近代物理学的数学化进程

近代物理学的数学化历程

摘要:数学和物理学的发展相辅相成,许多数学理论是在物理问题的基础上发展起来的;很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。物理学数学化就是探讨物理现象的数学模型,并针对模型已确立的物理问题研究其数学解法,由此解释和预见物理现象,或者根据物理事实来修正原有模型。在落体运动中,运动规律用几何和代数关系定量;在经典力学中,质点和刚体的运动用常微分方程来描述;18世纪以来,在连续介质力学、传热学和电磁场理论中,归结出许多偏微分方程;概率论和数理统计与分子运动的结合开辟了热力学与统计物理,数学化的过程实现了物理学的多元与统一。

关键词:近代物理学数学化

一、什么是物理学的数学化

大数学家魏尔(WeylH,188521955)认为:数学化(MathematizationMathematizing)很可能是人的一种创造性活动,像语言或音乐一样,具有原始的独创性,它的历史性决定不容许完全的客观的有理化(Ratio2nalizing)。在哲学意义的方法论上,同样有一说曰:科学研究三种手段——理论、实验与计算。物理学真是以实验观察为开端,而其发展则完全取决于计算的程度以及理论的高度。物理学是以何种方式前行的呢?我认为是数学化。

物理学的数学化,是指根据具体的物理问题用数学设计出理论模型,然后在理论模型与物理事实及现象中间建立同构关系,做出恰当的推理、演算与证明,促进物理学的发展。这种数学化不同于以往任何形式,既不是把全部现象定量处理归结为数学问题,也不是把数学仅仅作为一个工具与方式,而是赋予其新的内容甚至思想,并且使得科学的新的数学理论被作为模式而加以接受,成为一个独立的领域,在物理实验进一步发展的过程中加以证实,从而推广到物理学、自然科学、人文科学的其他领域,这样的过程,我们称其为物理学数学化的全过程。

二、物理学为什么数学化

康德曾说:“在任何关于自然的个别学说中能够找到多少本来意义上的科学成份,那么其中就有多少数学。”与此同时,科学也对数学产生巨大的反作用。

数学化的模式在建立科学理论的过程中比直接实际体验的经验方式或感性直观的

方式起着更大的作用。这种处理方法可以“剥离”出思维活动及其规律的结构模型,这些结构模型在别的方面成为反映客观现实规律的方法。数学化作为逻辑严密的科学,其特征早在柏拉图时就被注意到了。物理学数学化的原因表现在:(1) 所有物理学需要数学的语言; (2) 更宽广范围的数学理论的应用衍生物理分支学科; (3) 促成物理学的分化和整体化的加剧; (4) 物理学与数学的相辅相成; (5) 依靠数学方法,物理学的研究法效用加强; (6)处理新类型的科学问题和社会问题,特别是综合性问题的需要。

三、近代物理的数学化历史

数学向自然科学渗透,可以说从古代就开始了,古典物理学的数学化主要表现在推算历法、进行各种测量。自然科学发展到今天,随着科学实验的诞生,数学方法的应用范围进一步扩大,而且出现与古代不同特点:数学方法与实验方法相结合,科学家愈来愈认识到数学在探索自然奥秘中的重大贡献,像伽利略、牛顿、麦克斯韦等在他们研究中都十分重视数学方法的运用。贝内代蒂引进几何方法论证落体,阿基米德创立数学物理方法,列奥纳多·达·芬奇计算速度-位移公式,伽利略钻研落体运动,定义匀加速运动发现惯性定律,使物理学摆脱了经院哲学的束缚而成为一门独立学科,伽利略以后,物理学的数学化加快了步伐。自牛顿开始、由于微积分的发展,天体运动得到了很好的解释,力学的基本规律也逐步趋于完善统一。《自然哲学之数学原理》、《光学》等书籍的出版开创了全新的研究方法,为物理学中运动学、动力学、光学等众多领域的发展打下了坚实的基础。亥姆霍兹用数学公式给出了能量守恒,克劳修斯引入状态函数与熵完成热力学第二定律的数学表述。19世纪60年代,麦克斯韦用四个方程建立了系统严密的电磁场理论,揭示了电磁场之间的联系,计算光速,大胆的预言了“光是一种电磁波”,在伯努利和克劳修斯的基础上得出麦克斯韦分布与麦克斯韦妖的理论,随后玻尔兹曼的“H定理”证明热力学平衡态的存在,其中包含了分立能级的思想,与此同时1873年范德瓦尔斯物态方程方程阐述分子运动,后来吉布斯的《统计力学原理》则创立了系综的方法。在谈到物理学和数学的关系时,当代著名美籍华裔物理学家杨振宁说: “可以用两片生长在同一根管茎上的叶子,来形象化地说明数学与物理之间的关系。数学与物理是同命相连的,它们的生命线交接在一起。”

