安徽省皖智教育1号卷A10联盟2020届高三下学期开年考试数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”（已知1丈为10尺）该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）
A．12000立方尺B．11000立方尺
C．10000立方尺D．9000立方尺
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）
A．
52π
12
3
-
B．
68π
24
3
-
C．20π12
-D．28π24
-
3．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）
A．
1
15B．
1
10C．
1
3D
．
11
30
4．定义在R上的奇函数()
f x满足()
1
(2)
f x
f x
+=-，且在()
0,1上()3x
f x=，则
()
3
log54
f=（）A．
3
2B．
2
3
-
C．
2
3D．
3
2
-
5．过双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若
1
2
AB BC
=
u u u r u u u r
，则双曲线的离心率是( )
A．2B．3C．5D．10
6．已知函数()cos
2
f x x
π
=，[2,2]
x∈-，奇函数()
y g x
=的图象如图所示，若函数(())
y f g x
=与(())
y g f x
=的零点个数分别为m，n，则m n
+的值是（）
A．5 B．6 C．9 D．12
7．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生()
0,1内的任何一个实数）.若输出的结果为7840，则由此可估计π的近似值为（）
A．3.119 B．3.124 C．3.136 D．3.151
8．设x，y满足约束条件
20
3
x y
x y
x
-+≥
?
?
+≥
?
?≤
?
，则22
(1)
z x y
=++的最大值为（）
A．41 B．5 C．25 D．1
9．若直线l不平行于平面a，且l a
?，则
A．a内的所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线
C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交
10．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）
A．28 3π
B．
32
3
π
C．
52
3
π
D．
56
3
π
11．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC与BD的中点，若24,,
CD AB EF BA
==⊥则EF与CD 所成的角为（）
A．30o B．45
o
C．60o D．90
o
12．在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（）
A．108 B．90 C．72 D．24
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知
1
tan
2
θ=
，则
tan2
4
π
θ
??
-=
?
??________．
14．若
1
2
n
x
x
??
+
?
??的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为
____________.
15．在平面直角坐标系
xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边交单位圆O于点
()
,P a b ,且
75a b +=
,则
cos 22πα??
+ ?
??的值是______. 16．已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且
，
，
，则
______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列
{}
n a 满足
1111,(1)1(2,)
21
n n a n a n n N na -=+=-∈+…．求2a 、3a ；求证：数列1(1)n n a ??
??+?
?为等差数列；求数列
{}
n a 的前n 项和
n
S ．
18．（12分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在
170175cm :的男生人数有16人.
试问在抽取的学生中，男，女生各有多
少人？根据频率分布直方图，完成下列的22?列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？ 170cm ≥
170cm <
总计 男生身高 女生身高 总计
（3）在上述100名学生中，从身高在175185cm :之间的男生和身高在170175cm :之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 参考数据：
20()P K k ≥
0.025 0.010 0.005 0.001
0k
5.024
6.635
7.879 10.828
19．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><<
的部分图象如图所示.
求函数()f x 的解析式；将函数()y f x =的图象向左平移6π
个单位后，再将
得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数
()2sin 2y g x x =+的单调递减区间.
20．（12分）设函数2
()ln (21)()f x x ax a x a R =+-+∈.当1a =时，求函数()f x 的单调区间；求函数()
f x 的极值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点.以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极
坐标方程为2
2cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ-=.写出曲线C 和直线
1
l 的直角坐标方程；设直线2l
过点
()
10P -，与曲线C 交于不同两点A B ，，AB 的中点为M ，1l 与2l
的
交点为N ，求
PM PN
?.
22．（10分）已知函数
2
()f x x x =-.设()ln ()'()g x x f x f x =-，求()g x 的最大值及相应的x 值；对任意正数x 恒有11
()()()ln f x f x m
x x +≥+，求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．C 2．A 3．C
4．D 一、单选题 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 11．A 12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．17-
.
14．1120
15．2425-
16．5
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）216a =，3112a =； （2）见解析； （3）
1
n
n +. 【解析】 【分析】
（1）根据递推关系式依次代入求解，（2）根据等差数列定义以及递推关系化简即得结果，（3）先求
()11n n a ????
??+????
通项公式，即得n a ，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）2113121a a =-
+Q ，21
6
a ∴=，
3214131a a =-
+Q ，3112
a ∴=；
（2）()1
111111
1
n n n n na n a na na ---+=-
=
++Q ，
∴
()11111111n n n n na n a na na ---+==++，
∴
()1
11
11n n n a na --=+，
∴数列()11n n a ??????+????
是首项为1，公差为1的等差数列；
（3）由（2）知：
()11n
n n a =+，()111
11n a n n n n ∴==-++，
1111
1111223111n n S n n n n ??????∴=-+-+?+-=-= ? ? ?
+++??????
． 【点睛】
本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．（1）40,60；（2）列联表见解析，有99.9%的把握认为身高与性别有关；（3）
8
15
.
