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高考数学复习第二轮---重点难点专项突破33__函数的连续及其应用

高考数学复习第二轮---重点难点专项突破33__函数的连续及其应用
高考数学复习第二轮---重点难点专项突破33__函数的连续及其应用

难点33 函数的连续及其应用

函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.

●难点磁场

(★★★★)已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32

x x x x x x

(1)讨论f (x )在点x =-1,0,1处的连续性;

(2)求f (x )的连续区间.

●案例探究

[例1]已知函数f (x )=2

42+-x x , (1)求f (x )的定义域,并作出函数的图象;

(2)求f (x )的不连续点x 0;

(3)对f (x )补充定义,使其是R 上的连续函数.

命题意图:函数的连续性,尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.

知识依托:本题是分式函数,所以解答本题的闪光点是能准确画

出它的图象.

错解分析:第(3)问是本题的难点,考生通过自己对所学连续函数

定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.

技巧与方法:对分式化简变形,注意等价性,观察图象进行解答.

解:(1)当x +2≠0时,有x ≠-2

因此,函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞)

当x ≠-2时,f (x )=2

42+-x x =x -2, 其图象如上图

(2)由定义域知,函数f (x )的不连续点是x 0=-2.

(3)因为当x ≠-2时,f (x )=x -2,所以)2(lim )(lim 2

2-=-→-→x x f x x =-4.

因此,将f (x )的表达式改写为f (x )=??

???-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x

则函数f (x )在R 上是连续函数.

[例2]求证:方程x =a sin x +b (a >0,b >0)至少有一个正根,且它不大于a +b .

命题意图:要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点,因此根据连续函数的性质,只要找到图象上的两点,满足一点在x 轴上方,另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.

知识依托:解答本题的闪光点要找到合适的两点,使函数值其一为负,另一为正.

错解分析:因为本题为超越方程,因而考生最易想到画图象观察,而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用

.

证明:设f (x )=a sin x +b -x ,

则f (0)=b >0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0,

又f (x )在(0,a +b ]内是连续函数,所以存在一个x 0∈(0,a +b ],使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根,也就是方程x =a ·sin x +b 的根.

因此,方程x =a sin x +b 至少存在一个正根,且它不大于a +b .

●锦囊妙计

1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念:

等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是:(1)f (x 0)在x =x 0处有定义,即f (x 0)存在;(2)lim 0

x x →f (x )存在,这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义;(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值,即lim 0x x →f (x )=f (x 0).

函数f (x )在x 0处连续,反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.

2.函数f (x )在点x 0不连续,就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.

其情形:(1)lim 0x x →f (x )存在;f (x 0)存在,但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0

x x →f (x )存在,但f (x 0)不存在.(3) lim 0x x →f (x )不存在.

3.由连续函数的定义,可以得到计算函数极限的一种方法:如果函数f (x )在其定义区间内是连续的,点x 0是定义区间内的一点,那么求x →x 0时函数f (x )的极限,只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了,即lim 0

x x →f (x )=f (x 0). ●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)若f (x )=1

11

13-+-+x x 在点x =0处连续,则f (0)等于( ) A.23 B.32 C.1 D.0

2.(★★★★)设f (x )=???????<<=<<21

11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0,2)

B.(0,1)

C.(0,1)∪(1,2)

D.(1,2)

二、填空题 3.(★★★★)x

x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________. 4.(★★★★)若f (x )=??

???≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续,则a 的值为_________. 三、解答题

5.(★★★★★)已知函数f (x )=???????=≠+-)0(

1)0( 1

21211

x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续?说明理由;

(2)讨论f (x )在闭区间[-1,0]和[0,1]上的连续性.

6.(★★★★)已知f (x )=??

???≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (-x );

(2)求常数a 的值,使f (x )在区间(-∞,+∞)内处处连续.

7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.

8.(★★★★)求函数f (x )=??

???>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.

参考答案

难点磁场

解:(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=-1,所以lim 1

-→x f (x )不存在,所以f (x )在x =-1处不连续, 但lim 1-→x f (x )=f (-1)=-1, lim 1

--→x f (x )≠f (-1),所以f (x )在x =-1处右连续,左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在,所以lim 1

→x f (x )不存在,所以f (x )在x =1不连续,但左连续,右不连续.

又lim 0

→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.

(2)f (x )中,区间(-∞,-1),[-1,1],(1,5]上的三个函数都是初等函数,因此f (x )除不连续点x =±1外,再也无不连续点,所以f (x )的连续区间是(-∞,-1),[-1,1]和(1,5].

