关于行程问题
一、为什么小学生行程问题普遍学不好？
1、行程问题的题型多，综合变化多。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追及问题要注意跟水速无关等等。
2、行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数线段问题，学生掌握了方法，依葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出来。行程问题难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别说找出解题所需要的数量关系了。
二、行程问题“九大题型”与“五大方法” 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。
1、九大题型：⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。
2、五大方法：
⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。
⑵ 图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。
ps：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！
⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。
ps：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。
⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。
⑸ 方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。
ps：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。
⑹ 假设法：在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设速度没变或时间统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。
三、怎样才能学好行程问题？
因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界：
第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。
第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。
其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到），能够达到第三种境界的学生考取
重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段，或者说是好的方法。
建议一：不论是什么问题，在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解，要系统地梳理一遍，这样有系统，有方向，学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师一起帮助孩子完成。这样把大的目标分为不同的小的目标，各个击破，孩子也会有信心。同时发现问题时，也可以有针对性的进行解决。
建议二：需要强调一点，就是在学习过程中不能捡芝麻丢西瓜，简言之就是要在每学一个知识的时候，都要对学过的知识进行练习。一定要要重视总结，把行程问题进行分类比较，这样孩子对于行程问题的理解会上升一个新的高度。
建议三：在学习过程中，可以积累孩子的错题，以便日后观察孩子在此部分知识点学习过程中的薄弱环节，这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做的效果。
行程问题的典型例题
行程问题中最基本的公式就是路程=速度×时间，任何行程问题，不管是多么“波澜起
伏或者是一波三折” ，他的本质都是研究路程、速度、时间三者的关系，在此基础上衍生出其他问题，在每一个方面或几个方面发生了细微的改变。
类型一：相遇问题
相遇问题强调的是一个“和”的思想，两人在时间统一的前提下，路程和=速度和×时间。当然他的使用，不仅仅局限于相遇这个现象，只要这个题目知道了“和” ，我就可以利用这个公式进行求解。
【例1】AB两地900 米，甲乙两人在A 处同时向B点出发，甲的速度60米/分，乙的速度40 米/分，甲到达B 地后立即返回，返回途中与乙相遇，甲乙两人多长时间相遇？解：路程和=900×2=1800（米）速度和=60+40=100（米/ 分）
相遇时间=1800÷100=18（分钟）
上面讲的是比较基本的相遇，到了高年级，可能等多的会涉及到多次或者是多人相遇。下面来说说多次相遇。
方法一：运用倍比关系解多次相遇问题
1. 两地相向出发：
第1 次相遇，共走1 个全程；
第2 次相遇，共走3 个全程；
第3 次相遇，共走5 个全程；
????，??????；
第N 次相遇，共走2N-1 个全程；
注意：除了第1 次，剩下的次与次之间都是2 个全程。即甲第1 次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：
第1 次相遇，共走2 个全程；
第2 次相遇，共走4 个全程；
第3 次相遇，共走6 个全程；
????，??????；
第N 次相遇，共走2N 个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程
【例2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25 千米处相遇．求A、B两地间的距
离是多少千米？
【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三
个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95 千米，
当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260（千米）．
【例3】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3 千米处相遇，第二次在距甲地6 千米处相遇（只算迎面相遇），则甲、乙两地的距离为千米．
【解析】第一次相遇走了1 个3 千米，第二次相遇走了3个3 千米即3×3=9（千米）
9+6=15（千米）——两个全程
15÷2=7.5 （千米）
继续上面多次相遇问题，解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间- 距离图，再画上密密麻麻的交叉线，
按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
【例4】甲、乙两人在一条90 米的直路上来回跑步，甲的速度3 米/ 秒，乙的速度2 米/秒。如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发，当他们跑12 分钟，共相遇了多少次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
分析】多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示。
在180 秒内，甲、乙共相遇5 次，最后又回到出发的状态。
所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60）× =20（次）
【例5】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1 米，乙的速度是
每秒0.6 米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10 分钟后，共相遇几次？
首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷0.6=50 （秒）．与上题类
似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：从图中可以看出，当甲跑5 个全程时，乙刚好跑3 个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150 秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10 分钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次）
备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3 次是追及相遇．
有些多次相遇的题目可以根据速度比m:n, 设路程为m+n份。举个例子。
【例6】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在A、B 两地间不断往返行驶。已知甲车速度是15 千米/ 时，乙车速度是25千米/时，甲乙两车第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差100 千米。A、B两地相距多少千米？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
分析】甲车速度是15千米/时，乙车速度是25 千米/时，甲、乙两车的速度之比为15:25=3:5
将A、B两地平均分成8小格，甲每走3小格，乙就走5 小格；如图所示，C1、C2 分别表示第1、2 次相遇的地点；
其中第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差4 小格；每小格的长度为100÷4=25 千米；所以A、B 两地相距25×8=200 千米。说了多次相遇，再来说说多人的相遇问题即多人行程。这类问题主要涉及的人数为 3 人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。
【例7】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60 米，乙每分钟走50 米，丙每分钟走40 米。甲
从A 地，乙和丙从B 出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15 分钟又与丙相遇，求A、B 两地的距离。
【解析】3 人相遇问题。先画图分析
整个题目说了两个相遇过程。第一次相遇：甲和乙相遇。两人一共走了一个全程。
因此全程=（甲的速度+乙的速度）×时间发现相遇的时间不知道。
第二次相遇：甲和丙的相遇。前提是“甲乙相遇后，再过15 分钟”。发现走的路程是CD。因此CD的距离=（甲的速度+丙的速度）×时间
=（60+40）× 15=1500（米）但是我们的目标是要求出甲乙相遇的时间，发现CD 是在这段时间里乙、丙的路程差。
因此时间=路程差÷速度差=1500÷（50-40）=150（分钟）因此全程=（60+50）×150=110×150=16500
（米）
类型二：火车过桥
过桥问题是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：
过桥问题的一般数量关系是：
过桥的路程= 桥长+ 车长
车速= （桥长+ 车长）÷过桥时间
通过桥的时间=（桥长+ 车长）÷车速
桥长= 车速×过桥时间—车长
车长= 车速×过桥时间—桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。
火车在行驶中，经常发生过桥与通过隧道，两车对开错车与快车超越慢车等情况．
火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：
后三个都是根据第二个关系式逆推出的．
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行．
两列火车的"追及"情况，请看下图：
【例8】两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1 米的速度相对而行。一列火车开来，全列车从甲身边开过用了10 秒。3 分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用
了9 秒。火车离开乙多少时间后两人相遇？
分析根据题意图示如下：
A1、B1 分别表示车追上甲时两人所在地点，A2 、B2 分别为车从甲身边过时两人所在地点，
A3、B3 分别为车与乙相遇时两人所在地点，A4、B4 分别为车从乙身边开过时两人所在地点。要求车从乙身边开过后甲乙相遇时间用A4到B4之间的路程除以两人速度和。
解：（1）求车速
（车速-1 ）×10=10×车速-10= 车长