近
世代数
一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ）
A
C 2A C 3A C 4A 、
对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 以上都对
答案：D
5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f
是从A 到B 的（ ）
A 、单射
B 、满射
C 、一一映射
D 、既非单射也非满射
答案：D
6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）
A 、有限
B 、无限
C 、为零
D 、为1
答案：A
7A C 8A C 9A C 答案：B
10、偶数环的单位元个数为（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、无数个
答案：A
11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；
B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；
C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；
D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
答案：B
12、指出下列那些运算是二元运算（ ）
A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
A 、0和x -；
B 、1和0；
C 、k 和k x 2-；
D 、k -和)2(k x +-。
答案：D
15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）
A 、11--a bc ；
B 、11--a c ；
C 、11--bc a ；
D 、ca b 1-。
答案：A
16、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）
A 、6；
B 、24；
C 、10；
D 、12。
答案：B
17、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
A 、f 的同态核是1G 的不变子群；
B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；
C 、
D 、18A C 19A C 20、若I 是域F 的有限扩域，
E 是I 的有限扩域，那么（ ）
A 、()()()F I I E I E :::=；
B 、()()()I E F I E F :::=；
C 、()()()I F F E F I :::=；
D 、()()()F I I
E
F E :::=
答案：D
二、填空题
1、集合A 的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。
答案：传递性
2、设A,B 都为有限集，且,,n B m A ==则=?B A （ ）.
答：mn
3．设R 是集合A ＝｛平面上所有直线｝上的关系：
121l Rl l ?∥2l 或21l l = （A l l ∈21,），则R （ ）等价关系。
答：是
456、7）。 89答：有理数域
10、设集合A=｛1,2｝,则A ×A=（ ）,2A ＝（ ）。
答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝
11、设f 是A 的一个变换，A S ?，则()[]S f f
1-（ ）()[]S f f 1-。
答：?
12、设21,R R 是集合A 上的等价关系，21R R （ ）等价关系。
答：是
13、若群G 中每一个元素x 都适合方程e x n =，则G 是（ ）群。
答：交换群
14、n 阶群G 是循环群的充要条件是（ ）。
答：G 中存在n 阶的元素
15、设1,G G ,,1n G m G ==1G G 条件是
（1617181920答：交换环
21、如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a （ ）。
答：6
22.剩余类加群Z 12有 （ ）个生成元.
答：6
23、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是（ ）
答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）
24、6阶循环群有（）个子群.
答：3
26、模8的剩余类环Z
的子环有（）个.
8
答：6
27、设集合{}1,0,1-
B，则有=
=
A；{}2,1
=
B（）。
?A
28
29）。31
32
33）。
34I是（）。
答：一个最大理想
35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（）。
答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子
36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。
答：E 的每一个元都是F 上的一个代数元
三、判断题
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ × ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ × ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ √ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ √ ）
5
67
8） 9、）
10()p 是
1、b a ,对称性：若a 与b 同在一个班级,显然b 与a 同在一个班级
传递性：若a 与b 同在一个班级, b 与c 同在一个班级,显然a 与c 同在一个班级.
