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最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积的物理背景及其含义》同步测控

最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积的物理背景及其含义》同步测控
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积的物理背景及其含义》同步测控

2.4 平面向量的数量积

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.若e 1、e 2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是( ) A.e 1·e 2=1 B.e 1·e 2=-1 C.e 1·e 2=±1 D.|e 1·e 2|<1

解析:两个平行的单位向量,当它们的方向相同时,数量积为1,当它们的方向相反时,数量积为-1. 答案:C

2.判断正误,并简要说明理由.

①a ·0=0;②0·a =0;③0-AB =BA ;④|a ·b |=|a ||b |;⑤若a ≠0,则对任一非零向量b 有a ·b ≠0;⑥a ·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2. 解:上述7个命题中只有③⑦正确:

对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a =0; 对于②:应有0·a =0;

对于④:由数量积定义有|a ·b |=|a ||b |·|cosθ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a ·b |=|a ||b |;

对于⑤:若非零向量a 、b 垂直,则有a ·b =0; 对于⑥:由a ·b =0可知a ⊥b ,可以都非零.

3.已知|a |=3,|b |=6,当:①a ∥b ;②a ⊥b ;③a 与b 的夹角为60°时,分别求a ·b . 解:①当a ∥b 时,若a 与b 同向,则它们的夹角θ=0°, ∴a ·b =|a ||b |cos0°=3×6×1=18;

若a 与b 反向,则它们的夹角θ=180°, ∴a ·b =|a ||b |cos180°=3×6×(-1)=-18. ②当a ⊥b 时,它们的夹角θ=90°, ∴a ·b =0. ③当a 与b 的夹角是60°时,有a ·b =|a ||b |cos60°=3×6×2

1=9.

4.已知|a |=10,|b |=12,a 与b 的夹角为120°,求a ·b . 解:由定义,a ·b =|a ||b |cosθ=10×12×cos120°=-60. 10分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.(2006高考四川卷,理7) 如图2-4-1,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是( )

图2-4-1

A.21P P ,31P P

B.21P P

,41P P C.21P P ,51P P D.21P P ,61P P 解析:在正六边形中|P 1P 2|的长度设为1,则|P 1P 3|=3,|P 1P 4|=2,|P 1P 5|=3,|P 1P 6|=1.

由数量积的计算公式,得

3121P P P P ?=1×3cos30°=

2

3

, 4121P P P P ?=1×

2cos60°=1, 5121P P P P ?=1×2cos90°=0, 6121P P P P ?=1×1cos120°=2

1

-

, ∴312

1P P P P ?为最大.

答案:A

2.(2006高考福建卷,理11)已知|OA |=1,|OB |=3,OA ·OB =0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°.设=m +n (m,n ∈R ),则

n

m

等于( ) A.

31 B.3 C.3

3 D.3 解析:设的模长为a ,则由向量加法的几何意义得

??

?=?=?.

330sin ,30cos n a m a 两式相除得n m

=3. 答案:B

3.给出下列命题:

①在△ABC 中,若·<0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·BC >0,则△ABC 是钝角三角形; ③△ABC 是直角三角形?AB ·BC =0;

④△ABC 是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.

其中,正确命题的序号是______________________.

解析:利用数量积的符号,可以判断向量的夹角是锐角、直角,还是钝角.

①∵·<0,∴·=-·>0,∴∠B 是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题.

②∵·>0,∴·=-·<0.∠A 是钝角,因而△ABC 是钝角三角形.故命题②是真命题.

③△ABC 是直角三角形,则直角可以是∠A ,也可以是∠B ,∠C.而·=0仅能保证

∠B 是直角.故命题③是假命题.

④一方面,当△ABC 是斜三角形时,其三个内角均不是直角,故·≠0;另一方面,由AB ·BC ≠0只能得出∠B 不是直角,但∠A 或∠C 中可能有一个直角.故命题④是真命题. 答案:②④

4.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +a ·c =_____________. 解法一:∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c =0, ∴2(a ·b +b ·c +a ·c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26. ∴a ·b +b ·c +a ·c =-13.

