的子序列{}1k k n ∞
=,使()(0)
0,1,2,
k n j j k ξξε-≥=,
因为()1t
f t t
=
+是单调递增, 所以()
()(0)0
0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j
n j j
d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-,
这与()
0,0k n d x x →矛盾, 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==,则对j ?,0ε?>,0N N +
?∈,0n N ?>,
()(0)2
n j j
ε
ξξ-<,
()()
(0)
0()(0)
1111,,1,2,22
11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε
εξξ∞
∞==-=?=++-∑∑,
由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。
4.证明:空间()c 是可分的。 证:令0s 表示所有形如12{,,
,,,,}m m m r r r r r 的元素的集合,m 为任意正整数,
(1,2,)j r j m =是任意的有理数,所以0s 可数。
故要证0s 在收敛序列空间()c 内是稠密,只需证明()x c ?∈,0s ?中序列{}1k k x ∞
=使
(,)0k d x x →。
对()x c ?∈,x 为收敛序列, 所以对0ε?>,m ?∈,,i j m ≥时,有.3
i j ε
ξξ-<
当j m <时,构造{}
()1
k j k r ∞
=使0ε?>,0K ?∈
,0k K ?>时有()
3
k j j r ε
ξ-<
,
令{
}()()()()12,,
,,,
k k k k k m m x r r r r =,则对0ε?>,,m k ?∈
,0k K ?>恒有
()()()111(,)sup max sup ,sup k k k k j j j j j j
j j m
j m d x x r r r ξξξ≥≤≤≥+?
?=-=--???? ()
1
max ,sup ()3
k m m m j j m r ε
ξξξ≥+??≤-+-????
max ,
333εεεε??
≤+??
? 所以0s 在()c 中稠密,即()c 可分。
9.证明:(1)p
l p ≤<∞是完备的距离空间。 证:设()
()()
12(,,)n n n x
x x =是p l 中的Cauchy 序列,则对任意0ε>,存在0N >,使得当
,m n N >时,
()()
()()
1
.p
p m n m n p i i p
i x x x x ε∞
=-=-<∑
(1)
于是对每个固定的i ,,m n N >时,
()()()()
.m n m n i i p
x x x x ε-≤-<
这表明对每个固定的i ,{}
()
1
n i
n x ≥是Cauchy 数列。因此{}
()n i x 收敛。设当n →∞时
()(1,2,).n i i x x n →=
令12(,,
).x x x =下面证明p x l ∈并且().n x x →由(1)式知道,对任意1k ≥,当,mn N
>时,
()()
1.k
p
m n p i i i x x ε=-<∑
在上式中固定n N >时,先令m →∞,再令k →∞,得到
()
1
.p
n p i i i x x ε∞
=-≤∑
(2)
这表明()
.n p x x
l -∈由于p l 是线性空间,故()().n n p x x x x l =-+∈而且式(2)还表明,当
n N >时
()
.n p
x x ε-≤
因此()
().n x x n →→∞故(1)p l p ≤<∞是完备的。
26.设T 是从赋范线性空间1
,
X 到赋范线性空间2
,
Y 的有界线性算子,证明
11221
1
sup sup x x T Tx Tx =≤==
证明:由
2
00
1
112
2
1
1sup
sup sup x x x Tx
T Tx T x x x x ≠≠≠??
