利用导数解决不等式恒成立中的参数问题
一、单参数放在不等式上型：
【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数()x x f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e
a -''=-=+-， （1）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，故()g x 在(0,)+∞上为增函数，
∴0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（2）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x = 此时，若1(0,)x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
∴1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．
综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞．
说明：上述方法是不等式放缩法．
【针对练习1】（10课标理）设函数2
()1x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围． 解：
【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
解：（1）2()663f x x ax b '=++，
∵函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=??
++=?
，解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,3)x ∈时，()0f x '>．
∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．
则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．
∵对于任意的[0,3]x ∈，有2()f x c <恒成立，∴298c c +<，解得1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．
【针对练习2】（07重庆理）已知函数44
()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中 a 、b 、c 为常数．
（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围．
解：
【针对练习3】（10天津文）已知函数323()12f x ax x =-+()x R ∈，其中0a >．若在区间11[,]22
-上， ()0f x >恒成立，求a 的取值范围．
解：
【例题3】（08湖南理）已知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式1(1)n a e n
++≤对任意的n N *∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值． 解：（1）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 2222
2ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++． 设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--．
则()2ln(1)2g x x x '=+-，令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=
-=++． 当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数，
当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数．∴()h x 在0x =处取得极大值，
而(0)0h =，∴()0 (0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．
于是当10x -<<时，()(0)0g x g >=，当0x >时，()(0)0g x g <=．
∴当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．
当0x >时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．
（2）不等式1(1)n a
e n ++≤等价于不等式1()ln(1)1n a n ++≤，由111n
+>知， 11ln(1)a n n
≤-+．设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则 22
222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++． 由（1）知，2
2ln (1)01x x x
+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤． ∴()0G x '<，(0,1]x ∈，于是()G x 在(0,1]上为减函数．
故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-．∴a 的最大值为11ln 2
-． 小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造
函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变 量的取值范围．
【针对练习4】（10全国1理）已知()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2
()1xf x x ax '≤++，求a 的取值范围． 解：
【针对练习5】若对所有的[,)x e ∈+∞都有ln x x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围．
解：
二、单参数放在区间上型：
【例题4】已知三次函数32
()5f x ax x cx d =-++图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且)(x f 在 3x =处有极值．
（1）求)(x f 的解析式；（2）当(0,)x m ∈时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．
解：（1）∵2()310f x ax x c '=-+，∴(1)310f a c '=-+，
于是过点(1,8)处的切线为8(310)(1)y a c x -=-+-，
又切线经过点(3,0)，∴360a c -+=，①
∵)(x f 在3x =处有极值，∴(3)27300f a c '=-+=，②
又(1)58f a c d =-++=，③
∴由①②③解得：1a =，3c =，9d =，∴32()539f x x x x =-++．
（2）2()3103(31)(3)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '=得113
x =，23x =． 当1(0,)3
x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()(0)9f x f >=； 当1(,3)3
x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴()(3)0f x f >=． ∴当3m >时，()0f x >在(0,)m 内不恒成立，当且仅当(0,3]m ∈时，()0f x >在(0,)m 内恒
成立，∴m 的取值范围为(0,3]．
【针对练习6】（07陕西文）已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数，在区间(,0)-∞，(1,)+∞ 上是减函数，又13()22
f '=． （1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间[0,] (0)m m >上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．
