复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第一章 复数与复变函数
一、
选择题
1.当i
i
z -+=
11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3
)2(π
=
+z arc ,6
5)2(π
=
-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2
321+-
(D )i 2
1
23+-
3.复数)2
(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2
sin()2
[cos(sec θπ
θπθ+++i (B )
)]2
3sin()23[cos(
sec θπ
θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i (D ))]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小
5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )
(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线
(D )抛物线
6.一个向量顺时针旋转
3
π
,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )
(A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2
2z z =成立的复数z 是( )
(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数
(D )实数
8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +-
43 (B )i +43 (C )i -4
3
(D )i --
4
3
9.满足不等式
2≤+-i
z i
z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无
界闭区域
10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )
(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周
(C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周
11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )
22
1
=+-z z (B )433=--+z z (C )
)1(11<=--a az
a
z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0
0)
Im()Im(lim
0z z z z x x --→( )
(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在
14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( )
(A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
15.设C z ∈且1=z ,则函数z
z z z f 1
)(2+-=的最小值为( )
(A )3- (B )2- (C )1-
(D )1
二、填空题
1.设)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z ++--+=
,则=z
2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4
3)arg(,5π
=
-=i z z ,则=z 4.复数2
2
)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为
5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部
7.方程
1)1(212=----z
i i
z 所表示曲线的直角坐标方程为
8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线
9.对于映射z
i =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为
10.=+++→)21(lim 421z z i
z
三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围. 四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22. 五、设复数i z ±≠,试证
2
1z z
+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(2
1z
z +=ω,求出圆周4=z 的像. 七、试证1.
)0(022
1
≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.
)),,2,1,,,0(02
1
n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.
八、若0)(lim 0
≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 2
1
)(>
. 九、设iy x z +=,试证
y x z y x +≤≤+2
.
十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:
1.??
?
??=≠+=0,00,2)(22z z y x xy
z f
2.??
???=≠+=0,00
,)(223z z y x y x z f .
第二章 解析函数
一、选择题:
1.函数2
3)(z z f =在点0=z 处是( )
(A )解析的 (B )可导的
(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )
(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )
(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x
(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导
(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )
(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2 (C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +
5.函数)Im()(2z z z f =在0
=z 处的导数( )
(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在
6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常
数=a ( )
(A )0 (B )1 (C )2
(D )2-
7.如果)(z f '在单位圆1 ≡)(z f ( ) (A )0 (B )1 (C )1- (D ) 任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是 (A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 (D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( ) (A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.i i 的主值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 πe (D )2 π- e 11.z e 在复平面上( ) (A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( ) (A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期 (C )2 )(iz iz e e z f --= (D ))(z f 是无界的 13.设α为任意实数,则α1( ) (A )无定义 (B )等于1 (C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( ) (A )3 )1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 2 3π - 15.设α是复数,则( ) (A )αz 在复平面上处处解析 (B )αz 的模为α z (C )αz 一般是多值函数 (D )αz 的辐角为z 的辐角的 α倍 二、填空题 1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→z z f z 1 )(lim 2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在 D 内是 3.导函数x v i x u z f ??+??= ')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2 32 3 (i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7.设z i z z f )1(5 1)(5 +-= ,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数i i 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--z e 的全部解为 三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数,若记 )2,2()2,2( ),(i z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=??z w . 四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= 2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-= 五、设023 =+-z e zw w ,求2 2,dz w d dz dw . 六、设?? ???=≠++=0,00 ,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却 不可导. 七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量,将s 按逆时针方向旋转2 π 即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ??-=????=??,(s ??与n ?? 分别表示沿s ,n 的方向导数). 九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+. 