===
? ???, 得
1112
2
221
1
1,0
1
1
sup sup sup
sup
x x x x x Tx
Tx
T Tx Tx T x x =≤≤≠≠≤≤≤≤=,
故式中“≤”均可改为等号,命题得证。
27.设T 是Banach 空间X 上有界线性算子,如果存在X 上有界线性算子S ,使
TS ST I ==, 则T 是有界可逆的,而且1
.T
S -=
反之,如果T 是有界可逆的,则
11.TT T T I --==
这里I 是X 上恒等算子,即
,.Ix x x X =?∈
证:(1) 记{}
()|,R T y x X y Tx =?∈=使,则T 是从X 到()R T 的满射,
若12,x x X ?∈,使12Tx Tx y ==,则由ST I =可得111222,.STx Ix x STx Ix x ==== 所以12x x =,所以T 是从X 到()R T 得单射, 可定义从()R T 到X 中的算子:1
T y x -=,当.y Tx = 则由Sy I =可得Sy STx Ix x ===,所以1
T S -=,又S 是有界线性算子。
所以T 是有界可逆的。
(2) 若T 是有界可逆的,则T 既是单射又是满射,且1
T -是有界线性算子。
对x X ?∈,()y R T ?∈,使T x y =且1
T y x -=,则1
1
T y T Tx x --==,所以1
T T I -=, 又1
T Ty Tx y -==,所以1
TT I -=,即11.TT T T I --==
28.设X 是距离空间,:T X X →是映射。如果T 是压缩的,求证:对任意自然数n ,n
T 也是压缩的。如果对某个自然数1n >,n
T 是压缩映射,T 也一定是压缩映射吗? 证:(1) 因为T 是压缩映射,所以(0,1)α?∈,使得
(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤,从而
222(,)(,)(,)T x T y Tx Ty x y ραραρ≤≤。
假定(,)(,)n
n
n
T x T y x y ραρ≤成立,则有
111(,)(,)(,)(,)n n n n n n T x T y T x T y x y x y ραρααραρ+++≤≤=。
于是根据数学归纳法原理,(,)(,)n
n
n
T x T y x y ραρ≤对n ?∈成立。
又010 1.n
ααα<<≤<故有
(,)(,)n n T x T y x y ραρ≤。即n T 是压缩映射。
(2) 逆命题不一定成立。例如:
()[0,1].f x =
→ 2():[0,1][0,1]2
x
f x =
→是压缩映射,但是
()[0,1]f x =
→不是压缩映射。
第二章习题:
9.设M 是Hilbert 空间H 的一个线性流行。证明: (1) M ⊥
是H 的子空间;
(2)
=M M ⊥⊥
(); (3) 如果1M 也是H 的线性流行,使1M M ?,则1M M ⊥⊥
?。
证:(1) 如果,x y M ⊥
∈,,αβ是任意两个数,则对每个z M ∈,我们有
(,)(,)(,)000x y z x z y z αβαβαβ+=+=+=,
从而x y M αβ⊥
+∈,因此M ⊥
是H 的子空间。
(2) ()x M ⊥?∈,对y M M ?∈?有(,)0x y =,
x M ⊥
?∈ M M ⊥
⊥
?
?(); 下证
M M ⊥
⊥
?() 对⊥∈?M x ,M x ⊥,故M x ⊥,所以⊥∈)(M x ,因此⊥⊥?)(M M ,
故有⊥⊥=)(M M 。
(3)
111x M x M M M x M x M ⊥⊥∈?⊥??⊥?∈且,
1M M ⊥⊥∴?。
10.试证明H *按如下范数:1
sup ()x f f x ≤=,当f H *
∈是完备的赋范线性空间。
证:H *
表示Hilbert 空间H 上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。
因为f H *
∈,所以
1
sup ()0x f f x ≤=≥,0f =当且仅当()0f x =;
1
1
sup ()sup ()x x f f x f x f αααα≤≤===;
1
1
1
sup ()()sup ()sup ()x x x f g f x g x f x g x f g ≤≤≤+=+≤+=+
故,H *
为赋范线性空间。 下证H *
是完备的:
设{}1n n f ∞
=是H *中的Cauchy 序列,则对0ε?>,?正整数N 使当,n m N ≥时有
n m f f ε-≤ 即 1
s u p ()()n m x f x f x ε≤-<
因为y H ?∈,有()()n m y y
f f y y
ε-<,则()()n m f y f y y ε-<, 故{}1()n n f y ∞
=收敛。
设lim ()()n n f x f x →∞
=,则上式中令m →∞可得
1
sup ()()n x f x f x ε≤-≤ 当n N ≥
所以,{}1()n n f x ∞
=一致收敛到()f x ,而()f x 也是连续函数,
则,n m f f ε-≤,即n f f →且f H *
∈,
故H *
事完备的。
综上,H *是完备的赋范线性空间。
11.证明:对任意的x H ∈,
1
sup (,).y x x y ≤=
证:如果0x =,结论显然成立。因此考虑0x ≠的情形。如果1y ≤,则Cauchy-Schwarz 不等式表明(,).x y x y x ≤?≤因此,我们有
1
sup (,).y x y x ≤≤
至于相反的不等式,令/z x x =,则1z =,因此
1
sup (,)(,)(,/)(,)/.y x y x z x x x x x x x ≤≥===
因此,1
