当前位置：文档之家› 变量代换方法在求解微分方程中的应用

变量代换方法在求解微分方程中的应用

1 引言

在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。然而，值得注意的是，不同的类型的方程, 其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。 2 变量代换方法在几类微分方程求解中的应用

定义1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx

dy =，则该方程称为可分离变量微分方程.

若设0)(≠y g ，则可将方程化为

dx x f y g dy

)()

(=.即将两个变量分离在等式两端. 其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。例1 求微分方程xy y 2='的通解. 解因为

dy 2=，分离变量，

xdx

dy 2=，两端积分，C x y +=2||ln ， 1

||c x

e y +=，

所以1

c x

e y +±=.令1

C e C ±=，于是2

Ce y =为所求.

注：以后为了方便，可将||ln y 就写成y ln ，注意结果中C 可正可负.

对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。下面介绍几类这样的方程。 2.1 一阶齐次方程 1. 形如

)(by ax f dx

dy +=的齐次方程（其中b a ,()0≠b )为常数）

作变量代换，by ax u +=可将方程化为分离变量方程，将by ax u +=和

dy b

a dx

du +=代入方程，整理后可得：

)(u bf a dx

du +=

例2 解方程()()032412=++-++dy x y dx x y 解将方程整理后可得

)2(21)2(++++=

x y x y dx

故令x y u +=2，带入后可得

254++=

u u dx

du 分离变量后，两边积分可得

C x u u +=++8454ln 再代回原变量，得方程的通解为

C x u u +=++8454ln

2. 形如

??=x y f dx dy

的齐次方程作变量代换x

y u =，则

d x

d u x

u d x

d y +=，代回原方程，整理后可得()u

u f dx

du x

-此时方

程转化为分离变量方程，故可求出其通解。

例3 解方程

x y x dx

dy 2332++=

解令x

y u 可得ux y =，代入方程得(

2122

+-=

u u

du x

分离变量，

再积分，化简整理可得()()114

+=-u c u x , 再代回原变量，得原方程的通解

()

()??

? ?

?+=-x y c x y 5

注: 该类型还可以推广到形如()??

??+=

x y f x g x y

2.2 伯努利方程

形如

x Q y x P dx

dy )()(=+()1,0≠n ① 的方程称为伯努力方程。

注：此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方，1≠n 时为

非线性的.

我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。求解方法为：将方程①的两端同乘以n y -，得 )()(1x Q y

x P dx

dy y n

n =+--，

设变量替换 n y z -=1，则

dy y

n dx

dz n

--=)1(，即 dx

n dx

dy y n

-11

；代入原方程，得

)()(11

x Q z x P dx

n =+-，即

)

()1()()1(x Q n z x P n dx

dz -=-+，

这是一个非齐次线性微分方程.

按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以n y z -=1换回原变量，即为所求. 例4 求微分方程

)(ln y

x a x

y dx

dy =+的通解.

解这是一个伯努力方程.

以2-y 乘方程的两端，得 )

(ln 11

2x a y

dy y =+-- ，

于是，令 1-=y z ，则dx

dy y

dx dz 2

--=，即 dx

dz dx

dy y -

=-2，

代入原方程，得x a z x dx

dz ln 1=+

-，

或

a z x

dz ln 1-=-，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程

的常数变易法可求其通解。 2.3 二阶线性微分方程形如

qy p

=++'

（1）

其中f q p 、、都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。

=++qy p

（2）

称为与之对应的齐次方程。

对于上两方程有下面两定理：定理 1 若

是()2的一个非零解，则由变量代换u y y

可求得(1)通解

c y

c y 3

其中c 1，c 2是任意常数且

dx e y

y y pdz ???? ??=

--?21

(3)

dx e y e

y y y

pdx pdx

? ?

???=

-12

(4)

证明设

u y

是(1)的解，其中是u 待定函数，则有

u u y

，

y u

y y

u "

将y y y “

‘、、代入(1)整y 后并注意y 1

解得：

y u y y u f p 1'1'

"2=????

? ??++ (5) (5)是关于u '

的一阶线性微分方程，从而可得：

dx f dx p e y c y y dx

y y p ???

?????

?+??????

???

? ??+

1'2121'

12'

???+

? ?