2、在R 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？
（等式右边指的是普通数的运算）
答：因为对于R c b a ∈?,,，有()()c ab b a c b a ++=
()()c ab b a c ab b a ++++++=abc bc ac c ab b a ++++++=，
ab b a b a ++=
根据实数的加法与乘法的运算率得
()()c b a c b a =。
又a b ba a b ab b a b a =++=++=。
所以，R 的代数运算 既满足结合率，又满足交换率。
3、设集合{}{},,,,,,A a b c d B c d e ==，求,,,()()A B A B A B A B B A ---。
4()()()()()({,123,23,13,12,13==S H H ==)12(，
5 若S 6,,,,g g f g h h g f g h 。
答案：
7、设H 是G 的不变子群，则G a ∈?，有H aHa =-1。
答：因H 是G 的不变子群，故对于G a ∈?，有Ha aH =，于是
()()()
H He aa H a Ha a aH aHa =====----1111。 8、设0是环R 的零元，则对于R a ∈?，000=?=?a a 。
答：因为R a ∈，有
a a a a ?+?=?+=?00)00(0，
由于R 关于加法作成群，即R 对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去a ?0，得00=?a 。同理可得00=?a 。
9、如果半群G 有一个左单位元e ，并且对于G a ∈?，存在左逆元G a ∈-1，使得e a a =-1，
则G 是一个群。
'a 10当a
111I +答：R r I I y x ∈?+∈?,,21，则有
2121,y y y x x x +=+=，),;,(222111I y x I y x ∈∈，从而
212211)()(I I y x y x y x +∈-+-=-；
212121)(I I rx rx x x r rx +∈+=+=；
212121)(I I r x r x r x x xr +∈+=+=。
所以，21I I +是R 的一个理想。
12、设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3==S G ,)}12(),1{(=H ,则H 是G 的一个子群，写出G 关于H 的所有左陪集的分解.
答案：H H H ==)12()1(,
H H )123()}123(),13{()13(==,
H H )132()}132(),23{()23(==,
13又114 15、设S 是有单位元e 的半群，S a ∈，若a 有左逆元1a ，又有右逆元2a ，则a 是可逆元，且21a a =是a 的唯一的逆元。
答：证明由条件知，,,21e aa e a a ==则有()(),11212122a e a aa a a a a ea a =====
若c b ,都是a 的逆元，同理有()()c ec c ba ac b be b =====
故a 有唯一的逆元。
16、设R 是环，则R b a ∈?,，有)()()(ab b a b a -=-=-。
答：由00)()(=?=+-=+-b b a a ab b a ，得
b a ab )()(-=-，
同理，由00)()(=?=+-=+-a b b a ab b a ，得
)()(b a ab -=-。
17、设H 是G 的子群，若对于G a ∈?，H h ∈?，有H aha ∈-1，则H 是G 的不变子群。
答：任取定G a ∈，对于aH ah ∈?，由于H aha ∈-1，则存在H h ∈1，使得
aha ha ?a -118在G 中b
ax =和(a a -即a G 中的元素e ，使得a ea =。
下证e 是G 的左单位元。G b a ∈?,，方程b ax =和在G 中有解c ，即b ac =，
于是()()b ac c ea ac e eb ====，则e 是G 的一个左单位元。
又G a ∈?，方程e ya =在G 中有解'a ，即e a a ='，得'
a 是a 的一个左逆元。从而得G 中的每一个元素a 都有左逆元。故G 是群。
19、证明R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法右消去律成立。
答：设环R 没有左零因子，则也无右左零因子。于是由ca ba =，得
a c
b ca ba )(-=-，
当0≠a 时，由于R 没有右零因子，得0=-c b ，即c b =，R 中关于乘法右消去律成立。 反之，若在R 中关于乘法右消去律成立，如果0≠a ，有0=ba ，即
a a
b ?==?00，右消去a 得0=b ，即R 中非零元均不是右零因子，故R 为无零因子。
20、设R 为交换环，R a ∈{}0=∈=ax R x I a a I R 即a （2a I ra ∈。 21” a ,)是一个群。的一个二元运算显然，设是G
=(2)()a a b c a b c ++-=。G 中结合法又2 ，易知,)的单位元。，直接验算得 ,)是一个群。
22G 是非Abel 证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G 是非Abel 群，必有阶数大于2的元素a ，因而a ≠a -1，取b= a -1，则ab=ba 。
23、设H ≤G ，a,b ∈G ，证明以下命题等价：
（1）a -1b ∈H,(2)b ∈aH,(3)aH=bH,(4)aH ∩bH ≠?。
证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。
（1）=>（2）：a-1b∈H => a-1b=h => b=ah => b∈aH。
（2）=>（3）：b∈aH => bh∈aH => bH 属于aH，另一方面，
b∈aH => b=ah => a=bh-1 => aH属于 bH，综上得aH=bH。
（3
（4。24
25
26
27
Z