sup (,)y x x y ≤=,且上确界实际上是最大值。
12.验证定理3.3中的A 是H 上有界线性算子。 证明:(,)(,)(,)x y z x z y z ?αβα?β?+=+
(,)(,)Ax z Ay z αβ=+ (,)(,)Ax z Ay z αβ=+ ((),)A x y z αβ=+
()A x y Ax Ay αβαβ∴+=+ ∴A 是线性算子。
(,)
x y ?是有界的,则(,)(,)x y Ax y C x y ?=≤, 且(,)Ax y Ax y ≤ 又
C 是任意的
C ∴?使(,)(,)x y Ax y Ax y C x y ?=≤≤ A x C x ∴≤
A ∴是有界的。
综上,A 是H 上有界线性算子。
第三章习题:
1.设无穷矩阵()
,1
ij
i j a ∞=满足
1
sup().ij i
j a ∞
=<∞∑
由它定义的线性算子:T y Tx =为
1
,1,2,
,i ij j j a i ηξ∞
===∑
其中{}{}12,,,n n x ξξξξ==,{}{}12,,
,,
.n n y ηηηη==
试证明T 是从()m 到自身的有界线性算子,且
1
sup().ij i
j T a ∞
==∑
证:设{}()1n n x m ξ∞==∈,{}1n n y η∞
==,y Tx =,1
i ij j
j a ηξ
∞
==
∑,
则1
1
1
sup()i ij j
ij j ij x i
j j j a a a k ηξ
ξ∞
∞
∞
====
≤≤?<∞∑∑∑,其中x k 满足,1,2,
j x k j ξ≤=,所
以().y m ∈
对()12,x x m ?∈,,αβ?∈
,{
}
()()
()121
21
n n n x x m αβαξβξ∞=+=+∈,
所以{}121()i i y T x x αβη∞
==+=,其中()()()1
21
,1,2,
i i i ij j a i ηαξ
βξ∞
==
+=∑,
因为()()()()()12
1
21
1
1
i i i i i ij
ij ij ij j j j a a a a ηαξ
βξαξ
βξ∞
∞
∞
====
+=+∑∑∑,
所以1212()T x x Tx Tx αβαβ+=+。
1
1
1
1
sup sup sup sup sup i ij j ij j ij x i
i
i
i
j j j T Tx a a a ηξξ∞∞∞
=======≤≤<∞∑∑∑
又1
1
sup sup x x T Tx Tx ≤==≥,
取{}
(0)01
i i y η
∞
==,存在{}
(0)011j j x ξ
∞
===,使
(0)(0)1
1
i
ij j
ij j j a a η
ξ
∞
∞
===
=∑∑,且01x =,
所以01
sup(
)ij
i
j T y a
∞
=≥=∑,综上所述,原命题得证。
5.设X 是Banach 空间,,()A B L x ∈,若,A B 有界可逆,则AB 有界可逆,()1
11.AB B A ---=
证:因为,A B 有界可逆,即12,c c ?∈
,对x X ?∈,有1Ax c x ≤,2Bx c x ≤,
所以112()()AB x A Bx c Bx c c x =≤≤,所以AB 有界, 又1
1
1
1
()()B A AB B A A B I ----?==,1
1
1
1
()()AB B A A BB A I ----?==,
所以AB 可逆,且()1
11.AB B A ---=
19.试证明:Banach 空间X 是自反的当且仅当*
X 是自反的。 证:假设*X 自反的。如果**X X =,则存在某个非零的***
F X
∈使得()0F x =,.x X ∈由
于*
X 是自反的,存在非零**x X ∈使得*
()()F f f x =,**.f X ∈特别地,
**?()()()0x x x
x F x === 对所有x X ∈成立,于是*
0x =,矛盾。因此,X 必然是自反的Banach 空间。
25.设1
{}
[,],[,].n n x C a b x C a b ∞
=?∈证明:如果w
n x x →,则1{}n n x ∞=逐点收敛于x ,即任给
[,]t a b ∈,都有lim ()().n n x t x t →∞
=
证:因为w
n x x →,则()
{}n x 有界。对每个[,]t a b ∈,令()()([,])t f x x t x C a b =∈,则
*
[,].t f C a b ∈因此
lim ()lim ()()().n t n t n n x t f x f x x t →∞
→∞
===
27.设M 是赋范线性空间X 的子空间,1
{}
n n x M ∞=?,0w
n x x →,则0.x M ∈
证:假设0x M ?,即0\x x M ∈,则存在0f x '∈,有
(1) 0()0f x =,当.x M ∈ (2) 00()1f x =;
(3) 01
f d
=
,0(,)d dist x M =。 因为0w
n x x →,即对f x '?∈,有0lim ()().n n f x f x →∞
=
又因为1{}n n x M ∞
=?,所以()0,1,2,
n f x n ==,
这与0lim ()()1n n f x f x →∞
==矛盾,所以0x M ∈。
28.假设X ,Y 都是赋范线性空间,{0}.X ≠试证明:如果(,)L X Y 是Banach 空间,则Y 必是Banach 空间。
证:设{}n y 是Y 中的Cauchy 序列。选择某个不等于零的*
f X ∈,然后考虑(,)L X Y 中的算子列{}n T ,其中()().n n T x f x y =不等式
()()()()
n m n m n m T x T x f x y y f y y x -=-≤?-?