歼灭难点训练

一、1.解析:]11][11)1()[11(]

11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f

2

311111)0(1

11

1)1(323=+++=++++++=f x x x 答案:A

2.解析:11lim )(lim 1

1==++→→x x x f

21)1(1)(lim ,1lim )(lim 11

1=≠===→→→-

-f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续,显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.

答案:C 二、3.解析:利用函数的连续性,即)()(lim 00

x f x f x x =→,

π

=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案:π

1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=+

+---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案:2

1 三、5.解:f (x )=?????=≠+-)0(

1)0(12111x x x

(1) lim 10-→x f (x )=-1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0

→x f (x )不存在,故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(-∞,+∞)上除x =0外,再无间断点,由(1)知f (x )在x =0处右连续,所以f (x )在[

-1,0]上是不连续函数,在[0,1]上是连续函数.

6.解:(1)f (-x )=??

???≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(-∞,+∞)内处处连续,只要f (x )在x =0连续,lim 0

-→x f (x ) = lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x

x x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续,只要lim 0+→x f (x )= lim 0

+→x f (x ) = lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =2

1 7.证明:设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(-∞,+∞)连续,且x →+∞时,f (x )→+∞;x →-∞时,f (x )→-∞,所以必存在a ∈(-∞,+∞),b ∈(-∞, +∞),使f (a )·f (b )<0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次,即f (x )=0至少有一实根.

8.解:不连续点是x =1,连续区间是(-∞,1),(1,+∞)

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高三数学二轮复习教学案一体化:函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用(2) 高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容,不仅适合单独命题,而且可以综合运用于其它内容.函数是中学数学的最重要内容,它既是工具,又是方法和思想.在江苏高考文理共用卷中,函数小题(不含三角函数)占较大的比重,其中江苏08年为3题,07年为4题. 2.函数的图像往往融合于其他问题中,而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外,函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体,这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中,知道信息越多,则解决问题越容易。 考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它 醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称,则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称 函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题,大致有两类:一类是同一个函数图象自身的对称性;一类是两个不同函数之间的对称性。 定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。 定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称 特殊地,函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,,值域为[]n m 2,2,m n <,则m n += -2 样题剖析 例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数,且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右 平移1个单位后得到函数)(x g 的图像,试解不等式: 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式:若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (-2,2) . 例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=,R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中 (1) 当b=0时,若)(x f 在),2[+∞上单调递增,求a 的取值范围;1≥a (2) 求满足下列条件的所有实数对),(b a :当a 为整数时,存在0x ,使得)(0x f 是)(x f 的最大值, )(0x g 是)(x g 的最小值。 (2224b b a -+=2)1(5--=b ,502≤

高考数学函数专题习题集复习资料

函数专题练习 (一) 选择题(12个) 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 )

(word完整版)高中数学函数图象高考题.doc

B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B ( ) y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3.当 a>1 时,函数 y=log a x 和 y=(1 - a)x 的图象只可能是( ) y A4.已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5.函数 y (a 1) 的图像大致形状是 ( ) | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x ( D 6.已知函数 x x x 1 ,则 f x ( 1- x )的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 - 1 D y y g( x) O x y O x D y O ) x y D 2

O x

A B C D D 7.函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8.若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是 ( ) y y y y o x o x o x o x A B C D A 9.一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a 1 (0,1) ,由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ,则该函数的图象是 ( ) A B C D C10.函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是( ) x y y y y O x O x O x O x A 11.设函数 f ( x ) =1- 1 x 2 (- 1≤ x ≤0)的图像是( ) A B C D

高考数学二轮复习专题02:函数与导数

高考数学二轮复习专题 02:函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题;共 34 分)
1. (2 分) (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f(x)=xln(x﹣1)﹣a,下列说法正确的是( )
A . 当 a=0 时,f(x)没有零点
B . 当 a<0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
C . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(1,2)
D . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
2. (2 分) (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点,则实数 的值为( )
3. (2 分) 已知函数 f(x)= -cosx,若 A . f(a)>f(b) B . f(a)0
, 则( )
4. ( 2 分 ) (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点,且
,则
,且


是函数
的值为( )
第 1 页 共 12 页

A. B. C. D.
5. (2 分) 定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= =f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
, 则关于 x 的函数 F(x)
6. (2 分) 已知函数 取值范围是( )
A. B.
的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线
垂直的切线,则实数 m 的
C.
D.
7. (2 分) (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f(x)满足:当 f(x)= ()
A.
第 2 页 共 12 页
,则 f(2+log23)=