解法二:根据已知条件可知|c |=|a |+|b |,c =-a -b ,所以a 与b 同向,c 与a +b 反向.所以有a ·b +b ·c +a ·c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13. 答案:-13

5.已知a ,b 是两个非零向量,同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角. 解法一:根据|a |=|b |,有|a |2=|b |2, 又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2, ∴a ·b =

2

1|a |2

. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2, ∴|a +b |=a 3.

设a 与a +b 的夹角为θ,则

cosθ=23|

|3||||21

||||||)(2

2=+

=++a a a a b a a b a a , ∴θ=30°.

解法二:设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), ∵|a |=|b |,∴2

22

22

12

1y x y x +=+. 由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=

21(2121y x +),即a ·b =2

1(2121y x +). 由|a +b |2=2(2

12

1y x +)+2×2

1(2

12

1y x +)=3(2

12

1y x +),得|a +b |=3(2

12

1y x +).

设a 与a +b 的夹角为θ,则cosθ=233)

(21

)(||||)(21

21212121212121=

+++++=++y x y x y x y x b a a b a a , ∴θ=30°.

解法三:根据向量加法的几何意义,在平面内任取一点O ,作=a ,OB=b ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.

∵|a |=|b |,即||=||,∴OACB 为菱形,OC 平分∠AOB ,这时=a +b ,=a -b .而

|a |=|b |=|a -b |,即|OA |=|OB |=|BA |.

∴△AOB 为正三角形,则∠AOB=60°,于是∠AOC=30°,即a 与a +b 的夹角为30°. 6.若(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b ),试求a ,b 的夹角的余弦值. 解:由(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b )有

?

?

?=+?=?+0,b)(2a 2b)-(a ,

0b)-2a (b)(a 即?????=?=?+0.

2b -b 3a -2a 0,b -b a 2a 2

222 ∴a 2=

85b 2,|a |2=85|b |2,|a |=8

5

|b |. 由2a 2+a ·b -b 2=0,得

a ·

b =b 2-2a 2=|b |2-2|a |2=|b |2-2×85

|b |2=-

4

1|b |2, ∴cosθ=

1010||8

5

||41|

|||22

-=-

=?b b b a b

a . ∴a ,

b 的夹角的余弦值为10

10-

. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.已知向量a ,b ,a ·b =-40,|a |=10,|b |=8,则向量a ,b 的夹角为( ) A.60° B.-60° C.120° D.-120° 解析:根据公式a ·b =|a ||b |cosθ,得cosθ=

2

1

||||-=?b a b a ,由此可求两向量的夹角为120°.

答案:C

2.下列命题中真命题的个数是( ) ①|a ·b |=|a |·|b | ②a ·b =0?a =0或b =0 ③|λa |=|λ|·|a | ④λa =0?λ=0或a =0

A.1

B.2

C.3

D.4 解析:由向量数量积的定义,可知①②错误,③④正确. 答案:B

3.(2006高考陕西卷,理9)已知非零向量

与满足(

|

||

|AC AB +

)·=0且

·

2

1

,则△ABC 为( )

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形 解析:由||||AC AB +

BC =0可知∠A 的平分线与边BC 垂直. 又|

|||AC AB =

21,所以∠A=3

π

.所以△ABC 为等边三角形. 答案:D

4.如图2-4-2所示,在平行四边形ABCD 中,||=4,||=3,∠DAB=60°. 求:(1)·;(2)·;(3)·.

图2-4-2

解:(1)·=9;(2)·=-16;(3)·

=-6. 5.设n 和m 是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 解:|m |=1,|n |=1,由夹角是60°,得m ·n =

2

1

.则有 |a |=|2m +n |=744)2(222

=+?+=

+n n m m n m . |b |=|2n -3m |=79124)32(222

=+?-=

-m m n n m n .

所以a ·b =(2m +n )·(2n -3m )=m ·n -6m 2+2n 2=27-,cosθ=2

1

727

-=-

.