表明n m n m T T f y y -≤?-,于是{}n T 是(,)L X Y 中的Cauchy 序列。由(,)L X Y 的完备性,存在某个(,)T L X Y ∈,使得lim .n T T =现在,选取e X ∈,使得()1f e =,且注意到
lim ()lim ().n n n x T e y T e →∞
→∞
==
泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立(). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B .1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:(). A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ,则有1 1p q +的值为(). A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l 的共轭空间是()。 4、设X 按内积空间
当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子,则T 为自伴算子的充要条件是()。 三、判断题(每个3分,共15分) 1、设X 是线性赋范空间,X 中的单位球是列紧集,则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则,范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间,T 是T 有逆算子。() 四、计算题(10分) 叙述1l 空间的定义,并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间,M 是X '中的有界集,证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间,M 为H 的子集,证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、|
泛函分析答案: 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的 λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iff x=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞ n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2(a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2(a,b ), 2|()|b a f t dt ? <∞。 当 L 2(a,b )中内积的定义为(f,g )= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2(a,b ))时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用,一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间,集合D ?X , 若对D 中的每一个x ,均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应,则说这种对应关系确定
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一.空间 (1)距离空间 (集合+距离)!验证距离的三个条件:称为是距离空间,如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】; x y =(ii) 【对称性】; (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表:空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 (2)赋范线性空间 (线性空间 + 范数) !验证范数的三个条件:称为是赋范线性空间,如果 (,||||)X ?是数域(或)上的线性空间,对于和 X K =?K =£a K ∈,成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =; (ii) 【齐次性】; ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表:空间()、空间(n ?1,2,3,n =L n £) 、空间()、空间(1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b )、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间(范数是由内积导出的范数)。 (3)内积空间 (线性空间 + 内积) !验证内积的四个条件:称为是内积空间,如果 (,(,))X ??是数域(或)上的线性空间,对于和 X K =?K =£a K ∈,成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】; (ii) 【第一变元可加性】; (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】; (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表:空间()、空间(n ?1,2,3,n =L n £) 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中,,当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→; k →∞赋范线性空间中,,当;|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析答案: 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iffx=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 (a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2 (a,b ),2|()|b a f t dt ?<∞。
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念,内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是,这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集(即定义),为此,首先讨论了外测度的性质(定理). 注意到外测度仅满足次可列可加(而非可列可加)性,这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度,该测度自然应该等于这个集合的外测度,即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来,因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中,最基本的是测度满足在空集上取值为零,非负,可列可加这三条性质. 由此出发,可以导出测度具有的一系列其它性质,如有限可加,单调,次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集,勒贝格可测集类,勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质,才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中,我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理,其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道:任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?,* m E 都存在。(√ ) 2、对任意n E R ?,mE 都存在。(× ) 3、设n E R ?,则* m E 可能小于零。(× ) 4、设A B ?,则** m A m B ≤。(√ ) 5、设A B ?,则** m A m B <。(× ) 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。(× ) 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。(√ ) 8、设E 为n R 中的可数集,则* 0m E =。(√ ) 9、设Q 为有理数集,则* 0m Q =。(√ ) 10、设I 为n R 中的区间,则* m I mI I ==。(√ ) 11、设I 为n R 中的无穷区间,则* m I =+∞。(√ ) 12、设E 为n R 中的有界集,则*m E <+∞。(√ ) 13、设E 为n R 中的无界集,则*m E =+∞。(× ) 14、E 是可测集?c E 是可测集。(√ ) 15、设{n S }是可测集列,则 1 n n S ∞=, 1 n n S ∞=都是可测集。 (√ ) 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。(√ ) 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。(√ ) 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。(√ ) 19、若E =?,则* 0m E >。(× ) 20、若E 是无限集,且*0m E =,则E 是可数集。(× ) 21、若mE =+∞,则E 必为无界集。(√ ) 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。(√ )