-c e y

y e

y c dx dx f

dx u pdx pdx pdx 2

所以(1)的解为y

c y c y

u y 3

=其中y 2

、y 3

分别为（3），（4）可直接验证（3）

是的(2)特解又

2不是常数，所以y

c y c y 3

=是的通解。

定理2 二阶线性微分方程

()

()x f ay dx

dy x B dx

y d x A =++22

其中A ()x >0，a 是常数，可经自变量代换化为常系数

线性微分方程的充要条件是：()()()

x A c

x x B A =-'

1，c 为常数，在满足条件下由变换

化

为()??

? ??=++-t f ay dx

d t

y k

，k 可取任意非零实数 (6)

证明 ①在满足条件下将变换()

()?==x dx x A k t ?1代人（6）可验证结论正确。

② 若可把（6）化为：

()t F y dt

(7)

把()x t ?=代入(7)得：

()

x dx

dy dt

dx dx

dy dt

dy ?'

()()dx

dy d

x x x d

???

??????'2

'11'

(8)

从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把()()

=x A dx k x ?代入后一个等式可得

()()c k a x A x B =='-

2.31 二阶常系数线性微分方程

形如

e y

qy p

α=

++'

（其中p ，q 为常数） (9)

的微分方程称为二阶常系数微分方程。

像这样的方程总可以经过变量代换e x

A z y α-=将原方程(9)转化成关于Z 的线性齐次方程，其中A 是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如e x

A α形式的特解，所以令e x

A z y α-=则有

A αα

，

e z

A αα

将这三个式子代入方程(9)得

e e

qA qz pA p

A ααααα

-+-+-"

(10)

整理得

()[]02

=++++-+q p A e

qz z z

ααα (11)

要使方程称为齐次方程，当且仅当

()[]02

=+++q p A e

αα

从而

p A ++-

=αα

(12)

容易看出，当α不是对应其次线性方程的特征方程02

=++q p λλ的根，用(12)式所确定的A 代替变量代换中的A 后，方程可化⑴为一个齐次方程。

当α为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得： ① α为单根时，p

A +-=α21

② α为重跟时，2

综上可得一下定理和推论：

定理3 若α不是特征方程的根，则方程

e y

qy p

α=

++'

可经过变量代换

p z y ααα

+++

转化成Z 的齐次方程。

推论 1 若α是特征方程的单根时，则方程

e y

qy p

α=

++'

可经过变量代换

e x

x q

p z y ααα

+++

[其中()

q p p ++=

+ααα

α22

]转化成Z 的齐次方程。

推论 2 若α是特征方程的重根时，则方程

e y

qy p

α=

++'

可经过变量代换

x x

p z y ααα

+++

=[其中

()q p ++=

αα

α2

]转化成Z 的齐次方程。对方程

()C

Bx A qy p

++=

++2

α (13)

当α不是特征方程的根时，方程(13)有形如()F

Ex D x

++2

α形式的特解，于是可令

()

Ex D z y x

++-=2

α做法同前面一样，代入中并整理得

()[]()

()[]

()

()0222222

22'"

=??

????????+++++++++++++++-++e x Z

x c D p q p F x B p D q P E A q p D qZ P

ααααααααα

于是令：

()()()()

()????

??=+++++=+++++=+++022*******

C D p e q P F B p D q p E A q P D αααααα

αα 得：q

p A

D ++-

=αα

()()()

q p q

p B

P A E ++++-+=

αα

αα2

222

(

)

()

()()

()

q p p q p q p p q P B A

q p A ++++++++++-+

-++αα

ααα

αα

αααα2

222

定理4 如α不是特征根，则方程()C

Bx A qy p x

y x

++=

++2

α，

总可经过变量代换： ()()

()()

()

()()

??????

???

????

?+++-+-+++++-++++--=+++++++++q p p q p q p q p x e p q p B A C q p A q p B p A q p A z y x αααααααααααααααααααα2222222223

232

222222转化为关于Z 的齐次方程。

方程

()x B x A qy p

e y

ββαsin

cos '

++ (14)

当α不是特征根时，方程(14)有形如()x D x C e x

ββαsin cos +式的特解，于是可令：

()x D x C e z y x

ββαsin

cos +-=用与前面一样的做法，代入原方程并整理可得结果。

定理5 若βαi ±不是对应的其次线性微分方程的特征方程的根时，则方程

()x B x A qy p

e y

ββαsin

cos '

++总可以经过变量代换

???