四、近代物理数学化理论建立的历程

4.1物理学数学化的开始——数学实验方法

伽利略被誉为近代物理学之父,他把实验与数学相结合,开创了近代科学的有效研究方法——数学实验方法。伽利略起初的研究可以分为三个步骤:(1)提取出从现象中获取的直观认识的主要部分,用最简单的数学形式表示出来,以建立量的概念;(2)由此式用数学方法导出另一易于实验证实的数量关系;(3)通过实验证实这种数量关系。

[3]匀加速运动规律的研究展示了他的跨时代研究方法。 伽利略从斜面滚球实验开启了物理实验现象到推理的进化,而在落体运动的研究中,伽利略改变了中世纪物理学虚假的世界,改变了物理学形而上学和常识“观察”相结合中盘旋的状态。否定了“亚里士多德的主要错误是,他的物理学忽略了,甚至排除了不可动摇的数学哲学这个基础。[1]”从斜面滚球实验和理论上否定了统治千余年的亚里士多德关于“落体运动法则” (物体下落速度和重量成比例)确立了正确的“自由落体定律”:2H t ∝、V t ∝ 。伽利略对运动基本概念,包括重心、速度、加速度等都作了详尽研究并给出了严格的数学表达式。

伽利略开辟了实验——数学方法,使物理学成为一门独立的学科,开启了物理学的数学化大门。他的实验是科学的实验,数量关系是客观事物性质的重要形态,他在《黄金的检验者》一书中说:“如果没有掌握自然界的数学语言,自然界这本大书及不可能理解。”认识自然就是认识自然界的数量关系以及按数量关系而产生作用的力学定理。使人类的认识过程由感性经验上升到理性阶段,在感性经验阶段,通过实验认识事物的数量关系、形状等,而用几何学、算术这些数量学知识可以揭秘事物的规律。

经过后人的巩固与整理,形成了目前的实验——数学方法是:在实验的基础上,重视把数学概念、理论、公式用于对物体运动的研究,把物理概念及其相互联系用简洁的数学形式表达出来,从而使物理概念量化,形成物理量,并用数学形式揭示自然界的物理本质,把观察与实验的结果上升到理论的高度。这种方法的特点是:从量的方面研究物体运动,把实验与逻辑推理相互验证、相互补充。其中,把实验与数学方法密切结合是非常突出的特点。正如爱因斯坦评价伽利略的科学方法在于毁灭直觉的观点而用新的观点(理论和实验联系起来)来代替它,这种研究思维应是物理学研究的真正思想。

4.2物理学数学化的形成——《原理》的出版

尽管伽利略、开普勒运用数学所作的尝试是卓越的,但都只是用数学的方法解决局部问题,试探性地对客观自然现象和经验事实进行部分的定量研究。牛顿在自然科学史上真正实现了物理科学的系统的数学化。牛顿在物理学上革命性举动正像他的巨著《自

然哲学之数学原理》的名称所要表明的那样,建立起“自然哲学”的数学原理。在他看来,数学方法对于研究自然是有效的,是符合物理学的研究本性的也是符合物理学研究的抽象化方向的,微积分与万有引力定律对物理学以及对航天事业的影响,足以证明物理学的数学化是一次正确的革命。

牛顿在研究经典力学规律和万有引力定律时,碰到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法(后演变为微积分)。牛顿的微积分是从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。从某种角度上推动了数学的发展。如同爱因斯坦说,只有微积分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求,热力学和统计物理中亥姆霍兹的《论力的守恒》、克劳修斯对热力学第二定律的阐述、熵的研究、分子运动的研究、电磁场理论、量子物理的深度发展都源于这个伟大的发明。

4.3光学的数学化

如果没有数学的引入,光学就不可能得到发展,不管是几何光学还是波动光学乃至现在的量子光学研究。反射定律是人们很早就认识的光学定律之一。单凭观察只会使得光学停滞不前,值得庆幸的是在欧几里德与斯涅尔的基础上,笛卡尔于1637年出版《屈光学》提出折射定律,即入射角与折射角的正弦之比为常数。色散试验、折射望远镜、反射式望远镜、肥皂泡的色彩现象、“牛顿环”的光学现象等几何光学的发展,其中多运用几何推理,以观察证明居多,光的本性的研究则开启了光学的数学化大门,牛顿提出了光的“微粒说”,后来惠更斯提出“波动说”,托马斯。杨的双缝干涉实验与菲涅耳的衍射现象以及泊松巧妙的数学计算推出的泊松亮点证实了波动学,从此光学实验大量涌出,使得19世纪物理光学飞速发展。19世纪中后期傅科和迈克尔逊对光速的测定,使得光的波动学更加巩固。光谱学的发展从某种意义上肯定了光的微粒性,它们为人类做出的贡献更是不言而喻的:定性化学分析,新元素预测,获取原子、分子等的能级结构、能级、寿命电子组态、分子几何形状、化学键的性质反应动力学等物理结构的知识。

