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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．
12i
12i
+=- A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =
6．在ABC △中，cos
2C 1BC =，5AC =，则AB =
A ．
B
C
D ．
7．为计算11111
123499100
S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，
则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
112
B ．
114
C ．
1
15
D ．
118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ．
23
B ．
12
C ．13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??
-+≥??-≤?
，，， 则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的
面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，
，…，）建立模型①：?30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，
，…，）建立模型②：?9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网 19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=??=?，
（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+??
=+?
，
（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
C
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参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B
8.C
9.C
10.A
11.C
12.D
二、填空题
13.2y x =
14.9
15.1
2
-
16.
三、解答题 17. (12分)
解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--. 所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?30.413.519226.1y
=-+?=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?9917.59256.5y
=+?=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化
趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至
2016年的数据建立的线性模型?9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ?=+>，故1222
24
k x k x ++=.
所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
00220005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)
解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP =
连结OB .
因为2
AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥. 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .
（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),3),O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
.
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r
.
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .
由0,0AP AM ?=?=u u u r u u u r n n
得20(4)0
y ax a y ?+=??+-=??
，可取,)a a =--n ，
所以cos ,OB =
uu u r
n
由已知得|cos ,|2OB =uu u r n .
2
.解得4a =-（舍去），43a =.
所以4(,)333=--n .
又(0,2,PC =-u u u r
，所以cos ,4
PC =
uu u r n . 所以PC 与平面PAM
所成角的正弦值为
4
.
21．（12分）
【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．
设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．
当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故2
4(2)1e a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①若(2)0h >，即2e
4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②若(2)0h =，即2e
4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③若(2)0h <，即2e
4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以3334224
1616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e
4
a =．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??
=-<≤??-+>?
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．