外力虚功可以表示为：
{}{}{}{}dA
F u dV F u W s A T
b T
V
p ∫∫∫∫∫+=1
——结构外力已知表面。
1
A V ——结构或弹性体的体积
{}??
?
???????=),,(),,(),,(z y x F z y x F z y x F F sz sy sx s {}??
???
???
??=),,(),,(),,(z y x F z y x F z y x F F bz by bx b {}??
?
???????=),,(),,(),,(z y x w z y x v z y x u u ——结构内任意点的位移向量。
——结构体力载荷向量。
——结构面力载荷向量。
§3-2 有限元分析的一般过程
一、结构的离散化
将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点
相互连接的离散系统。
这一步要解决以下几个方面的问题:
1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。
2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。
3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。
4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。
5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。
{}[]{}
)
(e Q
N u ?=在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。
位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。
但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。
二、选择位移插值函数1、位移插值函数的要求
2、计算单元外力功{}{}{}[]{}{}[]{}dV F N Q dV F N Q dV F u W b
T
V T
e b
T
T V e b
T
V e b e e e ?=?=
?=
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
)
()
()
()
()
()({}[]{}dV
F N P b
T
V e b
e ?=
∫∫∫
)
()({}{}
)()()
(e b
T
e e b P Q
W =1) 体力虚功
令：称单元等效体力载荷向量。
单元体力虚功可以表示为：{}{}{}[]{}{}[]{}∫∫
∫∫∫∫?=?=?=
)
(1)
(1)
(1)
()
()
(e e e A s
T
T
e s
T
T
A e s
T
A e s
dA
F N Q dA F N Q dA F u W 2) 表面力虚功
——单元上外力已知的表面,注意！这里只考虑结构的边界表面。
e A 1
{}[]{}∫∫?=
)
(1)
(e A s
T
e s
dA
F N P 令：称单元等效面力载荷向量。
单元表面力虚功可以表示为：{}{}
)()()
(e s
T
e e b P Q
W =用上面两个积分计算的等效载荷向量称为一致载荷向量，实际分析时
对于一些简单单元还可以用静力学等效原理计算等效载荷向量。
从前面推导可以看出：
单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。
在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。
所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。
几点说明：
1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。
2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。
2、计算整个结构的外力虚功。
{}{}{}{}{}{}{}{}
i
T
n
e e s
T
e n
e e b
T
e i T
n
e e s
n
e e b
P P Q P Q P Q
P Q W
W
W ++=
++
=
∑∑∑∑====1
)
()
(1
)
()
(1
)(1
)(将变换形式写成
{}{})()(,e b
T
e P Q
{}{}
)
(~,e b T P Q 将变换形式写成{}{})()
(,e s
T
e P Q {}{}
)(~,e s
T
P Q 外力虚功可以表示为：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}?
?
??
?
?++
=++
=
∑
∑
∑
∑
====i n
e e s n
e e b T i T n
e e s T n
e e b T p P P P Q P Q P Q P Q W 1
)
(1
)
(1
)(1
)
(~~~~令：——结构整体等效节点载荷向量。
{}{}{}{}i
n
e e s
n
e e b
P P P P ++=∑∑==1
)
(1
)(~
~外力虚功可以进一步表示为：{}{}
P Q W T
P =结构的外力虚功可计算的部分只有
{}
P 所以我们说，结构的外力虚功可计算就归结为结构整体等效节点载荷向量的计算。
5、整体刚度矩阵的性质
1）稀疏性
整体刚度矩阵是一个大型稀疏矩阵，非零元素不到10%，对于大型实际问题可能只有2%~5% 。
2）带状分布
带状分布是说整体刚度矩阵的非零元素全都分布在对角线附近的一个带状区域内。带状区域的宽度称为带宽，它与模型的节点编序有关，合理的节点编号，可以减小带宽。因此，很多有限元前处理软件都有带宽优化模块。
3）对称性
整体刚度矩阵也是是对称矩阵。
程序设计时可以充分利用这些特性来达到节约内存，提高计算效率的目的。
例如：实际程序中通常采用半三角存储、一维等带宽存储和一维变带宽存储等紧缩存储方案。
五、约束处理
引入已知位移边界条件，消除刚体位移，使方程具有唯一解。
[]{}{}
P
Q K ~~~=?七、计算单元应力
{}[]{}[][]{}
)
(e Q B D D ??=?=εσ一般来说是坐标的函数，实际分析是往往取几个固定值（点）进行计算，这些点称应力输出点，做强度校核还要计算等效应力。
[]B 六、方程求解
{}[]{}
P
K
Q ~~~1
?=求解近似平衡方程可以得到全部节点位移。可以利用节点位移评价结构的静刚度
单元位移插值函数单元几何矩阵单元刚度矩阵
单元等效体力载荷向量单元等效面力载荷向量结构整体刚度矩阵（总刚）结构整体等效节点载荷向量单元应力计算公式
[][][]
N B ??=[][][][]dV
B D B K T
V e e
??=∫∫∫)
({}[]{}dV
F N P b
T
V e b
e
?=∫∫∫)({}[]{}∫∫?=)(1
)
(e A s
T
e s
dA
F N P [][
]
∑=)(~e K
K {}[]{}[][]{}
)
(e Q B D D ??=?=εσ小
结
{}[]{}
)
(e Q N u ?={}{}{}{}
i
n
e e s
n
e e b
P P P
P ++=∑∑==1
)(1)(~
~