? ??---+++-=x Bm An x Bn Am z y n m n m e

ββαsin cos 2222 转化成关于Z 的线性齐次方程，其中β

αα2

+++=q p m ，ββαp +2

2.32 二阶变系数线性微分方程

形如

()

()0'

=++y x q x p y

（15）的方程，称为二阶变系数微分方程，其中()x p ，

()x q 都是连续函数。当()x p ，()x q 满足一定条件是，通过适当的变量代换，方程可化为

变系数微分方程，进而求出其通解。引理假如

()()()

x f y x q x p y y

=++'

方程中()()()??

x x x q p p '

2241，只需引入变量()()

()x v y e

x dx p m ?=

-2

则方程可化为()()()()()()e m v v dx x p m x f x v x m x ?=++-2

定理6 当()()

()x

p x p c

x x q 2

时，方程可通过变量代换()()e

x p x c

x u y ??=??

??-21

化成欧拉方程且通解为

①41

+=??

??-----+-dx x p x c c

p c

c x

c x c y 21

4112

24111

②41=c 时，()()e x c

c dx

x p y ??+=-

212

1ln ③4

时，

()e c c x

dx x p x c c

x c x c y ?????

????

???

-+???? ??-=

??? ??--2121

1ln 2

14sin ln 2

14cos 证明设()

()()()?=

-dx

x p x x u y α2

1，这里()x α为待定的连续可微函数，

此时有

()()()()()()()()()()()e e u

x p x dx x p x x p x x u x ?-+?=

++ααα21

()()()()()()()()()()()()()()e p

e u u

y dx

x p x dx x p x x x x u x x p x x ???

? ??-

+?-=--αααα21

将y ，y '

，y "代入方程（15）得，

()()()()()()()()()041

2121412

"=??

++--

++x u x x x x x q x x x p p u

u ααα （16）

∵

()()()x

p p c

x x x q 2

∴（16）式化为()()()()()()04

=???

????++++x u x x c x x x x

u u α

α （17）若设()x

c x =

α，则（17）为欧拉方程，将其代入（17）得

()()()0422

=++

+x u x

c c x u u x c

x （18）

或

()()()04

=++

+x u c x cx x c

u u x

（19）

令x t ln =，则e t

x =

，

（18）式化为 ()()()()0

212

=++

-+t u c t c x c

u u (20)

(20)式便成为常系数线性微分方程，未知函数为()t u ，自变量换成t ，求解(20)，再由x t ln =代回()t u ，得到()x u ，从而得到方程(15)的通解，具体解法如下：方程对应的特征方程为()04

212

=++

-+c c c λλ，判别式()c

c c

c 414

242

1-=+-=?-

可分为三种情况讨论： ① 当0>?即4

4111

c -+

4112

c --

方程（20）的通解为

()e

c e

c c

c c c t u 2

4112

4111

----+-+

将x t ln =代入上式得

()x

c x

c c

c c c x u 2

4112

4111

----+-+

所以方程（15）的通解为

()e x

c x c dx

x p x c c c

c y ????

? ?

+=??? ??-----+-212

112

24111 若0=c 即()()()024'

2=--

x x x q p p 时，方程的通解为

()

()?+

x p c c

x y 2

② 当0=?即4

c 时，特征方程有两个二重根8

32,1=

方程（20）的通解为

()()e

c c t

t t u 8

将x t ln =代入上式

()()x c

c x x u 83

ln +=

∴方程的通解为

()()e x c

c dx

x p x y ??+=

212

1ln ③ 当0

c 时，特征方程有一对共轭复根

1411

c c -+

1412

c c --

方程（20）的通解为

()???

???

????? ?

-+????

??-=

-t c t c t u c c e

214sin 214cos 21

将x t ln =代入上式，有

()???

???

?????

-+????

-t c t c x u c c e

214sin 214cos 212

方程通解为

()e c c x

dx x p x

c c

x c x c y ?????

????

????? ?

?-+

????