第七章 习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 (1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间,丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召,兀2,?…,£,???)组成的集合,在S中定义距离为 p(x,y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间,若TG/(x,r)是一个满射,则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间,X。是X的线性子空间,人是定义在X。上的有界线性泛函,则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间,若丁是X T Y的闭线性算子,并且D(T)是闭的,则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间,丫是£空间,如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、(15分)设/(兀)=匸兀(『)力—[比)力,求证:/G(C[-1,1])\且求||/||。 八、(15分)简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析,为什么耍研究无穷维分析,试举例说明; 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间,请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/(f)ga)〃,若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体,N为C[-l,l]中偶函数全体,求证:M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集,且x丄厶,证明x = 0. 二、在R中赋予距离p(x,y) =| arctan x-arctan y |,问(R,p)是完备空间吗?为什么?设Tx(t) = rx(r),若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了,计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题: 1、证明C[a,b]完备,并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx(r)为心,刃上范数,并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间,£,兀儿则当X" t X,儿Ty时,(£,几)T(x,y),即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何,?“ 八码),证明 ⑴+ 7V, (2) fit (】)任取f€E;及则 (T: + T t) V(r)r s)?> f(T^) + /(r?z > -r:/(z) + Ty(x) = (T: +T;)/(z) ? 山人工的任尴性.得: 《珀 + T护= + <2)由共馳算子性质1?■即得:工 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分,共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间,是中点列,如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间,是上线性泛函,那么的零空间是中的闭子空XXX,,间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子,如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间,对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间,是的共轭空间,泛函列,如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义,并求的共轭空间。 lp(1),,,, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间,证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的,证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义,并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 泛函分析期末复习题(2005-2006年度) (1)所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么? (2)什么是线性空间的子空间?子空间是否一定包含零元素?为什么? (3)什么是线性流形? (4)什么是线性空间中的凸集? (5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离,那么这个度量必须满足什么条件?试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 (6)距离空间上的收敛是如何定义的? (7)线性空间上定义的范数必须满足哪些条件? (8)什么是巴拿赫空间?赋范空间中的基本列一定收敛吗? (9)有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗? (10)什么是希尔伯特空间? (11)空间是如何构成的?在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间?(12)什么是算子?为什么要求算子的定义域是一个子空间? (13)算子的范数是如何定义的?从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 (14)线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗? (15)什么是有界算子?举一个无界算子的例子。 (16)算子的强收敛是如何定义的? (17)设为一个线性赋范空间,而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间? (18)什么是压缩映像原理?它在力学中有什么重要应用? (19)什么是泛函?什么是泛函的范数? (20)什么是线性赋泛空间的共轭空间?线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的?(21)什么是弱收敛?弱收敛与强收敛之间是什么关系? (22)什么是的Gateaux微分? (23)什么是泛函的(一阶)变分?它是如何定义的? (24)形如的泛函,其对应的Euler-Lagrange方程是什么? (25)什么是结构的应变能密度?什么是余能密度?二者关系如何?试画图说明。(26)有限元方法的本质是什么?瑞兹+具有局部紧支集的分片插值函数 (27)什么是最小势能原理?最小势能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。(28)什么是最小余能原理?最小余能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。(29)什么是Hellinger-Reissner混合变分原理?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 泛函分析复习题2012 1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量 空间,p 为何值时,R 是赋范空间。 解:若R 是度量空间,所以R z y x ∈?,,,必须有: ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p p p ,所以,1≤p 若R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈?,, 必须有:||||||||||x k kx ?=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,若R 是度量空间,1=p 时,若R 是赋范空间。 2.若),(d X 是度量空间,则)1,m in(1d d =,d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈?,,有: 1)0),(≥y x d ,因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d , 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2)),(),(y x d x y d =, 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(,0)1(1)(2 >+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的( ). A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是( ). A .集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l,则有11 p q +的值为(). A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l的共轭空间是()。 