所以a ,b 的夹角为120°.

6.已知向量=a ,=b ,∠AOB=60°,且|a |=|b |=4.

(1)求|a +b |,|a -b |;

(2)求a +b 与a 的夹角及a -b 与a 的夹角. 解法一:

(1)|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2|a ||b |cos60°+|b |2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16=48,∴|a +b |=43.

|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|a |2-2|a ||b |cos60°+|b |2=42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16,∴|a -b |=4. (2)记a +b 与a 的夹角为α,a -b 与a 的夹角为β,则

cosα=234

3460cos 444||||||||)(22=

???+=+?+=+?+a b a a b a a b a a b a ,∴α=30°.

cosβ=2

14460cos 444||||||||)(22=???-=-?-=-?-a b a a b a a b a a b a .

∴α=60°.

解法二:如图,以OA,OB 为邻边作平行四边形OACB.

∵|a |=|b |=4,∴四边形OACB 为菱形.

(1)a +b ==+,a -b =BA OB OA =-,又∠AOB=60°, ∴|a +b |=||=2||=2×

2

3

×4=34,a -b =||=4. (2)在△OAC 中,∠OAC=120°,

∴∠COA=∠OCA=30°.a +b 与a 的夹角即∠COA=30°,a -b 与a 的夹角即BA 与OA 所成的角为60°.

7.已知|a |=5,|b |=12,当且仅当m 为何值时,向量a +m b 与a -m b 互相垂直? 解:若向量a +m b 与a -m b 互相垂直,则有(a +m b )·(a -m b )=0, ∴a 2-m 2b 2=0. ∵|a |=5,|b |=12, ∴a 2=25,b 2=144. ∴25-144m 2=0. ∴m=±

12

5. ∴当且仅当m=±

12

5

时,向量a +m b 与a -m b 互相垂直. 8.设a 与b 是两个互相垂直的单位向量,问当k 为整数时,向量m =k a +b 与向量n =a +k b 的夹角能否为60°?证明你的结论. 解:假设夹角为60°,

∵|m |2=|k a +b |2=k 2+1,|n |2=|a +k b |2=k 2+1,m ·n =(k a +b )·(a +k b )=2k, ∴2k=1122+?+k k ·cos60°,即4k=k 2+1. 解之,得k=2±3,这与k 为整数矛盾. ∴m ,n 的夹角不能为60°.

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高一数学必修4第二章测试题

平面向量单元测试题 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得( ) A .A B u u u r B .DA C .BC D .0r 2.如图,四边形ABCD 中,AB →=DC →,则相等的向量是( ) A. AD →与CB → B. OB →与OD → C. AC →与BD → D. AO →与OC → 3.某人先位移向量a r :“向东走5 km ”,接着再位移向量b r :“向西走3 km ”,则a b +r r 表示( ) A .向东走2 km B .向西走2 km C .向东走8 km D .向西走8 km 4.如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6), (2,1)B -,(4,1)C -,则重心的坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 5.若AB →=(2,4),AC →=(1,3),则BC →=( ) A .(1,1) B .(-1,-1) C .(3,7) D .(-3,-7) 6.下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是( ) A.1e r =(0,0),2e u u r =(1,-2) B. 1e r =(-1,2),2e u u r =(5,7) C. 1e r =(3,5),2e u u r =(6,10) D. 1e r =(2,-3),2e u u r =(21,-4 3) 7. O 是ΔABC 所在的平面内的一点,且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0,则ΔABC 的形 状一定为( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .斜三角形 8.已知12,5||,3||=?==b a b a 且,则向量a 在向量b 上的投影为( ) A . 512 B .3 C .4 D .5

