因式分解对称式交代式和轮换式 1、基本概念 (1)对称式:在一个代数式中,如果把它所含的两个字母互换,式子不改变,那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如a b +,22a ab b ?+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。 一般地,在一个代数式中,无论把其中哪两个字母互换,式子都不变,那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式,如a b c ++,222a b c ab bc ca ++???,3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的对称式。 (2)交代式:在一个代数式中,如果把它所含的两个字母互换,得到的式子和原来的代数式只差一个符号,那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把a b ?,22a b ?中的两个字母,a b 互换,分别为()b a a b ?=??,2222()b a a b ?=??则a b ?,22a b ?就叫做关于,a b 的交代式。 (3)轮换式:在一个代数式中,如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母,以此类推,最后一个字母换成第一个字母),式子不变,那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式,简称轮换式,如a b c ++,ab bc ca ++,3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的轮换式。 2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式 二元一次齐次对称式:)(b a L +; 二元二次齐次对称式:Mab b a L ++)(22; 二元三次齐次对称式:)()(33b a Mab b a L +++。 (2)三元齐次对称式 三元一次齐次对称式:)(c b a L ++; 三元二次齐次对称式:)()(222ca bc ab M c b a L +++++; 三元三次齐次对称式:)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。其中L,M,N 都是待定的常数,不含有,,a b c 。 3、基本性质 (1)对称式一定轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如a c c b b a 222++是轮换式,但把,a b 互换,得到b c c a a b 222++,显然它不是关于,a b 的对称式。
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
对称分量法(零序,正序,负序)的理解与计算 1)求零序分量:把三个向量相加求和。即A相不动,B相的原点平移到A相的顶端(箭头处),注意B相只是平移,不能转动。同方法把C相的平移到B相的顶端。此时作A相原点到C相顶端的向量(些时是箭头对箭头),这个向量就是三相向量之和。最后取此向量幅值的三分一,这就是零序分量的幅值,方向与此向量是一样的。 2)求正序分量:对原来三相向量图先作下面的处理:A相的不动,B相逆时针转120度,C 相顺时针转120度,因此得到新的向量图。按上述方法把此向量图三相相加及取三分一,这就得到正序的A相,用A相向量的幅值按相差120度的方法分别画出B、C两相。这就得出 了正序分量。 3)求负序分量:注意原向量图的处理方法与求正序时不一样。A相的不动,B相顺时针转120度,C相逆时针转120度,因此得到新的向量图。下面的方法就与正序时一样了。 对电机回路来说是三相三线线制,Ia+Ib+Ic=0,三相不对称时也成立; 当Ia+Ib+Ic≠0时必有一相接地,对地有有漏电流; 对三相四线制则为Ia+Ib+Ic+Io=0成立,只要无漏电,三相不对称时也成立; 因此,零序电流通常作为漏电故障判断的参数。 负序电流则不同,其主要应用于三相三线的电机回路; 在没有漏电的情况下(即Ia+Ib+Ic=0),三相不对称时也会产生负序电流; 负序电流常作为电机故障判断; 注意了: Ia+Ib+Ic=0与三相对称不是一回事; Ia+Ib+Ic=0时,三相仍可能不对称。 注意了: 三相不平衡与零序电流不可混淆呀! 三相不平衡时,不一定会有零序电流的; 同样有零序电流时,三相仍可能为对称的。(这句话对吗?) 前面好几位把两者混淆了吧!