解：
三、双参数中知道其中一个参数的范围型：
【例题5】（07天津理）已知函数() (0)a f x x b x x
=++≠，其中a ，b R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对于任意的1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4
上恒成立，求b 的取值范围． 解：（1）2()1a f x x
'=-． 当0a ≤时，显然()0 (0)f x x '>≠．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数．
当0a >时，令()0f x '=
，解得x =
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x
在(,-∞
，)+∞
内是增函数，在(，(0,)+∞内是减函数．
（2）法一：化归为最值． 由（2）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1
[,2]2
a ∈，不等式 0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤?????，即39449a
b a
b ≤-≤-?????，对1[,2]2a ∈?成立． 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4
-∞． 法二：变量分离．
∵()10f x ≤，∴10()a
b x x ≤-+，即min 10()a b x x
≤-+． 令()10()a g x x x
=-+，222()10a x a g x x x +'=--=-<， ∴()g x 在1[,1]4上递减，()g x 最小值为139397()4424444
g a =-+≥-?+=， 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4
-∞． 或用2(10)a x b x ≤-+-，即2(10)2x b x -+-≥，进一步分离变量得2
10()b x x
≤-+， 利用导数可以得到210()x x
-+在14x =时取得最小值74
， 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞． 法三：变更主元． ()10f x ≤在1[,1]4上恒成立，即10a x b x ++≤，()100a a x b x
?=++-≤， ∵1[,1]4x ∈，∴()a ?在1[,2]2递增，即()a ?的最大值为2(2)100x b x
?=++-≤． 以下同上法．
说明：本题是在对于任意的[2,2]a ∈-，()1f x ≤在[1,1]-上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往
先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．
【例题6】设函数432
()216ln (f x x ax x x b a =---++，)b R ∈，若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式 4()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围．
解：4
()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立，即23216ln x x b a x
-++≤在(0,1]x ∈上恒成立． 由条件[2,2]a ∈-得2min 3
216ln 2x x b a x -++≤=-， 又(0,1]x ∈，∴23216ln 2x x b x -++≤-，即32min (2216ln )b x x x ≤-+-． 设32()2216ln g x x x x =-+-，则32322
1664162(328)()64x x x x g x x x x x x
-+---+'=-+-==． 令32()328x x x ?=-+，2()94(94)x x x x x ?'=-=-， 当4(0,)9x ∈，()0x ?'<；当4(,1)9
x ∈，()0x ?'>， ∴(0,1]x ∈时，432()()809243
x ??==->极小值，于是()0g x '<， ∴32()2216ln g x x x x =-+-在(0,1]x ∈递减，∴()g x 的最小值为(1)0g =，
∴0b ≤，因此满足条件的b 的取值范围是(,0]-∞．
【针对练习7】设函数432()2 ()f x x ax x b x R =+++∈，其中a ，b R ∈．若对于任意的[2,2]a ∈-，
不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围． 解：
四、双参数中的范围均未知型：
【例题7】（10湖南理）已知函数2() (,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x R ∈，恒有()()f x f x '≤．
（1）证明：当0x ≥时，2
()()f x x c ≤+；
（2）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值． 解：（1）易知()2f x x b '=+．由题设，对任意的x R ∈，22x b x bx c +≤++，即 2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，∴2
(2)4()0b c b ---≤，从而2
14b c ≥+．
于是1c ≥，且c ≥=||b ，因此2()0c b c c b -=+->． 故当0≥x 时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-≥，即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+．
（2）由（1）知，c ≥||b ．
当c >||b 时，有2222222()()2f c f b c b bc b c b M c b c b b c
--+-+≥==--+． 令b t c =，则11t -<<，2121c b b c t +=-++．而函数1()2(11)1g t t t =--<<+的值域是3(,)2
-∞． 因此，当c >||b 时，M 的取值集合为3[,)2
+∞． 当c =||b 时，由（1）知，2b =±，2c =．此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=． 从而223()()()2f c f b c b -≤-恒成立．综上所述，M 的最小值为32
．
【针对练习8】若32()x f x a =图象上斜率为3，设2
23()()3bx g x f x a
=-+． （1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求()g x 的解析式；
（2）若函数)(x g 在区间[1,1]-上为增函数，且24()b mb g x -+≥在区间[1,1]-上都成立，求实数
m 的取值范围．
解：
五、双参数中的线性规划型：
【例题8】（12浙江理）已知0a >，b R ∈，函数3()42f x ax bx a b =--+．
（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥；
（2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围．
解：（1）①22
()12212()6b f x ax b a x a
'=-=-． 当0b ≤时，2()1220f x ax b '=-≥，在01x ≤≤上恒成立，
∴()f x 在[0,1]上递增，此时()f x 的最大值为：
(1)423f a b a b a b =--+=-=|2|a b a -+；
当0b >时，2()12212(f x ax b a x x '=-=+
，
此时()f x 在上递减，在)+∞上递增，∴()f x 在[0,1]上的最大值为： max , 2()max{(0),(1)}max{(),(3)}3, 2b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?-≤?