正如牛顿在《光学》书末最后一条疑问里,做出如下较详细的说明:“在自然哲学里,应当像数学里一样,在研究困难的事物时,总是先用分析的方法,再用综合的方法。这种分析方法包括进行实验和观察,并且用归纳法从中推出普遍结论……用这样的分析方法,我们可以从复合物推知其中的成分,从运动推知产生运动的力;并且一般地说,

从结果推知原因,从特殊原因推知更普遍的原因,一直到最普遍的原因为止。这就是分析的方法;而综合的方法则包括设定已经发现的原因,并且把它们确立为原理,再用这些原理去解释由它们而发生的现象,并且证明这些解释的正确性。”光学的发展充分显示了理论与实验本领的奇妙结合,推求数学方法,把物理原则转变为可凭观察证实的、可用数量计算的结果,并且从这样的观察求出物理原则。

4.2.3牛顿的数学物理方法

牛顿的研究方法再一次创造出了新的、较为单纯的科学方法:从物理科学知识的获取上引入了归纳方法、分析综合的方法、公理化方法、结论的实验检验方法,使它们有机地协调、构筑起崭新的以数学方法、实验方法为“双星”核心体系。对此,牛顿作了说明:“在自然科学里,应该象在数学里一样,在研究困难的事物时,总是应当先用分析的方法,然后才用综合的方法。这种分析的方法包括作实验和观察,用归纳法去从中作出普遍结论,并且不使这些结论遭到异议,除非这些异议来自实验或者其他可靠的真理方面。”

牛顿把数学与物理结合了起来,他有效地应用的数学—物理方法,成了近代物理学的重要方法。用数学解释自然,使科学到了牛顿时代获得极大成功,完成了物理学的第一次综合,建立了经典力学体系。从此以后,科学发展走上了精密自然科学的道路,科学的数学化使人类能以惊人的准确性预言许多自然现象,科学的理性力量才真正表现出来。牛顿的科学思想和科学方法不仅使他少走了弯路,而且深刻地影响着以后物理学家的思想、研究和实践的方向,这说明科学思维方法的极端重要性。从物理学的重大发现中吸取科学思想、科学方法的营养,对提高我们提出问题、分析问题和解决问题的能力都是大有裨益的。

4.3物理学数学化的成熟——麦克斯韦方程

电磁学与光学、运动学、动力学都有着悠久的历史,从远古到18世纪中晚期是电磁现象的早期研究阶段,以对电磁现象的观察实验以及定性研究为主,直到18世纪晚期到19世纪早期,库仑首次开始对电磁现象的定量研究,发表库仑定律,接着奥斯特发表电流磁效应,标志着电磁学的开始,安培借助库仑定律与万有引力的相似性,把引力领域的超距论嫁接到电磁学,创立了大陆派超距论电动力学体系,1845年纽曼和韦伯发展了安培电动力学体系,并成功的解释了法拉第的电磁感应现象。1861~1865年,麦克斯韦提出电位移和位移电流的概念,并从理论上预言了电磁波的存在,建立了麦克斯