高中数学人教A版必修四1.4.1正弦函数、余弦函数的图像同步测试【有答案】

《1.4.1正弦函数、余弦函数的图像》同步检测 1. 满足sin x≥1 2 的x的集合为() A.{x|2kπ+π 6≤x≤2kπ+5π 6 ,?k∈Z} B.{x|2kπ+5π 6≤x≤2kπ+7π 6 ,?k∈Z} C.{x|2kπ?π 6≤x≤2kπ+π 6 ,?k∈Z} D.{x|2kπ?π 3≤x≤2kπ+2π 3 ,?k∈Z} 2. 已知f(x)=sin(2x+π 2),g(x)=cos(2x?π 2 ),则下列结论中不正确的是() A.将函数f(x)的图象向右平移π 4 个单位后得到函数g(x)的图象 B.函数y=f(x)?g(x)的图象关于(π 8 ,0)对称 C.函数y=f(x)?g(x)的最大值为1 2 D.函数y=f(x)?g(x)的最小正周期为π 2 3. 函数y=|sin x|的一个单调增区间是() A.[?π 4,?π 4 ] B.[π,?3π 2 ] C.[π 4 ,?3π 4 ] D.[3π 2 ,?2π] 4. 给出的下列函数中在(π 2 ,?π)上是增函数的是________. A.y=sin2x B.y=cos2x. 5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象的相邻两对称轴间的距离为2,则ω的值为() A.2π B.π 2 C.π D.2π 6. y=cos x,x∈[0,?5π 2]的图象与直线y=1 3 的交点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 7. 设函数f(x)=cos(x+π 3 ),则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为?2π

B.y=f(x)的图像关于直线x=8π 3 对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π 6 D.f(x)在(π 2 ,?π)单调递减 8. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,?|φ|<π 2)的最小正周期是π,若其图象向右平移π 6 个 单位,得到的函数为偶函数,则函数f(x)的图象() A.关于直线x=5π 12对称 B.关于点(7π 12 ,?0)对称 C.关于点(5π 12,?0)对称 D.关于直线x=π 12 对称 9. 函数y=ln1 |x?1| 与函数y=cosπx图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.8 D.6 10. 已知直线x=x1,x=x2分别是曲线f(x)=2sin(x+π 3 )与g(x)=?cos x的对称轴,则f(x1?x2)=() A.2 B.0 C.±2 D.±1 11. 函数y=2sin x?cos x在区间[0,5π]上的零点个数为________. 12. 若a=sin46°,b=cos46°,c=cos36°,则a、b、c由小到大的顺序为________. 13. 不等式cos x≥1 2 的解集是________. 14. 函数y=a?sin xx∈(0,?5π 2 )的图象与过点(0,?1)且平行于x轴的直线有两个交点,则实数a的取值范围是________. 15. 根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合: (1)sin x≥√3 2 (x∈R); (2)√2+2cos x≥0(x∈R).

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

人教版高中数学必修4同步训练题及答案全册汇编

人教A版高中数学必修4同步训练 目录 1-1-1 任意角 1-1-2 弧度制 1-2-0-1 任意角的三角函数的定义 1-2-1 单位圆中的三角函数线 1-2-2 同角三角函数的基本关系 1-3-1 诱导公式二、三、四 1-3-2 诱导公式五、六 1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象 1-4-2-1 周期函数 1-4-2-2 正、余弦函数的性质 1-4-3 正切函数的性质与图象 1-5-1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象 1-5-2 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 1-6 三角函数模型的简单应用 第一章综合检测题 2-1 平面向量的实际背景及基本概念 2-2-1 向量加法运算及其几何意义 2-2-2 向量减法运算及其几何意义 2-2-3 向量数乘运算及其几何意义 2-3-1 平面向量基本定理 2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算2-3-4 平面向量共线的坐标表示

2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2-5 平面向量应用举例 第二章综合检测题 3-1-1 两角差的余弦公式 3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦 3-1-2-2 两角和与差的正切 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 3-2-1 三角恒等变换 3-2-2 三角恒等式的应用 第三章综合检测题 高中数学必修四综合能力测试