第三章 复变函数的积分 一、选择题: 1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+?c dz iy x )(2( ) (A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6 561-- (D ) i 6 561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z z c ? +-2 ) 1)(1(为( ) (A ) 2i π (B )2 i π- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则 =?+=dz z z c c c 2 12sin ( ) (A ) i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-? dz z z c 2 ) 1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D ) 1sin 2i π 5.设c 为正向圆周21 = z ,则=--?dz z z z c 2 3) 1(2 1cos ( ) (A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D ) 1sin 2i π- 6.设ξξξξ d z e z f ?=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( ) (A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )1 7.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c ?+'+'') () ()(2)( ( ) (A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能 确定 8.设c 是从0到i 2 1π + 的直线段,则积分=?c z dz ze ( ) (A )2 1e π- (B) 2 1e π- - (C)i e 2 1π+ (D) i e 2 1π- 9.设c 为正向圆周022 2=-+x y x ,则=-? dz z z c 1 ) 4sin( 2 π ( ) (A ) i π2 2 (B )i π2 (C )0 (D )i π2 2- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-? c dz i a z z 2 ) (cos ( ) (A )ie π2 (B ) e i π2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分 ? =--r a z dz a z 1 的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B )2)(22≤+?c dz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 (C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D )若)(z f 在10< 13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数 iv u z f +=)(是 ( ) (A)c iz +2 (B ) ic iz +2 (C )c z +2 (D ) ic z +2 14.下列命题中,正确的是( ) (A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则 x u ??为D 内的调和函数 (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( ) (A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v - (C )),(),(y x iv y x u - (D ) x v i x u ??-?? 二、填空题 1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=?c dz z 2 2.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-?c dz z z z 2 2)4(2 3 3.设? =-=2) 2sin()(ξξξξπ d z z f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-?c z dz i z e 5 ) (π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有 0)(=?c dz z f ,那么)(z f 在B 内 8.调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为 9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a =+? c dz z z z 10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1. ?=+-R z dz z z z )2)(1(62 ,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2. ?=++2 2 422z z z dz . 四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证 1.在B 内处处有0)(≠z f ; 2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0) () (=''? c dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f r a z <<==-, 则),2,1() (!)()( =≤ n r r M n a f n n . 六、求积分?=1 z z dz z e ,从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限?=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(() (lim 并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定 理). 八、设)(z f 在)1(> ?=+1 22 )()1(z dz z z f z 并由此得出?πθθθ202)(2cos d e f i 之值. 九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明 2 222 2 22 2 2) )(1() (4) )(1ln() )(1ln(z f z f y z f x z f +'= ?+?+ ?+?. 十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(. 第四章 级 数 一、选择题: 1.设),2,1(4 )1( =++-= n n ni a n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不 存在 2.下列级数中,条件收敛的级数为( ) (A )∑∞ =+1 )231(n n i (B )∑∞ =+1!)43(n n n i (C ) ∑∞ =1n n n i (D )∑∞ =++-1 1)1(n n n i 3.下列级数中,绝对收敛的级数为( ) (B ) ∑∞ =+1)1(1n n i n (B )∑∞ =+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞ =2ln n n n i (D )∑∞ =-1 2)1(n n n n i 4.若幂级数∑∞ =0 n n n z c 在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为 ( ) (A )绝对收敛 (B )条件收敛 (C )发散 (D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞ =-∞ =0 1 ,n n n n n n z nc z c 和∑ ∞ =++0 1 1n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( ) (A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10< =02 n n n z q 的收敛半径=R ( ) (A )q (B ) q 1 (C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑ ∞ =1 )2 (2sin n n z n n π 的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+ 8.幂级数∑∞ =++-0 1 1)1(n n n z n 在1 (D) z -11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径 =R ( ) (A )∞+ (B )1 (C ) 2 π (D )π 10.级数 +++++2 2 111z z z z 的收敛域是( ) (A )1 21 z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(1 1<++-∑∞ =-z z n n n n (B ) )11()1() 1(1 1 1 <++-∑∞ =--z z n n n n (C ))11() 1(1 1 <++-∑∞ =-z z n n n (D ))11()1(1 1 <++∑∞ =-z z n n n 12.函数z sin ,在2 π = z 处的泰勒展开式为( ) (A ))2 ()2()! 12()1(012+∞<- -+-∑∞ =+π π z z n n n n (B ))2 ()2()! 2()1(02+∞<- --∑∞ =π πz z n n n n (C ))2 ()2()! 12()1(0121+∞<- -+-∑∞ =++π πz z n n n n (D ))2 ()2()! 2()1(021+∞<- --∑∞ =+π πz z n n n n 13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为 ∑∞ -∞ =-n n n z z c )(0, c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-? c dz z z z f 2 )() (( ) (A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π 14.若? ??--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c n n n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( ) (A )3 14 1< (C )+∞< 1 (D )+∞< 1 15.设函数) 4)(1(1 )(++= z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 m 个,那么=m ( )