??? ??--2121

1ln 2

14sin ln 2

14cos

3 应用举例

例1 （二阶线性微分方程）求微分方程

0341141

=-???? ??+

-dx

dy x d

x x

的通解。解 ()x

x A 2

，()??

? ??+

-=x x x B 3

1∵

()()

()

-=-

x A x x B A

∴可由变换()

x A dx t 2

化为：0

322

=--dt

dy d

e c e

c t

y -+

所以

c x

x y 2

例2（二阶常系数微分方程）求解方程87378

++=+-x y x y

解：特征方程0782

=+-λλ，解得71=λ，12=λ，由于0=α不是特征根，根据定理2，原方程可经过变量代换e x x

x z y ??

? ??

-=34342649

977

，将原方程化为

078'

=+-z z z

进行求解。

例3（二阶变系数微分方程）求解

122

?? ?

-+y x x x

解这里()x

x x p 12-=，()x

x q 2

。且()()()x

p p x x x q 2

1-=-

，

此处符合情况①。将4

3-=c ，()x

x x p 12-

=代入通解公式化简得方程的通解为()e

c x

x y 2

4 结束语

以上讨论了变量代换方法在常见的几种微分方程中的应用，其解题的关键时找到合适的函数做变换，在寻找的过程中我们的目标始终是化一阶微分方程为变量分离方程、

二阶变系数（常系数）微分方程为我们所熟知的齐次线性微分方程来求解。易知以上的变量代换最终的目的都是使得方程的阶数降低或化繁为简，同时所作的变量代换的形式与微分方程有密切的关联。在寻找变量代换的合适函数时，我们可以知道，不管那种变量代换，它们都是有法可依的，关键要我们仔细观察。

参考文献

[1]许敏伟，吴炳华. 变量代换法在求解微分方程问题中的应用[J]. 徐州教育学院学报，2008.9 71-72.

[2]余丽亚，一类二阶常系数微分方程求解的变量代换方法[J]. 新疆职业大学学报，2003.9 56-57 .

[3]孟红丽，李文清. 一类二阶变系数其次线性微分方程的通解[J]. 西南民族大学学报，2009.7 727-729.

[4]康会光，某些二阶线性微分方程的变量代换方法[J].河南教育学院学报，1997.12 13-15

[5]江磊，几类应用变量代换求解的常微分方程[J].成都纺织高等专科学校学报，2005.10 20-23.

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲一、课程基本信息课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时适用专业：致远学院与数学系相关专业先修课程：偏微分方程，数值分析后续课程：相关课程开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。三、教学内容和基本要求第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

微分方程几种求解方法

第五章控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法以一个自由振动系统实例为例进行讨论。如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。

将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度）上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)

偏微分方程数值解法

一、问题用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、问题分析第一步利用Green 公式，求出方程的变分形式变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*）以及 ()00,u x u =. 第二步对空间进行离散，得出半离散格式对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**）以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

偏微分方程的应用

偏微分方程在生物学上的应用刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。

各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土01班姓名：高云学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程（1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0）例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结来源：文都教育复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程得到 x du dx 一阶线性微分方程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况：二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，令特解 y*x2Q m (x)e x；（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程边值问题的数值解法

第8章常微分方程边值问题的数值解法引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为则边值问题(8.1.1)有唯一解。推论若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

偏微分方程求解方法及其比较

偏微分方程求解方法及其比较发表时间：2008-12-11T09:32:01.530Z 来源：《科海故事博览科教创新》2008年第10期供稿作者：曹海洋吕淑娟王淑芬 [导读] 近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近； 1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau 方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。 1) Chebyshev-Gauss: 2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且 6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中： Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。 2 几种典型的谱方法谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法： 1）以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程以一阶波动方程为例：其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。故可设其中为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中的共轭有：其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。 2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov－Galerkin谱方法。 3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。 4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非

微分方程在经济学中的应用

第四节微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为 S =a 1+b 1P , D =a -bP , 其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格．供需均衡的静态模型为 ?? ???=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D 显然，静态模型的均衡价格为 P e =1 1b b a a +-．对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ??? ????-=+=-=)].()([), (),(11P S P D k t P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得 t P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为 P (t )=P e +C e -λt ．假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为 P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ，由于λ＞0，故 lim ()t P t →+∞=P e ．这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．二、索洛(Solow)新古典经济增长模型

偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑，利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -

微分方程在物理中的应用

微分方程在大学物理中的应用一．质点运动学和牛顿运定律中的运用 1.质点运动：a=dV/dt “dV/dt”是“速度随时间的变化率”-----就是加速度。（微分、又称“速度V的导数”）写成表达式：a=dV/dt---------(1) X表示位移，“dX/dt”就是“位移随时间的变化率”-----就是速度。写成表达式：V=dX/dt---------(2) 把（1）代入(2)得：a=(d^2 X)/(dt^2)-------这就是“位移对时间”的“二阶导数”。实际上，(d^2 v)/(dt^2)就是“dv/dt （加速度）”对时间再次“求导”的结果。 d(dV/dt)/dt 就是把“dV/dt”再次对时间求导。-------也可以说成是“速度V对时间t的二阶导数”。典型运用：圆周运动向心加速度公式推导（微分思想） 2.牛顿第二定律：F=d p/dt=d(m v)/dt=md v/dt=ma 动量为p的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率应当等于物体的合外力。典型运用：自由落体运动公式的推导 f=d(mv)/dt,得mg=mdv/dt,得g=dv/dt=ds^2/d^2t,求s t关系用右边的，把下面的分母乘过去，积分两次，就得到0.5gt^2=s; 例题：一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=-ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假设振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式。 3.简谐运动（单摆复摆问题）：弹簧振子的运动为例，

回复力：F= -kx 加速度：a=F/m=-kx/m 对于给定的弹簧振子有w^2=k/m 则有a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x 其解为x=Acos(wt+h) 然后v=dx/dt,a=dv/dt推导出相应公式。(物理书上原文) 下面我们求一下a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x的解。还有在动量守恒定律、能量守恒定律以及刚体转动中等各个反面的运用。

解微分方程方法

MATLAB解微分方程(2011-07-15 17:35:25) 转载▼ 分类：matlab学习标签：教育

先说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。 [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0); 其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。这时，函数文件可以采用如下方式定义 function dx=odefun(t,x) 对于上面的小例子，可以用如下的程序求解。

2.终值问题 tspan可以是递增序列，也可以为递减序列，若为递减则可求解终值问题。 [t,x]=ode45(@zhongzhiode,[3,0],[1;0;2]);plot(t,x) function dx=zhongzhiode(t,x) dx=[2*x(2)^2-2; -x(1)+2*x(2)*x(3)-1; -2*x(2)+2*x(3)^2-4]; 结果如下 3.odeset options = odeset('name1',value1,'name2',value2,...) [t,x]=solver(@fun,tspan,x0,options) 通过odeset设置options 第一，通过求解选项的设置可以改善求解精度，使得原本可能不收敛的问题收敛。options=odeset('RelTol',1e-10);

第二，求解形如M(t,x)x'=f(t,x)的方程。例如，方程 x'=-0.2x+yz+0.3xy y'=2xy-5yz-2y^2 x+y+z-2=0 可以变形为 [1 0 0][x'] [-0.2x+yz+0.3xy] [0 1 0][y']=[2xy-5yz-2y^2 ] [0 0 1][z'] [x+y+z-2 ] 这样就可以用如下的代码求解该方程 function mydae M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; options=odeset('Mass',M); x0=[1.6,0.3,0.1]; [t,x]=ode15s(@daedot,[0,1.5],x0,options);plot(t,x) function dx=daedot(t,x) dx=[ -0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2); 2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2); x(1)+x(2)+x(3)-2]; 4.带附加参数的ode45

求解偏微分方程三种数值方法

数值模拟偏微分方程的三种方法介绍（有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

文档之家

变量代换方法在求解微分方程中的应用

常微分方程的实际应用

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

微分方程几种求解方法

偏微分方程数值解法

偏微分方程的应用

各种类型的微分方程及其相应解法

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程边值问题的数值解法

偏微分方程求解方法及其比较

微分方程在经济学中的应用

偏微分方程数值解法答案

微分方程在物理中的应用

解微分方程方法

求解偏微分方程三种数值方法

二阶常微分方程的解法及其应用.

最新常微分方程及其应用