能 力 提 升 一、选择题 1.给出下列四个命题,其中正确的命题有( ) ①-75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角 ④-315°是第一象限角 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 [答案] D [解析] 由终边相同角的概念知:①②③④都正确,故选D. 2.如果角α与x +45°具有同一条终边,角β与x -45°具有同一条终边,则α与β的关系是( ) A .α+β=0 B .α-β=0 C .α+β=k ·360°(k ∈Z ) D .α-β=k ·360°+90°(k ∈Z ) [答案] D [解析] ∵α=(x +45°)+k ·360°(k ∈Z ), β=(x -45°)+k ·360°(k ∈Z ), ∴α-β=k ·360°+90°(k ∈Z ). 3.(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x 轴对称,则α 2 是( ) A .第二或第四象限角 B .第一或第三象限角 C .第三或第四象限角 D .第一或第四象限角 [答案] A [解析] 由α与120°角的终边关于x 轴对称,可得α=k ·360°-

2020届高中数学分册同步讲义(必修4) 第3章 微专题突破五

微专题突破五 应对三角恒等变换的几个小技巧 三角函数题是高考的热点,素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外,还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析,希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例1 3-sin 70°2-cos 210° =________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用降幂公式化简求值 答案 2 解析 3-sin 70°2-cos 210°=3-sin 70°2-1+cos 20°2=3-cos 20°3-cos 20°2 =2. 点评 常用的降幂技巧还有:因式分解降幂、用平方关系sin 2θ+cos 2θ=1进行降幂:如cos 4θ +sin 4θ=(cos 2θ+sin 2θ)2-2cos 2θsin 2θ=1-12 sin 22θ等. 二、化平方式 例2 化简求值: 12-12 12+12 cos 2α????α∈????3π2,2π. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 因为α∈????3π2,2π,所以α2∈????3π4,π,所以cos α>0,sin α2 >0, 故原式=12-12 1+cos 2α2=12-12cos α=sin 2α2=sin α2 . 点评 一般地,在化简求值时,遇到1+cos 2α,1-cos 2α,1+sin 2α,1-sin 2α常常化为平方式:2cos 2α,2sin 2α,(sin α+cos α)2,(sin α-cos α)2. 三、灵活变角 例3 已知sin ????π6-α=13,则cos ??? ?2π3+2α=________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 -79

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77) 1、略. 2、,. 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、,,,. 4、(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同. 习题2.1 A组(P77) 1、(2). 3、与相等的向量有:;与相等的向量有:; 与相等的向量有:. 4、与相等的向量有:;与相等的向量有:; 与相等的向量有: 5、. 6、(1)×;(2)√;(3)√;(4)×. 习题2.1 B组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对,与反向的也有6对;与同向的共有3对,与反向的也有6对;模为的向量共有4对;模为2的向量有

2对 2.2平面向量的线性运算 练习(P84) 1、图略. 2、图略. 3、(1);(2). 4、(1);(2);(3);(4). 练习(P87) 1、图略. 2、,,,,. 3、图略. 练习(P90) 1、图略. 2、,. 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向. 3、(1);(2);(3);(4). 4、(1)共线;(2)共线. 5、(1);(2);(3). 6、图略. 习题2.2 A组(P91) 1、(1)向东走20 km;(2)向东走5 km;(3)向东北走km; (4)向西南走km;(5)向西北走km;(6)向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解:如右图所示:表示船速,表示河水 的流速,以、为邻边作□,则 表示船实际航行的速度. 在Rt△ABC中,,, 所以 因为,由计算器得 所以,实际航行的速度是,船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7). 5、略 6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、(1)略;(2)当时, 9、(1);(2);(3);(4). 10、,,. 11、如图所示,,, ,. 12、,,,, ,,. 13、证明:在中,分别是的中点, 所以且, 即; 同理,, 所以. 习题2.2 B组(P92)

高中数学同步练习讲义(必修4全部视频)

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 (江西师大附中使用)高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。 1.回归教材,注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。 2.适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。 3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察 在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1.【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点,且满足AB AC → → =,则A BA C →→ ?的最小值为( ) A .1 4- B .12- C .34- D .1-