4、设X按内积空间 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中,求证:为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对?ε > 0,存在A的列紧的ε网. 证明:(1) 若子集A是列紧的,由Hausdorff定理, ?ε > 0,存在A的有限ε网N. 而有限集是列紧的,故存在A的列紧的ε网N. (2) 若?ε > 0,存在A的列紧的ε/2网B. 因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限ε/2网C. 因C ?B ?A,故C为A的有限ε网. 因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的. 1.3.2 在度量空间中,求证:紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界. 证明:设(X, ρ)是度量空间,D是紧子集,f : D→ 是连续函数. (1) 若f无上界,则?n∈ +,存在x n∈D,使得f (x n) > 1/n. 因D是紧集,故D是自列紧的. 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞). 由f的连续性,f (x n(k))→f (x0) (k→∞). 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞), 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞),矛盾. 故f有上界.同理,故f有下界. (2) 设M = sup x∈D f(x),则?n∈ +,存在y n∈D,使得f (y n) > M- 1/n. {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞). 因此f ( y0 ) ≥M. 而根据M的定义,又有f ( y0 ) ≤M. 所以f ( y0 ) = M.因此f能达到它的上确界. 同理,f能达到它的下确界. 1.3.3 在度量空间中,求证:完全有界的集合是有界的,并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1,其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1,其余都是0 ),来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的. 证明:(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集. 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }. 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1. 则?x∈A,存在某个j使得0 ≤j≤n,且ρ(x, x j) < 1. 因此,ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R. 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集. (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j ), 故E中任意点列都不是Cauchy列. 所以,E中任意点列都没有收敛子列(否则,该收敛子列就是Cauchy列,矛盾). 第七章习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明(1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集,必有B x ∈,所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d (x ,y )为空间X 上的距离,证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明(1)若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ,必有x=y (2)因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数,于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= 21.试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解: 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二: 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法,可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? , (*) 当l k =时, 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=, 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=? 复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子. 特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题: 一课堂例题 1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(. 2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是 }0{=⊥ M . 3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T 6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理. 7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间 )(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子. 8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01 ||||0* x f x f X f =∈= 二课后习题 1.5.1.; 1.6.5; 2. 3.2; 2. 4.5; 2.4.6; 2. 5.12; 2.5.18; 2.5.20. 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2010级泛函分析试题(A 卷) 一、(10分)设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。证明以下三条等价: (1)T 连续; (2)T 在零点连续; (3)T 有界。 二、(10分)设H 是Hilbert 空间。证明: (1)若n x x →,则对于任意固定的y H ∈,()(),,n x y x y →; (2)若n x x →,n y y →,则()(),,n n x y x y →。 三、(10分)设H 是Hilbert 空间,()A B H ∈且存在0m >使得()2 ,,x H Ax x m x ?∈≥,证明:存在()1A B H -∈。 四、(10分)设H 是Hilbert 空间,M 是H 的线性子空间。证明:M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。 注:M 仅为H 的子集时充分性不成立,试举反例 五、(15分)设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体,对于[]0,1f C ∈, 令[] ()0,1max x f f x ∈=。证明: (1)[]0,1C 是完备的赋范线性空间,即Banach 空间; (2)对于[]0,1t ∈,令()()t F f f t =,则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函,求t F 。 六、(15分)设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ,且[],..0,1k f f a e →。证明:lim k k f f →∞ =当 且仅当lim 0k k f f →∞-=,其中()[][]1 2 22 0,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ? ?? ?。 七、(15分)设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函,12ker ker M f f =I 。 证明:(1)M 是闭的线性子空间; (2)存在12,y y H ∈使得对于x H ∈,有01122x x y y λλ=++,其中0x 为x 在M 上的正交投影,12,λλ∈£。(附加:试证明在题设条件下此分解式唯一。) 八、(15分)在[]0,1C 上分别令[] ()()1 10 0,1max ,t x x t x x t dt ∞ ∈==?,其中[]0,1x C ∈。 (1)分别证明 ∞和 1 是[]0,1C 上的范数;(2)比较这两种范数的强弱; (3)它们是否等价?给出理由。(要求使用两种方法) 注:2010级为闭卷 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3.设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列,证明}{k x 有界,即∞泛函分析试题B
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