【解析】 【分析】
（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有99.9%的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率. 【详解】
（1）直方图中，因为身高在170175cm :的男生的频率为0.4， 设男生数为m ，则1
16
0.4n =
，得140n =. 由男生的人数为40，得女生的人数为1004060-=.
（2）男生身高170cm ≥的人数(0.080.040.020.01)54030=+++??=， 女生身高170cm ≥的人数0.025606??=， 所以可得到下列列联表：
22
100(3054106)4225
3664406096
K ??-?==
???44.01010.828≈>， 所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；
（3）在175185cm :之间的男生有12人，在170175cm :之间的女生人数有6人. 按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人. 设男生为1A ，2A ，3A ，4A ，女生为1B ，2B .
从6人任选2名有：
12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15种可能，
2人中恰好有一名女生：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B 共8种可能， 故所求概率为815
P =. 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（Ⅰ）()2sin(+)3f x x π
=（Ⅱ）5,
,88k k k Z ππππ??++∈????
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用函数的图象求出函数的关系式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用求出()2cos2g x x =，再利用正弦函数的单调性得单调区间即可 【详解】
（Ⅰ）由已知()f x 图象得 2.A = 3734632T πππ
??=--= ???
，则2T π=. 因为22T π
πω
=
=，0>ω
所以1ω=. 因为2,3
k k Z π
?π-
+=∈，02
π
?<<，
所以3
π
?=
.
所以()2sin(+)3
f x x π=．
（Ⅱ）由题可得：()2sin(+)3f x x π
=向左平移6π得y=2cosx,横坐标再缩短到原来的12
倍得()2cos2g x x =
故()2sin 2y g x x =+
2cos22sin2x x =+
+)4
x π
=．
因为3+22+2242
k x k πππ
π+π≤≤， 所以
58
8
k x k π
π
ππ+≤≤
+. 所以()2sin 2y g x x =+的单调递减区间为5,,88k k k Z ππππ??++∈????
.
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变化，函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用，函数单调
性，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
20．（1）递增区间为1
(0,)2， (1,)+∞；递减区间是1(,1)2
（2）见解析 【解析】 【分析】
直接利用导数求函数的单调区间.（2）对a 分四种情况讨论求函数()f x 的极值.
【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()1
221f x ax a x
'=
+-+ 当1a =时，()()()2121123123x x x x f x x x x x
---+='=+-= 所以当10,
2x ?
?
∈ ???
时，()0f x '>，函数()f x 单调递增 当1,12x ??
∈
???
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增 综上，函数()f x 递增区间为10,2?? ???， ()1,+∞；递减区间是1,12??
???
（2）()()1221f x ax a x '=+-+ ()()()22211211ax a x ax x x x
-++--==
当0a ≤时，()()0,1,0x f x ∈'>，函数()f x 单调递增， ()()1,,0x f x '∈+∞<，函数()f x 单调递减.
所以()f x 在区间()0,+∞上有极大值()11f a =--，无极小值 当102a <<
时，()()0,1,0x f x ∈'>，()f x 单调递增；()11,,02x f x a ??∈< '???
，()f x
单调递减；()1,,02x f x a ??
∈+∞>
'???
，()f x 单调递增 所以()()=11f x f a =--极大值，()141=ln224a f x f a a a +??
=-- ?
??
极小值. 当1
2
a =
时，()f x 在区间()0,+∞上有()0f x '≥， ()f x 单调递增，无极值
当12a >
时，()10,,02x f x a ??∈> '???，()f x 单调递增；()1,1,02x f x a ??
∈< '???
，()f x
单调递减；()()1,,0x f x '∈+∞>，()f x 单调递增
所以()141=ln224a f x f a a a +??
=-- ?
??
极大值，()()=11f x f a =--极小值. 综上,当0a ≤时，()f x 极大值为1a --，无极小值；
当102a <<时，()f x 极大值为1a --，极小值为41ln24a a a
+--； 当1
2a =
时，()f x 无极值； 当12a >时，()f x 极大值为41ln24a a a
+--，极小值为1a --
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 21．（Ⅰ）C: ()()2
2
129x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --= （Ⅱ）8 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；
（Ⅱ）先写出直线2l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，得到PM ，再由直线2l 的参数方程代入
30x y --=，得到PN ，进而可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）曲线2
:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：2
2
244x y x y +=-+； 即()()2
2129x y -++=
()1:cos sin 3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=
（Ⅱ）直线2l 的参数方程1x tcos y tsin α
α
=-+??
=?（t 为参数），
将其代入曲线C 的普通方程并整理得()2
4cos sin 10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则
()124cos sin t t αα+=-
因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为
()12
2cos sin 2
t t αα+=-， 设N 点的参数分别为3t ，把1x tcos y tsin αα=-+??=?
代入30x y --=整理得34cos sin t αα=
- 所以1234
2cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα
+?=?=-?=-. 【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，
熟记参数方程即可求解，属于常考题型.
22．（1）当1x =时，()g x 取得最大值(1)0g =；（2）01m <≤ 【解析】