人教新课标A版高中必修4数学1.4 三角函数的图象与性质同步检测B卷

人教新课标A版必修4数学1.4 三角函数的图象与性质同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共14题;共28分) 1. (2分)在等比数列{an}中,a4a1= ,则tan(a2a3)=() A . ﹣ B . C . D . 2. (2分)函数y=tan(x﹣)的定义域是() A . {x∈R|x≠kπ+,k∈Z} B . {x∈R|x≠kπ﹣,k∈Z} C . {x∈R|x≠2kπ+,k∈Z} D . {x∈R|x≠2kπ﹣,k∈Z} 3. (2分)函数y=tanα的对称中心坐标为() A . (kπ,0) B . C . (, 0) D . (2kπ,0)

4. (2分)已知正切函数y=tanx的图象关于点(θ,0)对称,则sinθ=() A . ﹣1或0 B . 1或0 C . ﹣1或0或1 D . 1或﹣1 5. (2分) (2018高一下·宁夏期末) 下列关于函数的结论正确的是() A . 是偶函数 B . 关于直线对称 C . 最小正周期为 D . 6. (2分)已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数,则() A . 0<ω≤1 B . ω≤﹣1 C . ω≥1 D . ﹣1≤ω<0 7. (2分)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是() A . y=﹣log2x B . y=sinx C . D . y=arccosx

8. (2分)的值属于区间() A . B . C . D . 9. (2分)若函数是奇函数,则() A . 1 B . 0 C . 2 D . -1 10. (2分)(2020·贵州模拟) 设函数,则下列结论错误的是() A . 的一个周期为 B . 的图象关于直线对称 C . 的一个零点为 D . 在单调递减 11. (2分)(2017·泉州模拟) 已知曲线C:y=sin(2x+φ)(|φ|<)的一条对称轴方程为x= ,曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E的一个对称中心为(,0),则|φ﹣θ|的最小值是() A . B .

人教版高中数学必修4课后习题答案

第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77) 1、略. 2、AB u u u r ,BA u u u r . 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、2AB =u u u r , 2.5CD =u u u r ,3EF =u u u r ,GH =u u u r 4、(1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同. 习题 A 组(P77) 1、 (2). 3、与DE u u u r 相等的向量有:,AF FC u u u r u u u r ;与EF u u u r 相等的向量有:,BD DA u u u r u u u r ; 与FD u u u r 相等的向量有:,CE EB u u u r u u u r . 4、与a r 相等的向量有:,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ;与b r 相等的向量有:,PM DO u u u u r u u u r ; 与c r 相等的向量有:,,DC RQ ST u u u r u u u r u u u r 5、AD =u u u r . 6、(1)×; (2)√; (3)√; (4)×.

习题 B 组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6 对,与AM u u u u r 反向的也有6对;与AD u u u r 同向的共有3对,与AD u u u r 反向的也有6对;模 的向量共有4对;模为2的向量有2对 2.2平面向量的线性运算 练习(P84) 1、图略. 2、图略. 3、(1)DA u u u r ; (2)CB u u u r . 4、(1)c r ; (2)f u r ; (3)f u r ; (4)g u r . 练习(P87) 1、图略. 2、DB u u u r ,CA u u u r ,AC u u u r ,AD u u u r ,BA u u u r . 3、图略. 练习(P90) 1、图略. 2、57AC AB =u u u r u u u r ,27 BC AB =-u u u r u u u r . 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r 反向. 3、(1)2b a =r r ; (2)74b a =-r r ; (3)12b a =-r r ; (4)89 b a =r r . 4、(1)共线; (2)共线. 5、(1)32a b -r r ; (2)111123 a b -+r r ; (3)2ya r . 6、图略. 习题 A 组(P91) 1、(1)向东走20 km ; (2)向东走5 km ; (3)向东北走km ; (4)向西南走;(5)向西北走;(6)向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解:如右图所示:AB u u u r 表示船速,AD u u u r 表示河水 的流速,以AB 、AD 为邻边作□ABCD ,则 AC u u u r 表示船实际航行的速度. 在Rt △ABC 中,8AB =u u u r ,2AD =u u u r ,