2015高考数学专题复习:函数零点

2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______

高考数学复习三角函数常用公式

2019年高考数学复习三角函数常用公式 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。以下是三角函数常用公式,请打击学习记忆。 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及 sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度, 所得的部分图象如右图所示,则?的值为( ) A .6 π B .3 π C .12 π D .23 π 2.已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ,为了得到()sin 2g x x =的图象,则 只需将()f x 的图象( ) A .向右平移3π个长度单位 B .向右平移6 π个长度单位 C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移3 π 个长度单位 3.若113sin cos αα +=sin cos αα=( ) A .13- B .13 C .13-或1 D .13或-1 4.2014cos()3 π的值为( ) A .12 B . 3 2 C .12- D .32 - 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -.2 1k - C 2 1k -.2 1k k -- 6.若sin a = -45 ,a 是第三象限的角,则sin()4 a π +=( ) (A )-7210 (B ) 7210 (C )2 - 10 (D ) 210

7 .若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα,且)2 ,4(ππα∈,则α2tan 的值为( ) A .3 4- B .4 3- C .4 3 D .3 4 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是 ( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C .)(x f 的最大值为2 D .)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数2(ωφ),φ<2 π的图象,那么 A.ω=11 10,φ=6 π B.ω=10 11,φ6π C.ω=2,φ=6 π D.ω =2,φ6 π 10.要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的 图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3 π 个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12 π个单位 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象

高三数学二轮复习重点及策略

高三数学二轮复习重点及策略 高三数学二轮复习时间安排 1:第一阶段为重点知识的强化与巩固阶段,时间为3月1日—3月27日。 2:第二阶段是对于综合题型的解题方法与解题能力的训练,时间为3月28日—4月 16日。 专题一:函数与不等式,以函数为主线,不等式和函数综合题型是考点 函数的性质:着重掌握函数的单调性,奇偶性,周期性,对称性。这些性质通常会综 合起来一起考察,并且有时会考察具体函数的这些性质,有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数:一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数,初中阶段主要对它的一些 基础性质进行了了解,高中阶段更多的是将它与导数进行衔接,根据抛物线的开口方向, 与x轴的交点位置,进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序,这样可以判断导数的正负, 最终达到求出单调区间的目的,求出极值及最值。 不等式:这一类问题常常出现在恒成立,或存在性问题中,其实质是求函数的最值。 当然关于不等式的解法,均值不等式,这些不等式的基础知识点需掌握,还有一类较难的 综合性问题为不等式与数列的结合问题,掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题二:数列。以等差等比数列为载体,考察等差等比数列的通项公式,求和公式, 通项公式和求和公式的关系,求通项公式的几种常用方法,求前n项和的几种常用方法, 这些知识点需要掌握。 专题三:三角函数,平面向量,解三角形。三角函数是每年必考的知识点,难度较小,选择,填空,解答题中都有涉及,有时候考察三角函数的公式之间的互相转化,进而求单 调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形,向量的综合性问题,当然正弦,余弦定 理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化,是一个很重要的知识衔接点,它还 可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题四:立体几何。立体几何中,三视图是每年必考点,主要出现在选择,填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系,通过向量这一手段求空间距离,线面角,二面角等。 另外,需要掌握棱锥,棱柱的性质,在棱锥中,着重掌握三棱锥,四棱锥,棱柱中, 应该掌握三棱柱,长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点,当然常考察 的方法为间接证明。

高考数学函数专题习题及详细复习资料

函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>g )

2020高考数学二轮专题复习 三角函数

三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

高考数学函数专题

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。

高考数学二轮复习 函数概念与性质

2008高考数学二轮复习 函数概念与性质 一、考点、要点、疑点: 考点:1、理解函数的有关概念;2、理解函数的有关性质。 要点: (一)函数的有关概念: 1、传统定义:如果在某个变化过程中有两个变量x 、y ,并且对于x 在某个范围内的每一个确 定的值,按照某个对应法则f ,y 都有惟一确定的值和它对应, 那么y 就是x 的函数,记作y =f (x ) 近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射. 2、函数的三要素: 函数是由定义域...、值域..以及从定义域到值域的对应法则.... 三部分组成的特殊映射。 ① 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域的主要依据是: (1) 分式的分母不等于零; (2) 偶次方根的被开方数不小于零; (3) 对数式的真数必须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1。 ② 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 3、函数的表示法:解析式法、列表法、图象法。 (二)函数的有关性质: 1、函数的单调性: ① 一般地,设函数f (x )的定义域为 I , 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x , 2x , 当1x <2x 时,都有f (1x ) < f (2x ),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 当1x <2x 时,都有f (1x ) > f (2x ),那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数,例如函数2 x y =,当x ∈),0[+∞时是增函数, 当x ∈]0,(-∞时是减函数。 ② 单调区间: 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. ③ 用定义证明函数单调性的步骤 (1) 取值:对任意1x , 2x ∈M ,且1x <2x ; (2) 作差:f (1x ) - f (2x ); (3) 判定差的正负; (4) 根据判定的结果作出相应的结论。 ④ 导数方法判断函数的单调性

