§1.3基本初等函数
1.3.1指数函数
指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1n
x
a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当
n 是奇数时，a 的n
次方根用符号
表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根
用符号
表示，负的n
次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n
次方根．
②式子
叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为
任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n
a =；当n
为奇数时，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) a a a a a ≥?==?-
．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0
的正分数指数幂等于0．
②正数的负
分数
指
数
幂
的
意
义
是
：
1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0
的负分数指数幂没有意
义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②
()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
指数函数及其性质
（4）指数函数
1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
;
)
(
65
3
1
2
1
2
1
1
3
2
b
a
b
a
b
a
?
?
?
?-
-
解：（1）原式=
.
1006
531216
121316
5613
1212131
=?=?=?-+-+--
b a b
a
b
a b
a b a
2：已知实数a 、b 满足等式b
a )3
1()21(=，下列五个关系式： ①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a
＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 解：B
3：求下列函数的单调递增区间： (2)y=26
2--x x .
解：
（2）令u=x 2
-x-6,则y=
2u
,
∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=2
1
, 在区间［2
1，+∞）上u=x 2
-x-6是增函数. 又函数y=2u
为增函数，
∴函数y=26
2--x x 在区间［2
1，+∞）上是增函数.
故函数y=26
2--x x 的单调递增区间是［2
1，+∞）
1.3.2对数函数
对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．
（2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．
（4）对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a
M M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=>≠且
对数函数及其性质
（5）对数函数
例1 计算：（1）)32(log 32-+
（3）21lg 49
32-34lg 8+lg 245
.
解：（1） 利用对数定义求值
设)32(log 3
2-+=x, 则(2+3)x =2-3=3
21+=（2+3）-1,∴x=-1.
（3）原式=21（lg32-lg49）-3
4lg82
1+2
1lg245 =2
1 (5lg2-2lg7)-3
4×2lg 2
3+2
1 (2lg7+lg5)
=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+2
1lg5 =2
1lg(2×5)= 2
1lg10=2
1.
变式训练1：化简求值. （1）log 2
48
7+log 212-2
1log 242-1; （2）(lg2)2
+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).
解
：
(1)
原
式
=log 248
7+log 212-log 242-log 22=log 2
.
2
32
log 2
21log 2
42481272
3
22
-===???-
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
（3）原式=(.4
5
2lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小.
（1）log 33
2与log 55
6; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;
（3）已知log 2
1
b ＜log 2
1a ＜log 2
1c,比较2b ,2a ,2c
的大小关系.
解：（1）∵log 33
2＜log 31=0, 而log 55
6＞log 51=0,∴log 33
2＜log 55
6.
(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴
2
.1log 11
.1log 17.07.0<
,
即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7. 方法二 作出y=log
1.1x 与y=log 1.2x 的图象.
如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 2
1log 为减函数，且c a b 2
12
12
1
log log log <<,
∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c
.
变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b
b b
b
a
1log ,log ,1的大小
关系是 （ ） A.log a b
b b
b
a
1
log
log 1<< B.b
b b b a
a
1log 1log
log <<
C.b
b b a b
a
1log 1log
log << D.b b
b a a b
log 1
log 1log
<<
解： C 1.3.3幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．
象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果
0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当
q
p
α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q
p y x =是奇函数，
若p 为奇数q 为偶数时，则q p
y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p
y x =是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线
y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直
线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）3
y x = （2）1
2
y x
= （3）2
y x -=
（4）
22
y x x -=+ （5）
112
2
y x x
-
=+ （6）
1
12
4
()3()
f x x x =+-
解：（1）此函数的定义域为R ，
33()()()f x x x f x -=-=-=-
∴此函数为奇函数． （2
）1
2
y x ==
∴此函数的定义域为[0,)+∞
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数． （3）2
2
1y x
x -==
∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞?+∞
22
11
()()()f x f x x x -=
==- ∴此函数为偶函数 （4）2
2
221y x x
x x
-=+=+
∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞?+∞
22
22
11()()()()f x x x f x x x
-=-+
=+=- ∴此函数为偶函数
（5）112
2
y x x
-
=+=∴此函数的定义域为[0,)+∞
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）112
4
()3()f x x x =+-=
x x ≥?∴?
-≥? 0x ∴= ∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1）
5
y x
= （2）
43
y x
-
= （3）
54
y x
=（4）
35
y x
-
=（5）
12
y x
-
=
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．
（2）定义域(,0)(0,)-∞?+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．
（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞?+∞，值域(,0)(0,)-∞?+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．
（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 例2比较大小： （1）1
12
2
1.5
,1.7
（2）
33
(1.2),(1.25)
--
（3）1125.25,5.26,5.26---
（4）
30.530.5,3,log 0.5
解：（1）∵1
2y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122
1.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，
1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-
（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，
5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；
∵ 5.26x y =是增函数，12->-， ∴1
25.26
5.26-->；
综上，1
1
25.25 5.26
5.26--->>
（4）∵3
00.51<<，0.5
3
1>，3log 0.50<，
∴30.53log 0.50.53<< 例3已知幂函数
223
m m y x
--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点
对称，求m 的值．
分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数2
23
m
m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴2
230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2
(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2
23m m --是奇数，∴0m =或2m =．
变式训练3：证明幂函数12
()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设120x x ≤<，
则1
1
221212()()f x f x x x -=
-==
12x x <
120x x ∴-< 0> 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <
∴此函数在[0,)+∞上是增函数