新人教版高中数学必修四教材分析

新人教版高中数学必修四教材分析

一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学(必修四),运用系统理论进行研究,其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系,以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析,首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长,再到课堂教学等方面研究教材分析的意义;然后,按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材,其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四);最后,结合典例分析的感悟,提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则,以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四,它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进,逐步深入,这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点,体会向量方法的作用,并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始终引导学生

体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式,并用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上,降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随意补充知识点(如半角公式、积化和差与和差化积公式,这些公式只是作为基本训练的素材,结果不要求记忆,更不要求运用)。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求: 基本要求: ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形,并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决。 发展要求: ①了解和、差、倍角公式的特点,并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点:

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章平面向量 16、向量:既有大小,又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量:长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量(共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 17、向量加法运算: ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点:共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质:①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,,则、 18、向量减法运算: ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点,方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时,、 ⑵运算律:①;②;③、 ⑶坐标运算:设,则、 20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使、 设,,其中,则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时,;当与反向时,;或、③、 ⑶运算律:①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,,则、 若,则,或、设,,则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角,则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷; ⑸(); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高一数学人教版必修四复习资料

、 .~ ①我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。 高一新课标人教版必修4公式总结 复习指南 1.注重基础和通性通法 在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教材,挖掘教材的潜力,注意避免眼高手低,偏重难题,搞题海战术,轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当然注重基础和通性通法的同时,应注重一题多解的探索,经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一定会,会了不一定对,对了不一定美。即数学学习的五种境界:听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫,每年的高考结束,结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大,这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够,比如仅仅一点“规范答题”问题,我们老师也强调很多遍,但作为学生的你们又有几人能够听进去! 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”: 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题,提高数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的,而只能由学生依据自身已有的知识、经验,主动地加以建构。学习是一个创造的过程,一个批判、选择、和存疑的过程,一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学,老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不甜”嘛!数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆,积累和模仿,而且还要动手实践,自主探索,并且在获得知识的基础上进行反思和修正。(这也就是我们经常将让大家一定要好好预习,养成自学的好习惯。)记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义:科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问,仔细想来确实很有道理! 所以我们在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩固,知识的得到拓展,能力得到提高,思维得到优化,创新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯! 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么,索性就不听,抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的,想象如果上课没有用的话,国家还开办学校干嘛?只要印刷课本就足够了,学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的,听听老师对问题的分析和解题技巧,老师是如何想到的,与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西,更重要的是跟着老师的思路,注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记,因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎样讲的,自己在整理时有比较好的想法,就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维火花往往

最新高中数学必修4数学同步练习题(精编)

第一章 三角函数(上)[基础训练A 组] 一、选择题 1.设α角属于第二象限,且2 cos 2 cos α α -=,则 2 α 角属于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.给出下列各函数值:①)1000sin(0 -;②)2200cos(0 -;③)10tan(-;④ 9 17tan cos 107sin πππ .其中符号为负的有( ) A .① B .② C .③ D .④ 3.02120sin 等于( )A .23± B .23 C .23- D .2 1 4.已知4 sin 5 α= ,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于( ) A .43- B .34 - C .43 D .34 5.若α是第四象限的角,则πα-是( ) A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6.4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1.设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2.设MP 和OM 分别是角 18 17π 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: ①0<

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、B、C、D、 3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得 向量为()。 A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。 A、B、C、D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、B、 C、D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题: (1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是()。 A、1 B、2 C、3 D、4

9.在ΔABC中,A=60°,b=1,,则 等于()。 A、B、C、D、 10.设、b不共线,则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是()。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 2,则 =_________ 11.在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2 12.已知ABCDEF为正六边形,且AC=a,AD=b,则用a,b表示AB为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为的小船要从河的一边驶向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量与b的夹角为θ,那么我们称×b为向量与b的“向 量积”,×b是一个向量,它的长度| ×b|=| ||b|sinθ,如果| |=3, |b|=2, ·b=-2,则| ×b|=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量= , 求向量b,使|b|=2| |,并且与b的夹角为 。(10分) 16、已知平面上3个向量、b、的模均为1,它们相互之间的夹角均