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =(a+2b) 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析:1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
对称分量法基本概念和简单计算 正常运行的电力系统,三相电压、三相电流均应基本为正相序,根据负荷情况(感性或容性),电压超前或滞后电流1个角度(Φ),如图1。 图1:正常运行的电力系统电压电流矢量图 对称分量法是分析电力系统三相不平衡的有效方法,其基本思想是把三相不平衡的电流、电压分解成三组对称的正序相量、负序相量和零序相量,这样就可把电力系统不平衡的问题转化成平衡问题进行处理。在三相电路中,对于任意一组不对称的三相相量(电压或电流),可以分解为3组三相对称的分量。 图2:正序相量、负序相量和零序相量(以电流为例) 当选择A相作为基准相时,三相相量与其对称分量之间的关系(如电流)为: IA=Ia1+Ia2+Ia0――――――――――――――――――――――――――○1 IB=Ib1+Ib2+Ib0=α2 Ia1+αIa2 + Ia0――――――――――○2 IC=Ic1+Ic2+Ic0=α Ia1+α2 Ia2+Ia0―――――――――――○3 对于正序分量:Ib1=α2 Ia1,Ic1=αIa1 对于负序分量:Ib2=αIa2,Ic2=α2Ia2
对于零序分量:Ia0= Ib0 = Ic0 式中,α为运算子,α=1∠120°, 有α2=1∠240°, α3=1, α+α2+1=0 由各相电流求电流序分量: I1=Ia1= 1/3(IA +αIB +α2 IC) I2=Ia2= 1/3(IA +α2 IB +αIC) I0=Ia0= 1/3(IA +IB +IC) 以上3个等式可以通过代数方法或物理意义(方法)求解。 以求解正序电流为例,对物理意义简单说明,以便于记忆: 求解正序电流,应过滤负序分量和零序分量。参考图2,将IB逆时针旋转120°、IC逆时针旋转240°后,3相电流相加后得到3倍正序电流,同时,负序电流、零序电流被过滤,均为0。故Ia1= 1/3(IA +αIB +α2 IC) 对应代数方法:○1式+α○2式+α2○3式易得:Ia1= 1/3(IA +αIB +α2 IC)。 实例说明: 例1、对PMC-6510仅施加A相电压60V∠0°,则装置应显示的电压序分量为: U1=U2=U0=1/3UA=20V∠0° 例2、对PMC-6510施加正常电压,UA=60V∠0°,UB=60V∠240°,UC=60V∠120°,当C相断线时,U1=?U2=?U0=? 解:U1=Ua1= 1/3(UA +α2UB + αUC)= 1/3(60V∠0°+ 1∠240°*60V∠240°) =20∠60°;(当C相断线时,接入装置的UC=0。) U2=Ua2= 1/3(UA +α UB +α2UC)= 1/3(60V∠0°+ 1∠120°*60V∠240°) =40∠0°; U0=Ua0= 1/3(UA + UB +UC)=1/3(60V∠0°+ 60V∠240°) =20∠300°。 郑顺桥 2008-12-20 如果接地阻抗为Zn的话,那么Zn表现 为3Zn~ 原因是接地电流为3倍I1 a=1∠120°= -0.5+j0.866 => 1+a^2+a = 0 Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2
二项式定理和多项式定理 1.固定分组问题 例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生,求分别满足下列条件的分配方法各有多少种: (1)4位学生每人3本; (2)甲、乙各得4本,丙、丁各得2本; (3)甲得5本,乙得4本,丙得2本,丁得1本. 解 (1)先从12本书中选取3本分给甲,有3 12C 种方法;当甲分得3本书后, 从剩下的9本书中选取3本分给乙,有3 9C 种方法;类似可得,丙、丁的分法分别 有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有312C 39C 36C 33 C =4 )!3(! 12=369600种; (2)与(1)的解法类似可得所求分配方法种数为 484 12C C 2224 C C =! 2!2!4!4! 12???=207900; (3)与(1)的解法类似可得所求分配方法种数为 47512C C 1 1 23C C =! 1!2!4!5! 12???=83160. 在例1中是将不同的书分给不同的学生,并且指定了每人分得的本数,我们称之为固定分组问题.我们将这个问题总结成如下一般定理: 定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1,2,…,r 的r 个组:1A ,,, 2A r A ,使得1A 有n 1个元素,2A 有2n 个元素,…,r A 有r n 个元素,n n n n r =+++ 21,则不同的分组方法共有 ! !!! 21r n n n n ??? 种. 证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ,这一步有1 n n C 种方法;再从 剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ,这一步有2 1n n n C -种方法;如此继续下去,最后剩下的r n 个元素分给r A ,有r r n n C 种方法,由乘法原理得这样的固定分组方法共有1n n C 21n n n C -…r r n n C = ! !!! 21r n n n n 种.证毕.
因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍 因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主 要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等 因式分解的一般步骤是: (1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤 都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解; (2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项(添项)等方法;。 注意:将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法? 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因
F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ; (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边,且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解:a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:am an bm bn 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用 公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考 虑两组之 间的联系。 式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ------- a (2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ------- a ⑶(a+b)(a 2 -ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ; 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ; a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 3 _b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ab bc ca ,