韦方程组,后来赫兹于1886~1888年通过实验证实了麦克斯韦的预言,也因此彻底否定了电超距论思想,导致了无线电的诞生,开辟了电磁波通讯的新纪元。

4.3.1.1麦克斯韦建立的电磁场理论

麦克斯韦决定用数学方法研究法拉第的数学假设,弥补法拉第电磁学说在表述方面的弱点。他效法法拉第设计了力线的流体动力模型,广泛应用力学类比,把法拉第关于力线的思想表述为一个矢量微分,1856年,他发表了关于电磁场的第一篇论文《论法拉第的力线》。1861年麦克斯韦深入分析了法拉第电磁感应现象,敏锐地感到即使没有导体回路,变化的磁场也能在其周围产生电场。他把这种电场称为“涡旋电场”。同年12月,麦克斯韦提出“位移电流”的概念,位移电流保证了电流的连续性,丰富了安培定律的内容,这一提法又是一个第一流的独创,它揭示了变化的电场和磁场相联系。1862年,麦克斯韦整理总结了这些工作并在英国《哲学杂志》上发表了第2篇电磁论文《论物理的力线》,从理论上预见了电磁波的存在。1864年他的第3篇论文《电磁场的动力学理论》,从几个基本实验事实出发,径直把电磁场作为客体摆在电磁理论的核心地位,运用场论的观点,以演绎法建立了系统的电磁理论。他指出,不仅传导电流可以产生磁场,空间电场的变化也可以产生磁场;反之,不仅变化的磁场在导体中感生出电流,在空间中也会产生电场。这种电场是涡旋场,它不断改变其强度,因此它又可以产生变化的磁场。这样一来就有一连串的变化的电场和磁场不断产生,一环连着一环,交替出现并且向四面八方传播开来,这种物质运动形式就是电磁波。把电磁场明确地定义为是一种物质,为了定量地刻画电磁场的转化和电磁波的传播规律,麦克斯韦运用应用应力、变形、压力、涡动及其他概念、矢量分析和微分方法,并把它的全部表现形态用个带可变数的方程式表述出来,引进了两组偏微分方程。后来,科学家用这些方程式建立了精密的麦克斯韦方程组。

近代物理学的数学化进程

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?=??????=-??????=+??? 4.3.1.2麦克斯韦方程对电磁学发展的影响

通过麦克斯韦方程组,可导出一系列不同波长和频率的电磁波,并由于波长的量变

引起了波特性和功能的质变。诸如在这之前就已发现的红外线、可见光、紫外线,在这以后陆续被发现的x 射线、微波和超短波、中波、长波等无线电波,都属于电磁波,都可以从这组奇妙的方程中找到各自的位置。

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位,如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论,是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的电磁相互作用的完美统一,为物理学家树立了这样一种信念:物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外,这个理论被广泛地应用到技术领域。

4.3.2热力学和统计物理的数学化

麦克斯韦精湛的数学功底不仅促成了电磁学的统一与发展,它还极大的推动了统计物理学的发展。麦克斯韦在对土星环的研究过程中,遇到了许多概率理论的问题,同时又受到克劳修斯《关于气体分子的平均自由路程》(该文将概率思想引入物理学及其计算之中,文章用统计方法推求分子运动平均自由程时采用了速率相等的假定)的影响,从而开始了对气体动力学的研究。 他于1859年9月21日做了题为《关于气体动力理论的说明》的报告,考虑到各个分子实际运动速度不同,利用概率论和统计方法确立了气体分子按速度分布的统计规律(麦克斯韦速度分布律),提了著名的分子运动速度分布律,纠正了前辈学者伯努利和克劳修斯在这方面的错误。这个报告初次把统计学用于描述物理现象,标志着新的科学发展时期的来临。1860年,麦克斯韦用分子速度分布律和平均自由程的理论推出一个粘滞系数公式,得到粘滞系数与气体分子密度无关的结论,并在1866年亲自做实验验证了这个结果。1872年,玻尔兹曼引进分子分布函数定义的H 函数和熵发表了研究气体从不平衡过度到平衡的过程的玻尔兹曼方程;1873年,吉布斯用系统参数的变化表示系统内能的变化,得到热力学基本方程,

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i i i i i D D D p q p p =????++= ?????∑,后又将热学的唯象论和分子运动论综合到一个整体,系统研究系综,发表《统计力学基本原理》完成统计物理的伟大统一。

五、近代物理数学化促使现代物理高度数学化 20世纪初,数学物理方程的研究开始成为物理学数学化的重要内容。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究,人们对时空观念发生了根本的变化。这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。在探讨大范围时空结构时,还需要整体微分几何。物理和数学之间的关系是一种相互影响,

甚至是相互依存的关系,从而产生了数学物理这门独立的学科。量子力学和量子场论的产生,使数学物理添加了非常丰富的内容。此后基于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术、核技术等方面的需要,又有许多新的偏微分方程问题出现,如孤立子波,间断解,分歧解,反问题等,它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。

在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。随着电子计算机的发展,数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决。由此发展起来的计算力学、计算物理都发挥着越来越大的作用。科学的发展表明,数学物理的内容越来越丰富,解决物理问题的能力也越来越强。数学物理的研究对数学也有很大的促进作用,它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。

六、自然科学必须数学化

自然科学需要运用数学方法来研究各门本门学科的事物和现象的量、推导演算此类事物和现象质的,对自然现象的观察和已有的实验数据,通过科学分析后根据有关科学原理和实验定律,对实验数据进行定量处理变成数学问题,再用数学原理方法对数学问题进行求解和检验,这样才能蕴育新的思维,新的方法,新的科学,更好的促进人类社会的发展。

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