2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修四 全册同步检测 目录 第1章1.1-1.1.1任意角 第1章1.1-1.1.2弧度制 第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数 第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系 第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四 第1章1.3第2课时诱导公式五、六 第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象 第1章1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第1章1.6三角函数模型的简单应用 第1章章末复习课 第1章单元评估验收(一) 第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念 第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义 第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义 第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理 第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算

第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示 第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例 第2章章末复习课 第2章单元评估验收(二) 第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式 第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 第3章3.2简单的三角恒等变换 第3章章末复习课 第3章单元评估验收(三) 模块综合评价

第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 A级基础巩固 一、选择题 1.已知A={第二象限角},B={钝角},C={大于90°的角},那么A、B、C关系是() A.B=A∩C B.B∪C=C C.A C D.A=B=C 解析:钝角大于90°,小于180°,故B C,选项B正确. 答案:B 2.若角α的终边经过点M(0,-3),则角α() A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.既是第三象限角,又是第四象限角 D.不是任何象限的角 解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,所以角α的终边不在任何象限. 答案:D 3.若α是第四象限角,则-α一定在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:因为α是第四象限角, 所以k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z. 所以-k·360°<-α<-k·360°+90°,k∈Z,

高中数学:人教A版高中数学必修四同步课时分层训练:模块综合质量检测卷

模块综合质量检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设θ是第三象限角,且??????cos θ2=-cos θ2,则θ2是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 解析:选B 由θ是第三象限角,知θ2为第二或第四象限角,∵??? ???cos θ2=- cos θ2,∴cos θ2≤0,综上知,θ 2为第二象限角.故选B. 2.若sin (π-α)=log 814,且α∈? ???? -π2,0,则cos (π+α)的值为( ) A .5 3 B .-5 3 C .±53 D .-23 解析:选B ∵sin (π-α)=sin α=log 22-23=-23,又α∈? ???? -π2,0,∴cos (π +α)=-cos α=- 1-sin 2α= - 1-49=-5 3.故选B. 3.设单位向量e 1,e 2的夹角为60°,则向量3e 1+4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( ) A .34 B .537 C .2537 D .53737 解析:选D ∵|3e 1+4e 2|2=9e 2 1+24e 1·e 2+16e 22=9+24×12+16=37, ∴|3e 1+4e 2|=37. 又∵(3e 1+4e 2)·e 1=3e 21+4e 1·e 2=3+4×12=5,

∴cos θ=537 =537 37.故选D. 4.(2018·安徽太和中学期中)已知a ,b 是不共线的向量,AB →=λa +2b ,AC →= a +(λ-1) b ,且A ,B ,C 三点共线,则实数λ的值为( ) A .-1 B .2 C .-2或1 D .-1或2 解析:选D 由于A ,B ,C 三点共线,故AB →∥AC →,因为AB →=λa +2b ,AC →=a +(λ-1)b ,所以λ(λ-1)-2×1=0,解得λ=-1或λ=2.故选D. 5.(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →=-4CD →,则AD →= ( ) A .14A B →-34A C → B .14AB →+34AC → C .34AB →-14AC → D .34AB →+14AC → 解析:选B 解法一:设AD →=xAB →+yAC →,由BC →=-4CD →可得,BA →+AC →= -4CA →-4AD →,即-AB →-3AC →=-4x AB →-4y AC → ,则??? -4x =-1,-4y =-3,解得 ????? x =1 4,y =34, 即AD →=14AB →+34 AC →,故选B. 解法二:在△ABC 中,BC →=-4CD →,即-14BC →=CD →,则AD →=AC →+CD →=AC → -14BC →=AC →-14(BA →+AC →)=14AB →+34AC →,故选B. 6.(2019·河北定州中学调研)函数f (x )=1 2(1+cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π 2的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为π 2的偶函数

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