高考数学复习重点:函数

高考数学复习重点:函数 函数的概念 函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,含所有的输出值的集合被称作集合。若先定义映射的概念,可以简单定义函数为,定义在非空数集之间的映射称为函数。 一般地,给定非空数集A,B,从集合A到集合B的一个映射,叫做从集合A到集合B的一个函数。 向量函数:自变量是向量的函数叫向量函数f(a1.a2, a3......an)=y 如果X到Y的二元关系f:X×Y,对于每个x∈X,都有唯一的y∈Y,使得∈f,则称f为X到Y的函数,记做:f:X→Y。当X=X1×…×Xn时,称f为n元函数。 函数f的图象是平面上点对(x,f(x))的集合,其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线,则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义:一是三元组 (X,Y,G),其中G是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k0时,直线为降,过二四象限,向上或向下平移象限。函数的有界性

函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。 反函数 一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=f(y).若对于y在C 中的任何一个值,通过x=f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=f(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 二次函数:一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a≠0)(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左 当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac0时,函数在x=-b/2a处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有2n 种选择, 即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如:若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =;问:A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个;A 到B 的函数有 个,若}3,2,1{=A ,则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

2021年高考数学二轮复习专项训练:函数与导数

一、选择题 1.函数的界说域为() A.B.C.D. 2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上递加的是()A.B. C.D. 3.函数y=x2﹣2x﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是() A.﹣1B.0C.1D.2 4.界说在上的函数满意,,恣意的,函数在区间上存在极值点,则实数m的取值规模为() A.B.C.D. 5.已知,,,则的巨细联系是() A.B.C.D. 6.已知函数的图象如图所示,则函数的单调递加区间为() A.,B.,

C.,D., 7.界说在上的偶函数满意,且当时,,函数是界说在上的奇函数,当时,,则函数的零点的的个数是() A.9B.10C.11D.12 8.已知函数,若关于,,使得,则的最大值为()A.eB.1-eC.1D. 9.已知为界说在上的奇函数,当时,有,且当时,,下列出题正确的是() A.B.函数在界说域上是周期为的函数 C.直线与函数的图象有个交点D.函数的值域为 10.曲线在点处的切线方程为() A.B. C.D. 11.已知函数的导函数,且满意,则=() A.B.C.1D. 12.已知,直线与函数的图象在处相切,设,若在区间[1,2]上,不等式恒建立.则实数m()

A.有最大值B.有最大值e C.有最小值e D.有最小值 二、填空题 13.函数的界说域为 14.已知函数的导函数是,设、是方程的两根.若,, 则的取值规模为 . 15.若函数在区间两个不同的零点,则的取值规模是_____ 16.已知界说域为的函数,若关于恣意,存在正数,都有建立,那么称函数是上的“倍束缚函数”,已知下列函数:①; ②;③;④, 其间是“倍束缚函数”的是_____________.(将你以为 正确的函数序号都填上) 17.关于三次函数有如下界说:设是函数的导函数,是 函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”,也是函数图画上的点,则当时,函数的函数值是__________. 参考答案 1.B

2015高考数学专题复习:函数图像

2015高考数学专题复习:函数图像 1、判断函数图像依据: 1.基本函数图像特征: 2.奇偶性: 3.导数单调性: 4.特殊点: 5.定义域: 6.函数之间大小关系: 7.平移变换 2、指出下列函数与()x f y =的图像之间的关系: 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.() x f y = 8.()x f y -= 练习:已知()()()()?? ?≤<≤≤-=10........... 01.sin x x x x x f π,作出下列函数图像: 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.()x f y = 8.() x f y -=

1.函数)(x f y =与函数()x g y =的图像如右图所示,则函数()()x g x f y ?=的图像可能是下面的( ) 2.()y f x =的图像如图所示,则()y f x =的解析式可能为 ( ) A.()cos f x x x =-- B.()sin f x x x =-- C.()||cos f x x x = D.()||sin f x x x = 3.(山东)函数 sin x y x =, (,0)(0,)x ππ∈-的图像可能是下列图像中的 ( ) 4.(13山东)函数x x x y sin cos +=的图像大致为 ( ) 5.(山东)函数x x x y --= 226cos 的图像大致为 ( )

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时,max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理:在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式:111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且(,5 3 cos ),4,--=α的值( ) A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π 6个长度单位 B .向右平移 π 6 个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

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