=|2|a b a -+． 综上所述：函数()f x 在01x ≤≤上的最大值为|2|a b a -+．
②∵01x ≤≤，当2b a ≤时，
3()|2|()3422f x a b a f x a b ax bx a +-+=+-=-+
334422(221)ax ax a a x x ≥-+=-+．
当2b a >时，
3()|2|()42(1)2f x a b a f x a b ax b x a +-+=-+=+--
3344(1)22(221)ax a x a a x x >+--=-+．
设3()221g x x x =-+
，2()622(33
g x x x x '=-=-+，列表可得
min ()10g x g ==>，∴当01x ≤≤时，32210x x -+>， ∴3()|2|2(221)0f x a b a a x x +-+≥-+≥．
（2）由①知：函数()f x 在01x ≤≤上的最大值为|2|a b a -+，∴|2|a b a -+1≤．
由②知：()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-，于是1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立的充要条件为：
20310a b a b a -≥??-≤??>?或2010a b b a a -?，在坐标系aOb 中， 不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
其中不包括线段BC ．作一组平行线 ()a b t t R +=∈，
得13a b -<+≤，∴a b +的取值范围为(1,3]-． 【针对练习9】已知函数21()2ln 1 (0)2
f x x ax b x x =++->． （1）若1a b ==-，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 的两个极值点1x ，2x 恒满足12012x x <<<<，求2a b -的取值范围．
解：
六、双参数中的绝对值存在型：
【例题9】（06湖北理）设3x =是函数23()() ()x f x x ax b e
x R -=++∈的一个极值点．
b
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设0a >，225()()4x g x a e =+
．若存在1ξ，2[0,4]ξ∈使得12|()()|f g ξξ-1<成立，求a 的 取值范围．
解：（1）23()[(2)]x
f x x a x b a e -'=-+-+-，由(3)0f '=，得233[3(2)3]0a b a e -+-+-=， 即得32b a =--，则233()[(2)33](3)(1)x x f x x a x a e
x x a e --'=-+---=--++．
令()0f x '=，得13x =或21x a =--，由于3x =是极值点，∴12x x ≠，即4a ≠-．
当4a <-时，213x x >=，则在区间(,3)-∞上，()0f x '<，()f x 为减函数；
在区间(3,1)a --上，()0f x '>，()f x 为增函数；
在区间(1,)a --+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数．
当4a >-时，213x x <=，则在区间(,1)a -∞--上，()0f x '<，()f x 为减函数；
在区间(1,3)a --上，()0f x '>，()f x 为增函数；
在区间(3,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数．
（2）由（1）知，当0a >时，10a --<，()f x 在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递
减，那么()f x 在区间[0,4]上的值域是[min{(0),(4)},(3)]f f f ，
而3(0)(23)0f a e =-+<，1(4)(213)0f a e -=+>，(3)6f a =+， 那么()f x 在区间[0,4]上的值域是3
[(23),6]a e a -++． 又225()()4
x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数，且它在区间[0,4]上的值域是 2242525[,()]44a a e ++，由于2222511()(6)()0442
a a a a a +-+=-+=-≥， ∴只须仅须225()(6)14a a +-+<且0a >，解得302a <<．故a 的取值范围是3(0,)2
． 【针对练习10】（10辽宁理）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）设1a <-，如果对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围． 解：
总结：关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，
对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理．这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决．